График функции Энгера J v(z) при n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D В математике функция Энгера , введенная Ч. Т. Энгером (1855), — это функция, определяемая как
Дж. ν ( з ) = 1 π ∫ 0 π потому что ( ν θ − з грех θ ) г θ {\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \тета )\,д\тета } с комплексным параметром и комплексной переменной . [1] Она тесно связана с функциями Бесселя . ν {\displaystyle \nu} з {\displaystyle {\textit {z}}}
Функция Вебера (также известная как функция Ломмеля Х. Ф. Вебером (1879), является тесно связанной функцией, определяемой формулой
Э ν ( з ) = 1 π ∫ 0 π грех ( ν θ − з грех θ ) г θ {\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \тета )\,д\тета } и тесно связана с функциями Бесселя второго рода.
Связь между функциями Вебера и Энгера Функции Энгера и Вебера связаны соотношением
График функции Вебера E v(z) при n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D грех ( π ν ) Дж. ν ( з ) = потому что ( π ν ) Э ν ( з ) − Э − ν ( з ) , − грех ( π ν ) Э ν ( з ) = потому что ( π ν ) Дж. ν ( з ) − Дж. − ν ( з ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi \nu)\mathbf {J} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu } (z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z),\\-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z),\end{aligned}}} так, в частности, если ν не является целым числом, они могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. Если ν является целым числом, то функции Энгера J ν совпадают с функциями Бесселя J ν , а функции Вебера могут быть выражены как конечные линейные комбинации функций Струве .
Расширение степенного ряда Функция Гнева имеет разложение в степенной ряд [2]
Дж. ν ( з ) = потому что π ν 2 ∑ к = 0 ∞ ( − 1 ) к з 2 к 4 к Г ( к + ν 2 + 1 ) Г ( к − ν 2 + 1 ) + грех π ν 2 ∑ к = 0 ∞ ( − 1 ) к з 2 к + 1 2 2 к + 1 Г ( к + ν 2 + 3 2 ) Г ( к − ν 2 + 3 2 ) . {\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}+\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.} В то время как функция Вебера имеет разложение в степенной ряд [2]
Э ν ( з ) = грех π ν 2 ∑ к = 0 ∞ ( − 1 ) к з 2 к 4 к Г ( к + ν 2 + 1 ) Г ( к − ν 2 + 1 ) − потому что π ν 2 ∑ к = 0 ∞ ( − 1 ) к з 2 к + 1 2 2 к + 1 Г ( к + ν 2 + 3 2 ) Г ( к − ν 2 + 3 2 ) . {\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)=\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}-\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.}
Дифференциальные уравнения Функции Ангера и Вебера являются решениями неоднородных форм уравнения Бесселя.
з 2 у ′ ′ + з у ′ + ( з 2 − ν 2 ) у = 0. {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=0.} Точнее, функции Энгера удовлетворяют уравнению [2]
з 2 у ′ ′ + з у ′ + ( з 2 − ν 2 ) у = ( з − ν ) грех ( π ν ) π , {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y={\frac {(z-\nu) \sin(\pi \nu )}{\pi }},} и функции Вебера удовлетворяют уравнению [2]
з 2 у ′ ′ + з у ′ + ( з 2 − ν 2 ) у = − з + ν + ( з − ν ) потому что ( π ν ) π . {\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=- {\frac {z+\nu +( z-\nu )\cos(\pi \nu )}{\pi }}.}
Рекуррентные соотношения Функция Энгера удовлетворяет этой неоднородной форме рекуррентного соотношения [2]
з Дж. ν − 1 ( з ) + з Дж. ν + 1 ( з ) = 2 ν Дж. ν ( з ) − 2 грех π ν π . {\displaystyle z\mathbf {J} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {J} _{\nu }(z)-{\frac {2\sin \pi \nu }{\pi }}.} В то время как функция Вебера удовлетворяет этой неоднородной форме рекуррентного соотношения [2]
z E ν − 1 ( z ) + z E ν + 1 ( z ) = 2 ν E ν ( z ) − 2 ( 1 − cos π ν ) π . {\displaystyle z\mathbf {E} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {E} _{\nu }(z)-{\frac {2(1-\cos \pi \nu )}{\pi }}.}
Дифференциальные уравнения с запаздыванием Функции Энгера и Вебера удовлетворяют этим однородным формам дифференциальных уравнений с запаздыванием [2]
J ν − 1 ( z ) − J ν + 1 ( z ) = 2 ∂ ∂ z J ν ( z ) , {\displaystyle \mathbf {J} _{\nu -1}(z)-\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z),} E ν − 1 ( z ) − E ν + 1 ( z ) = 2 ∂ ∂ z E ν ( z ) . {\displaystyle \mathbf {E} _{\nu -1}(z)-\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z).} Функции Энгера и Вебера также удовлетворяют этим неоднородным формам дифференциальных уравнений с запаздыванием [2]
z ∂ ∂ z J ν ( z ) ± ν J ν ( z ) = ± z J ν ∓ 1 ( z ) ± sin π ν π , {\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {J} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {J} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {\sin \pi \nu }{\pi }},} z ∂ ∂ z E ν ( z ) ± ν E ν ( z ) = ± z E ν ∓ 1 ( z ) ± 1 − cos π ν π . {\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {E} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {E} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {1-\cos \pi \nu }{\pi }}.}
Ссылки ^ Прудников, А.П. (2001) [1994], "Функция гнева", Энциклопедия математики EMS Press ^ abcdefgh Paris, RB (2010), "Функции Энгера-Вебера", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 12". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 978-0-486-61272-0 CT Anger, Neueste Schr. д. Натурф. д. Гес. я. Данциг, 5 (1855), стр. 1–29. Прудников, А.П. (2001) [1994], "Функция Вебера", Энциклопедия математики Издательство EMS GN Watson , "Трактат по теории функций Бесселя", 1–2, Cambridge Univ. Press (1952)HF Weber, Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879), стр. 33–76. 
_with_n=2_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/1280px-Plot_of_the_Anger_function_J_v(z)_with_n=2_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg.png)
_with_n=2_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/1280px-Plot_of_the_Weber_function_E_v(z)_with_n=2_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg.png)
