В математике антидиагональная матрица — это квадратная матрица , все элементы которой равны нулю, за исключением тех, которые находятся на диагонали, идущей из нижнего левого угла в верхний правый угол (↗), известной как антидиагональ (иногда диагональ Харрисона, побочная диагональ, замыкающая диагональ, второстепенная диагональ, внедиагональная или плохая диагональ).
Матрица A размером n на n является антидиагональной матрицей, если ( i , j ) -й элемент a ij равен нулю для всех строк i и столбцов j, индексы которых не дают в сумме n + 1. Символически:
Примером антидиагональной матрицы является
Другим примером может служить ..., который можно использовать для изменения порядка элементов массива (как матрицы-столбца) путем умножения слева.
Все антидиагональные матрицы также персимметричны .
Произведение двух антидиагональных матриц является диагональной матрицей . Более того, произведение антидиагональной матрицы с диагональной матрицей является антидиагональным, как и произведение диагональной матрицы с антидиагональной матрицей.
Антидиагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда элементы на диагонали от нижнего левого угла до верхнего правого угла не равны нулю. Обратная матрица любой обратимой антидиагональной матрицы также является антидиагональной, как видно из абзаца выше. Определитель антидиагональной матрицы имеет абсолютное значение , задаваемое произведением элементов на диагонали от нижнего левого угла до верхнего правого угла. Однако знак этого определителя будет меняться, поскольку единичное ненулевое знаковое элементарное произведение из антидиагональной матрицы будет иметь другой знак в зависимости от того, является ли перестановка, связанная с ним, нечетной или четной:
Точнее, знак элементарного произведения, необходимого для вычисления определителя антидиагональной матрицы, связан с тем, является ли соответствующее треугольное число четным или нечетным. Это происходит потому, что число инверсий в перестановке для единственного ненулевого знакового элементарного произведения любой антидиагональной матрицы n × n всегда равно n -му такому числу.
