Модель Эрроу–Дебре

Экономическая модель

В математической экономике модель Эрроу–Дебре является теоретической моделью общего равновесия . Она утверждает, что при определенных экономических предположениях ( выпуклые предпочтения , совершенная конкуренция и независимость спроса) должен быть набор цен, такой, что совокупные поставки будут равны совокупным спросам на каждый товар в экономике. ^[1]

Модель является центральной в теории общего (экономического) равновесия и часто используется в качестве общей ссылки для других микроэкономических моделей. Она была предложена Кеннетом Эрроу , Жераром Дебре в 1954 году ^[1] и Лайонелом В. Маккензи независимо в 1954 году ^[2] с последующими улучшениями в 1959 году. ^{[3] [4]}

Модель AD является одной из наиболее общих моделей конкурентной экономики и является важнейшей частью теории общего равновесия , поскольку ее можно использовать для доказательства существования общего равновесия (или равновесия Вальраса ) экономики. В общем случае может быть много равновесий.

Эрроу (1972) и Дебре (1983) были по отдельности удостоены Нобелевской премии по экономике за разработку модели. Маккензи, однако, награду не получил. ^[5]

Официальное заявление

Содержание обеих теорем [фундаментальных теорем экономики благосостояния] — это старые убеждения в экономике. Эрроу и Дебре недавно рассмотрели этот вопрос с помощью методов, позволяющих доказательства.

—  Жерар Дебре, Оценочное равновесие и оптимум Парето (1954)

Это утверждение совершенно верно: когда-то были убеждения, теперь были знания. Но на карту было поставлено больше. Великие ученые меняют то, как мы думаем о мире, о том, что и кем мы являемся. Модель Эрроу-Дебре, изложенная в Теории стоимости, изменила базовое мышление и быстро стала стандартной моделью теории цен. Это «эталонная» модель в финансах, международной торговле, государственных финансах, транспорте и даже макроэкономике... Довольно скоро она перестала быть «такой, какая она есть» у Маршалла, Хикса и Самуэльсона; скорее она стала «такой, какая она есть» в Теории стоимости.

-  Хьюго Зонненшайн, выступления на конференции Дебре, Беркли, 2005 г.

Этот раздел следует за презентацией в ^[6] , которая основана на ^{[7] .}

Интуитивное описание модели Эрроу–Дебре

Модель Эрроу–Дебре моделирует экономику как комбинацию трех видов агентов: домохозяйства, производители и рынок. Домохозяйства и производители взаимодействуют с рынком, но не друг с другом напрямую.

Домохозяйства обладают вкладами (наборами товаров, с которыми они начинают), которые можно считать «наследством». Для математической ясности все домохозяйства должны продать все свои вклады на рынке в начале. Если они хотят сохранить часть вклада, им придется выкупить его на рынке позже. Вкладами могут быть рабочие часы, использование земли, тонны кукурузы и т. д.

Домохозяйства владеют пропорциональными долями собственности производителей, которые можно рассматривать как акционерные общества . Прибыль, полученная производителем, делится между домохозяйствами пропорционально тому, сколько акций у каждого домохозяйства есть для производителя . Право собственности налагается с самого начала, и домохозяйства не могут продавать, покупать, создавать или выбрасывать их. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Домохозяйства получают бюджет, состоящий из суммы доходов от продажи имущества и дивидендов от прибыли производителей.

Домохозяйства имеют предпочтения по набору товаров, что при данных предположениях делает их максимизаторами полезности . Домохозяйства выбирают план потребления с наивысшей полезностью, которую они могут себе позволить, используя свой бюджет.

Производители способны преобразовывать одни наборы товаров в другие наборы товаров. У производителей нет отдельных функций полезности. Вместо этого они все являются чистыми максимизаторами прибыли.

Рынок способен только «выбирать» вектор рыночной цены, который представляет собой список цен на каждый товар, который принимает каждый производитель и домохозяйство (нет никакого торга — каждый производитель и домохозяйство являются ценополучателями ) . У рынка нет полезности или прибыли. Вместо этого рынок стремится выбрать вектор рыночной цены таким образом, чтобы, даже если каждое домохозяйство и производитель максимизируют свою собственную полезность и прибыль, их планы потребления и планы производства «гармонизировались». То есть « рынок очищается ». Другими словами, рынок играет роль « вальрасовского аукциониста ».

Настройка нотации

В общем случае мы записываем индексы агентов как верхние индексы, а индексы векторных координат как нижние индексы.

полезные обозначения для действительных векторов

• ${\displaystyle x\succeq y}$если ${\displaystyle \forall n,x_{n}\geq y_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{N}}$есть множество таких, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N}}$есть множество таких, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succ 0}$
• ${\displaystyle \Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}}$это N-симплекс . Мы часто называем его ценовым симплексом , поскольку иногда мы масштабируем вектор цены, чтобы он лежал на нем.

рынок

• Товары индексируются как . Здесь указано количество товаров, которое существует в экономике. Это конечное число . ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle N}$
• Вектор цен — это вектор длины , где каждая координата — цена товара. Цены могут быть нулевыми или положительными. ${\displaystyle p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle N}$

домохозяйства

• Домохозяйства индексируются как . ${\displaystyle i\in I}$
• Каждое домохозяйство начинается с определенного набора товаров . ${\displaystyle r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Каждое домохозяйство начинается с кортежа собственности производителей . Собственность удовлетворяет . ${\displaystyle \alpha ^{i,j}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J}$
• Бюджет, который получает домохозяйство, представляет собой сумму его дохода от продажи имущества по рыночной цене, плюс прибыль от владения производителями: ( обозначает деньги ) $${\displaystyle M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)}$$ ${\displaystyle M}$
• У каждого домохозяйства есть набор возможных уровней потребления . ${\displaystyle CPS^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Каждое домохозяйство имеет отношение предпочтения к . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$
• При предположениях (приведенных в следующем разделе) каждое отношение предпочтений может быть представлено функцией полезности по теоремам Дебре . Таким образом, вместо максимизации предпочтения мы можем эквивалентно утверждать, что домохозяйство максимизирует свою полезность. ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle u^{i}:CPS^{i}\to [0,1]}$
• План потребления — это вектор в , записанный как . ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$
• ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$является ли набор планов потребления по крайней мере таким же предпочтительным, как . ${\displaystyle x^{i}}$
• Бюджетный набор — это набор планов потребления, которые он может себе позволить: . $${\displaystyle B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}}$$
• Для каждого вектора цен домохозяйство имеет вектор спроса на товары, как . Эта функция определяется как решение задачи максимизации ограничений. Она зависит как от экономики, так и от начального распределения. Она может быть не вполне определена для всех . Однако мы будем использовать достаточно предположений, чтобы она была вполне определена при равновесных векторах цен. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$ $${\displaystyle D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})}$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

производители

• Производители индексируются как . ${\displaystyle j\in J}$
• У каждого производителя есть Production Possibility Set . Обратите внимание, что вектор предложения может иметь как положительные, так и отрицательные координаты. Например, указывает на производственный план, который использует 1 единицу товара 1 для производства 1 единицы товара 2. ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle (-1,1,0)}$
• Производственный план — это вектор в , записанный как . ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle y^{j}}$
• Для каждого вектора цен производитель имеет вектор предложения товаров, как . Эта функция будет определена как решение проблемы максимизации ограничений. Она зависит как от экономики, так и от начального распределения. Она может быть не вполне определена для всех . Однако мы будем использовать достаточно предположений, чтобы она была вполне определена при равновесных векторах цен. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}}$ $${\displaystyle S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$
• Прибыль составляет​ $${\displaystyle \Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

агрегаты

• совокупное множество возможностей потребления . ${\displaystyle CPS=\sum _{i\in I}CPS^{i}}$
• совокупность возможных объемов производства . ${\displaystyle PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}}$
• совокупный вклад ${\displaystyle r=\sum _{i}r^{i}}$
• совокупный спрос ${\displaystyle D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)}$
• совокупное предложение ${\displaystyle S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)}$
• избыточный спрос ${\displaystyle Z(p)=D(p)-S(p)-r}$

вся экономика

• Экономика — это кортеж . То есть, это кортеж , определяющий товары, потребительские предпочтения, наборы возможностей потребления и наборы возможностей производства производителей. ${\displaystyle (N,I,J,CPS^{i},\succeq ^{i},PPS^{j})}$
• Экономика с начальным распределением — это экономика, вместе с начальным кортежем распределения для экономики. ${\displaystyle (r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}}$
• Состояние экономики представляет собой набор цен, планов потребления и планов производства для каждого домохозяйства и производителя: . ${\displaystyle ((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$
• Состояние допустимо тогда и только тогда, когда каждое , каждое и . ${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i}}$ ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$
• Допустимый набор производственных возможностей, при заданном запасе , равен . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PPS_{r}:=\{y\in PPS:y+r\succeq 0\}}$
• В экономике с распределением состояние, соответствующее вектору цен, равно . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})}$
• При наличии экономики с распределением вектор цен является вектором равновесной цены для экономики с начальным распределением тогда и только тогда, когда: То есть, если товар не является бесплатным, то предложение в точности равно спросу, а если товар является бесплатным, то предложение равно спросу или превышает его (мы допускаем избыточное предложение бесплатного товара). ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}}$$
• Состояние является состоянием равновесия тогда и только тогда, когда оно соответствует вектору равновесной цены.

Предположения

Наложение искусственного ограничения

Функции не обязательно хорошо определены для всех векторов цен . Например, если производитель 1 способен преобразовывать единицы товара 1 в единицы товара 2, и у нас есть , то производитель может создавать планы с бесконечной прибылью, таким образом , и не определено. ${\displaystyle D^{i}(p),S^{j}(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\sqrt {(t+1)^{2}-1}}}$ ${\displaystyle p_{1}/p_{2}<1}$ ${\displaystyle \Pi ^{j}(p)=+\infty }$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$

Следовательно, мы определяем « ограниченный рынок » как тот же рынок, за исключением того, что существует универсальная верхняя граница , так что каждый производитель обязан использовать производственный план , а каждое домохозяйство обязано использовать план потребления . Обозначим соответствующие количества на ограниченном рынке тильдой. Так, например, является функцией избыточного спроса на ограниченном рынке. ^[8] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|\leq C}$ ${\displaystyle \|x^{i}\|\leq C}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)}$

${\displaystyle C}$выбирается "достаточно большим" для экономики, так что ограничение не действует в условиях равновесия (см. следующий раздел). В деталях, выбирается достаточно большим, так что: ${\displaystyle C}$

• Для любого плана потребления , такого как , план настолько «экстравагантный», что даже если все производители скоординируют свои действия, они все равно не смогут удовлетворить спрос. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0,\|x\|=C}$
• Для любого списка производственных планов для экономики , если , то для каждого . Другими словами, для любого достижимого плана производства при заданном запасе индивидуальный производственный план каждого производителя должен строго лежать в пределах ограничения. ${\displaystyle (y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}}$ ${\displaystyle \sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|<C}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle r}$

Каждое требование выполнимо.

• Определим множество достижимых совокупных планов производства как , тогда при предположениях для производителей, приведенных выше (особенно при предположении "отсутствия произвольно большого бесплатного обеда"), ограничено для любого (доказательство опущено). Таким образом, первое требование выполнимо. ${\displaystyle PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}}$ ${\displaystyle r\succeq 0}$
• Определим множество достижимых индивидуальных планов производства , которые затем при предположениях для производителей, приведенных выше (особенно предположение "отсутствие произвольно больших преобразований"), ограничены для любого (доказательство опущено). Таким образом, второе требование выполнимо. ${\displaystyle PPS_{r}^{j}:=\{y^{j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}^{j}}$ ${\displaystyle j\in J,r\succeq 0}$

Оба требования в совокупности подразумевают, что ограничение не является реальным ограничением, когда планы производства и планы потребления являются « внутренними » по отношению к ограничению.

• При любом векторе цен , если , то существует и равно . Другими словами, если производственный план ограниченного производителя является внутренним по отношению к искусственному ограничению, то неограниченный производитель выберет тот же производственный план. Это доказывается эксплуатацией второго требования на . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C}$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle C}$
• Если все , то ограниченные и неограниченные домохозяйства имеют одинаковый бюджет. Теперь, если у нас также есть , то существует и равно . Другими словами, если план потребления ограниченного домохозяйства является внутренним по отношению к искусственному ограничению, то неограниченное домохозяйство выберет тот же план потребления. Это доказывается путем использования первого требования на . ${\displaystyle S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C}$ ${\displaystyle D^{i}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)}$ ${\displaystyle C}$

Эти два предложения подразумевают, что равновесия для ограниченного рынка являются равновесиями для неограниченного рынка:

Теорема  —  Если — вектор равновесной цены для ограниченного рынка, то он также является вектором равновесной цены для неограниченного рынка. Более того, мы имеем . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)}$

Существование общего равновесия

В качестве последней части конструкции мы определяем закон Вальраса :

• Неограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса тогда и только тогда, когда определены все , и , то есть ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$ ${\displaystyle \langle p,Z(p)\rangle =0}$ $${\displaystyle \sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle }$$
• Ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0}$

Закон Вальраса можно интерпретировать с обеих сторон:

• Со стороны домохозяйств это означает, что совокупные расходы домохозяйств равны совокупной прибыли и совокупному доходу от продажи вкладов. Другими словами, каждое домохозяйство тратит весь свой бюджет.
• Со стороны производителей это означает, что совокупная прибыль плюс совокупные издержки равны совокупному доходу.

Теорема  —  удовлетворяет слабому закону Вальраса: Для всех , и если , то для некоторых . ${\displaystyle {\tilde {Z}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ $${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0}$$ ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)_{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

Эскиз доказательства

Если общая величина избыточного спроса равна нулю, то каждое домохозяйство потратило весь свой бюджет. В противном случае, какое-то домохозяйство ограничено тратить только часть своего бюджета. Следовательно, потребительский набор этого домохозяйства находится на границе ограничения, то есть . Мы выбрали (в предыдущем разделе) настолько большим, что даже если все производители скоординируют свои действия, они все равно не смогут удовлетворить спрос. Следовательно, существует некоторый товар, такой что ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}}$

Теорема  —  Для ограниченного рынка существует вектор равновесной цены, в котором ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса.

Эскиз доказательства

По определению равновесия, если — вектор равновесной цены для ограниченного рынка, то в этой точке ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}}$является непрерывным, поскольку все непрерывны. ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}}$

Определим функцию на ценовом симплексе, где — фиксированная положительная константа. $${\displaystyle f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$

По слабому закону Вальраса эта функция хорошо определена. По теореме Брауэра о неподвижной точке она имеет неподвижную точку. По слабому закону Вальраса эта неподвижная точка является рыночным равновесием.

Обратите внимание, что приведенное выше доказательство не дает итерационного алгоритма для нахождения какого-либо равновесия, поскольку нет гарантии, что функция является сокращением . Это неудивительно, поскольку нет гарантии (без дополнительных предположений), что любое рыночное равновесие является устойчивым равновесием. ${\displaystyle f}$

Следствие  —  Для неограниченного рынка существует вектор равновесной цены, в котором неограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса.

Роль выпуклости

Четверть оборота выпуклого единичного круга оставляет точку  (0,0) неподвижной, но перемещает каждую точку на невыпуклой единичной окружности .

В 1954 году Маккензи и пара Эрроу и Дебре независимо доказали существование общих равновесий, применив теорему Какутани о неподвижной точке для неподвижных точек непрерывной функции из компактного выпуклого множества в себя. В подходе Эрроу–Дебре выпуклость имеет существенное значение, поскольку такие теоремы о неподвижной точке неприменимы к невыпуклым множествам. Например, поворот единичной окружности на 90 градусов не имеет неподвижных точек, хотя этот поворот является непрерывным преобразованием компактного множества в себя; хотя единичная окружность компактна, она невыпукла. Напротив, тот же поворот, примененный к выпуклой оболочке единичной окружности, оставляет точку  (0,0) неподвижной. Обратите внимание, что теорема Какутани не утверждает, что существует ровно одна неподвижная точка. Отражение единичного круга относительно оси y оставляет вертикальный отрезок неподвижным, так что это отражение имеет бесконечное число неподвижных точек.

Невыпуклость в крупных экономиках

Предположение о выпуклости исключало множество приложений, которые обсуждались в журнале «Journal of Political Economy» с 1959 по 1961 год Фрэнсисом М. Батором, М. Дж. Фарреллом , Тьяллингом Купмансом и Томасом Дж. Ротенбергом. ^[9] Росс М. Старр  (1969) доказал существование экономического равновесия , когда некоторые потребительские предпочтения не обязательно должны быть выпуклыми . ^[9] В своей статье Старр доказал, что «выпуклая» экономика имеет общие равновесия, которые близко аппроксимируются «квазиравновесиями» исходной экономики; доказательство Старра использовало теорему Шепли–Фолкмана . ^[10]

Теорема эквивалентности Удзавы

( Uzawa , 1962) ^[11] показал, что существование общего равновесия в экономике, характеризующейся непрерывной функцией избыточного спроса, удовлетворяющей закону Вальраса, эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке. Таким образом, использование теоремы Брауэра о неподвижной точке имеет важное значение для доказательства того, что равновесие существует в целом. ^[12]

Фундаментальные теоремы экономики благосостояния

В экономике благосостояния одной из возможных проблем является поиск оптимального по Парето плана для экономики.

Интуитивно можно считать, что проблема экономики благосостояния — это проблема, с которой сталкивается генеральный планировщик всей экономики: учитывая начальные ресурсы для всего общества, планировщик должен выбрать осуществимый генеральный план производства и потребления . Генеральный планировщик имеет большую свободу в выборе генерального плана, но любой разумный планировщик должен согласиться, что если полезность кого-то может быть увеличена, в то время как полезность всех остальных не уменьшится, то это лучший план. То есть, следует следовать упорядочению Парето. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$

Определим порядок Парето на множестве всех планов тогда и только тогда, когда для всех . ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Тогда мы говорим, что план эффективен по Парето относительно начального запаса , если он осуществим и не существует другого осуществимого плана, который был бы строго лучше в упорядочении по Парето. ${\displaystyle r}$

В целом, для каждого начального фонда существует целый ряд Парето-эффективных планов . ${\displaystyle r}$

При таком подходе у нас есть две фундаментальные теоремы экономики благосостояния: ^[13]

Первая фундаментальная теорема экономики благосостояния  —  любое состояние рыночного равновесия является эффективным по Парето.

Эскиз доказательства

Ценовая гиперплоскость разделяет достижимые производства и потребления, превосходящие Парето. То есть гиперплоскость разделяет и , где — множество всех , таких что , и . То есть, это множество совокупностей всех возможных планов потребления, которые строго превосходят Парето. ${\displaystyle \langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle }$ ${\displaystyle r+PPS_{r}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$

Достижимые производства находятся на нижней стороне ценовой гиперплоскости, тогда как Парето-лучшие потребления находятся строго на верхней стороне ценовой гиперплоскости. Таким образом, любой Парето-лучший план не достижим.

• Любой план потребления, лучший по Парето, должен стоить как минимум столько же для каждого домохозяйства и дороже как минимум для одного домохозяйства.
• Любой достижимый план производства должен приносить каждому производителю как минимум одинаковую прибыль.

Вторая фундаментальная теорема экономики благосостояния  —  для любого совокупного запаса ресурсов и любого Парето-эффективного состояния, достижимого с использованием этого запаса ресурсов, существует такое распределение запасов ресурсов и частной собственности производителей, что данное состояние является состоянием рыночного равновесия для некоторого вектора цен . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{r^{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Идея доказательства: любой Парето-оптимальный план потребления отделен гиперплоскостью от множества достижимых планов потребления. Наклон гиперплоскости будет равновесными ценами. Проверьте, что при таких ценах каждый производитель и домохозяйство сочтут данное состояние оптимальным. Проверьте, что закон Вальраса выполняется, и поэтому расходы соответствуют доходу плюс прибыль, и поэтому можно обеспечить каждое домохозяйство точно необходимым бюджетом.

Доказательство

Поскольку состояние достижимо, то имеем . Равенство не обязательно выполняется, поэтому мы определяем множество достижимых совокупных потреблений . Любой совокупный потребительский набор в достижим, а любой за его пределами — нет. ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$ ${\displaystyle V:=\{r+y-z:y\in PPS,z\succeq 0\}}$ ${\displaystyle V}$

Найдите рыночную цену . ${\displaystyle p}$

Определим как множество всех , таких что , и . То есть, это множество агрегатов всех возможных планов потребления, которые строго лучше по Парето. Поскольку каждый из них выпуклый, и каждое предпочтение выпуклое, множество также выпуклое. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Теперь, поскольку состояние является Парето-оптимальным, множество должно быть недостижимо с заданным запасом. То есть, не пересекается с . Поскольку оба множества выпуклы, между ними существует разделяющая гиперплоскость. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle V}$

Пусть гиперплоскость определяется соотношением , где , и . Знак выбирается таким образом, что и . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =c}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0}$ ${\displaystyle c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle \geq c}$ ${\displaystyle \langle p,r+PPS\rangle \leq c}$

Требовать: . ${\displaystyle p\succ 0}$

Предположим, что нет, тогда существует такое , что . Тогда, если достаточно велико, но также имеем , противоречие. ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle p_{n}<0}$ ${\displaystyle \langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+0-ke_{n}\in V}$

По построению имеем , и . Теперь мы утверждаем: . ${\displaystyle \langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,V\rangle \leq c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

Для каждого домохозяйства пусть будет набором планов потребления, которые по крайней мере так же хороши, как , а будет набором планов потребления, которые строго лучше, чем . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

В силу локальной ненасыщенности замкнутое полупространство содержит . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$

В силу непрерывности открытое полупространство содержит . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$

Сложив их, находим, что открытое полупространство содержит . ${\displaystyle \langle p,q\rangle >c}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Утверждение (закон Вальраса): ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Так как производство достижимо, то имеем , а так как , то имеем . ${\displaystyle r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}}$ ${\displaystyle p\succ 0}$ ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

По построению разделяющей гиперплоскости также имеем , таким образом, имеем равенство. ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Утверждение: при цене , каждый производитель максимизирует прибыль при , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle y^{j}}$

Если существует некоторый производственный план, такой, что один производитель может получить более высокую прибыль , то ${\displaystyle y'^{j}}$ ${\displaystyle \langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle }$

$${\displaystyle \langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c}$$

но тогда у нас была бы точка по другую сторону разделяющей гиперплоскости, что нарушило бы наше построение. ${\displaystyle r+PPS}$

Утверждение: при цене и бюджете домохозяйство максимизирует полезность при . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

В противном случае существует некоторая такая, что и . Затем рассмотрим совокупное потребление набора . Он находится в , но также удовлетворяет . Но это противоречит предыдущему утверждению, что . ${\displaystyle x'^{i}}$ ${\displaystyle x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

По закону Вальраса совокупный доход от вклада и прибыль в точности равны совокупным расходам. Остается распределить их так, чтобы каждое домохозяйство получило ровно столько, сколько составляет его бюджет. Это тривиально. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$

Вот жадный алгоритм, как это сделать: сначала распределить все запасы товара 1 между домохозяйством 1. Если домохозяйство 1 может достичь своего бюджета до того, как распределить все, то перейти к домохозяйству 2. В противном случае начать распределять все запасы товара 2 и т. д. Аналогично для собственности производителей.

Выпуклость против строгой выпуклости

Предположения строгой выпуклости можно ослабить до выпуклости. Эта модификация изменяет функции спроса и предложения из точечных функций в функции с множественными значениями (или «соответствия»), а также применение теоремы Брауэра о неподвижной точке в теореме Какутани о неподвижной точке.

Эта модификация аналогична обобщению теоремы о минимаксе на существование равновесий Нэша .

Две основные теоремы экономики благосостояния остаются в силе без изменений.

Равновесие против «квазиравновесия»

Определение рыночного равновесия предполагает, что каждое домохозяйство выполняет максимизацию полезности с учетом бюджетных ограничений. То есть, Двойственная задача будет заключаться в минимизации затрат с учетом ограничений полезности. То есть, для некоторого действительного числа . Разрыв двойственности между двумя задачами неотрицателен и может быть положительным. Следовательно, некоторые авторы изучают двойственную задачу и свойства ее «квазиравновесия» ^[14] (или «компенсированного равновесия» ^[15] ). Каждое равновесие является квазиравновесием, но обратное не обязательно верно. ^[15] $${\displaystyle {\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}}$$ ${\displaystyle u_{0}^{i}}$

Расширения

Учет стратегических переговоров

В модели все производители и домохозяйства являются « ценополучателями », что означает, что они просто совершают транзакции с рынком, используя вектор цен . В частности, не моделируются такие формы поведения, как картель, монополия, потребительская коалиция и т. д. Предельная теорема Эджворта показывает, что при определенных более сильных предположениях домохозяйства не могут добиться ничего лучшего, чем ценополучателя на пределе бесконечно большой экономики. ${\displaystyle p}$

Настраивать

В деталях мы продолжаем экономическую модель домохозяйств и производителей, но мы рассматриваем иной метод проектирования производства и распределения товаров, нежели рыночная экономика. Его можно интерпретировать как модель «социалистической» экономики.

• Нет никаких денег, рынка или частной собственности на производителей.
• Поскольку мы отменили частную собственность, деньги и мотив прибыли, нет смысла отличать одного производителя от другого. Следовательно, вместо того, чтобы каждый производитель планировал индивидуально , это как если бы все общество имело одного великого производителя, производящего . ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle y\in PPS}$
• У домохозяйств остались прежние предпочтения и возможности, но у них больше нет бюджетов.
• Производители не производят для максимизации прибыли, поскольку прибыли нет. Все домохозяйства объединяются, чтобы создать государство — план производства и потребления для всей экономики — со следующими ограничениями: ${\displaystyle ((x_{i})_{i\in I},y)}$ $${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})}$$
• Любое непустое подмножество домохозяйств может исключить все остальные домохозяйства, сохранив при этом контроль над производителями.

Таким образом, эта экономика представляет собой кооперативную игру , в которой каждое домохозяйство является игроком, и у нас есть следующие концепции из теории кооперативных игр:

• Блокирующая коалиция — это непустое подмножество домохозяйств, такое, что существует строго лучший по Парето план, даже если они исключают все остальные домохозяйства.
• Государство является основным , если нет блокирующих коалиций.
• Ядро экономики — это совокупность основных государств.

Поскольку мы предположили, что любое непустое подмножество домохозяйств может устранить все остальные домохозяйства, сохраняя при этом контроль над производителями, единственные состояния, которые могут быть выполнены, — это основные состояния. Состояние, которое не является основным состоянием, немедленно вызовет возражения со стороны коалиции домохозяйств.

Нам нужно еще одно предположение о том , что это конус , то есть для любого . Это предположение исключает два способа, которыми экономика может стать тривиальной. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle k\cdot PPS\subset PPS}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

• Проклятие бесплатного обеда: В этой модели все доступно любой непустой коалиции, даже коалиции из одного человека. Следовательно, если ни у кого нет никаких пожертвований, и все же есть некоторый "бесплатный обед" , то (предполагая, что предпочтения монотонны) каждое домохозяйство хотело бы забрать все себе, и, следовательно, не существует *никакого* основного государства. Интуитивно картина мира представляет собой комитет эгоистичных людей, налагающих вето на любой план, который не дает ему весь бесплатный обед. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle y\succ 0}$ ${\displaystyle y}$
• Предел роста: Рассмотрим общество с 2 товарами. Один из них — «труд», а другой — «еда». Домохозяйства имеют в качестве запаса только труд, но потребляют они только еду. Это похоже на пандус с плоской вершиной. Таким образом, вложение 0–1 тысячи часов труда производит 0–1 тысячи кг еды, линейно, но больше труда не производит еды. Теперь предположим, что каждое домохозяйство наделено 1 тысячей часов труда. Очевидно, что каждое домохозяйство немедленно заблокирует все остальные домохозяйства, поскольку всегда лучше для одного использовать все для себя. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$

Основные результаты (Дебре и Скарф, 1963)

Предложение  —  Рыночные равновесия являются основными состояниями.

Доказательство

Определим гиперплоскость цены . Поскольку она является опорной гиперплоскостью для , и является выпуклым конусом, гиперплоскость цены проходит через начало координат. Таким образом . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle \langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0}$

Так как это общая прибыль, и каждый производитель может получить по крайней мере нулевую прибыль (то есть ), это означает, что прибыль равна точно нулю для каждого производителя. Следовательно, бюджет каждого домохозяйства состоит именно из продажи вклада. ${\displaystyle \sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle 0\in PPS^{j}}$

$${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle }$$

Максимизируя полезность, каждое домохозяйство уже делает столько, сколько может. Следовательно, мы имеем . ${\displaystyle \langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle }$

В частности, для любой коалиции и любого производственного плана , который является лучшим по Парето, мы имеем ${\displaystyle I'\subset I}$ ${\displaystyle x'^{i}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle }$$и, следовательно, точка лежит выше ценовой гиперплоскости, что делает ее недостижимой. ${\displaystyle \sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}}$

В своей работе Дебре и Скарф определили особый способ приближения к бесконечно большой экономике, «реплицируя домохозяйства». То есть, для любого положительного целого числа определите экономику, в которой есть домохозяйства, которые имеют точно такой же набор потребительских возможностей и предпочтений, как и домохозяйство . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$

Пусть обозначает план потребления -й репликации домохозяйства . Определим план, который будет справедливым, если и только если для любых и . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle k,k'\in K}$

В общем, государство было бы довольно сложным, рассматривая каждую реплику по-разному. Однако основные состояния значительно проще: они справедливы, рассматривая каждую реплику одинаково.

Предложение  —  Любое основное государство является справедливым.

Доказательство

Мы используем «коалицию аутсайдеров».

Рассмотрим основное состояние . Определим средние распределения . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}}$

Это достижимо, поэтому у нас есть ${\displaystyle K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

Предположим, что существует какое-либо неравенство, то есть некоторое , тогда в силу выпуклости предпочтений имеем , где — наихудшее домохозяйство типа . ${\displaystyle x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle i}$

Теперь определим «коалицию аутсайдеров», состоящую из домохозяйств каждого типа, находящихся в худшем положении, и они предлагают распределить согласно . Это лучше по Парето для коалиции, и поскольку является коническим, мы также имеем , поэтому план достижим. Противоречие. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$ ${\displaystyle PP}$ ${\displaystyle \sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

Следовательно, при изучении основных состояний достаточно рассмотреть один план потребления для каждого типа домохозяйств. Теперь определим как множество всех основных состояний для экономики с репликами на домохозяйство. Очевидно, что , поэтому мы можем определить предельное множество основных состояний . ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}}$

Мы видели, что содержит множество рыночных равновесий для исходной экономики. Обратное верно при небольшом дополнительном предположении: ^[16] ${\displaystyle C}$

(Дебре и Скарф, 1963)  —  Если представляет собой многоугольный конус или если каждый имеет непустую внутреннюю часть относительно , ​​то представляет собой множество рыночных равновесий для исходной экономики. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle C}$

Предположение, что является многоугольным конусом, или что каждый имеет непустую внутреннюю часть, необходимо для того, чтобы избежать технической проблемы «квазиравновесия». Без предположения мы можем доказать только то, что содержится во множестве квазиравновесий. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle C}$

Учет невыпуклости

Предположение о том, что наборы производственных возможностей выпуклы, является сильным ограничением, поскольку подразумевает отсутствие экономии масштаба. Аналогично мы можем рассматривать невыпуклые наборы потребительских возможностей и невыпуклые предпочтения. В таких случаях функции спроса и предложения могут быть прерывистыми относительно вектора цен, поэтому общее равновесие может не существовать. ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$

Однако мы можем «выпуклизировать» экономику, найти для нее равновесие, тогда по теореме Шепли–Фолкмана–Старра это будет приблизительное равновесие для исходной экономики.

Подробно, учитывая любую экономику, удовлетворяющую всем данным предположениям, за исключением выпуклости и , мы определяем «выпуклую экономику» как ту же самую экономику, за исключением того, что ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$ ${\displaystyle \succeq ^{i}}$

• ${\displaystyle PPS'^{j}=\mathrm {Conv} (PPS^{j})}$
• ${\displaystyle CPS'^{i}=\mathrm {Conv} (CPS^{i})}$
• ${\displaystyle x\succeq '^{i}y}$если да, то . ${\displaystyle \forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))}$

где обозначает выпуклую оболочку . ${\displaystyle \mathrm {Conv} }$

При этом любое общее равновесие для выпуклой экономики также является приблизительным равновесием для исходной экономики. То есть, если — вектор равновесной цены для выпуклой экономики, то ^[17] где — евклидово расстояние, а — любая верхняя граница внутренних радиусов всех (см. страницу о теореме Шепли–Фолкмана–Старра для определения внутренних радиусов). ${\displaystyle p^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$

Выпуклая экономика может не удовлетворять предположениям. Например, множество замкнуто, но его выпуклая оболочка не замкнута. Налагая дополнительное предположение, что выпуклая экономика также удовлетворяет предположениям, мы обнаруживаем, что исходная экономика всегда имеет приблизительное равновесие. ${\displaystyle \{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}}$

Учет времени, пространства и неопределенности

Товары в модели Эрроу–Дебре полностью абстрактны. Таким образом, хотя она обычно представляется как статический рынок, ее можно использовать для моделирования времени, пространства и неопределенности, разделив один товар на несколько, каждый из которых зависит от определенного времени, места и состояния мира. Например, «яблоки» можно разделить на «яблоки в Нью-Йорке в сентябре, если апельсины будут доступны» и «яблоки в Чикаго в июне, если апельсины не будут доступны».

При наличии некоторых базовых товаров полный рынок Эрроу–Дебре представляет собой рынок, на котором для каждого будущего момента времени, для каждого места поставки, для каждого рассматриваемого состояния мира, для каждого базового товара существует отдельный товар.

В финансовой экономике термин «Эрроу–Дебре» чаще всего относится к ценной бумаге Эрроу–Дебре . Каноническая ценная бумага Эрроу–Дебре — это ценная бумага, которая выплачивает одну единицу numeraire , если достигается определенное состояние мира, и ноль в противном случае (цена такой ценной бумаги — так называемая « цена состояния »). Таким образом, любой производный контракт, расчетная стоимость которого является функцией от базового актива, стоимость которого неопределенна на дату заключения контракта, может быть разложен как линейная комбинация ценных бумаг Эрроу–Дебре.

Со времени работы Бридена и Лизенбергера в 1978 году ^[18] большое количество исследователей использовали опционы для извлечения цен Эрроу-Дебре для различных приложений в финансовой экономике . ^[19]

Учет существования денег

Здесь не предлагается никакой теории денег, и предполагается, что экономика функционирует без помощи товара, служащего средством обмена.

—  Жерар Дебре, Теория стоимости: аксиоматический анализ экономического равновесия (1959)

Для чистого теоретика на данном этапе наиболее интересным и сложным аспектом денег является то, что они не могут найти себе места в экономике Эрроу-Дебре. Это обстоятельство также должно иметь существенное значение для макроэкономистов, но это редко так.

—  Фрэнк Хан , Основы денежной теории (1987)

Обычно экономисты рассматривают функции денег как единицы учета, средства сбережения, средства обмена и стандарта отложенного платежа. Однако это несовместимо с полным рынком Эрроу–Дебре, описанным выше. На полном рынке существует только одноразовая транзакция на рынке «в начале времени». После этого домохозяйства и производители просто выполняют свои запланированные производства, потребления и поставки товаров до конца времени. Следовательно, нет никакой пользы для хранения стоимости или средства обмена. Это относится не только к полному рынку Эрроу–Дебре, но и к моделям (например, с рынками условных товаров и страховыми контрактами Эрроу), которые отличаются по форме, но математически эквивалентны ему. ^[20]

Вычисление общего равновесия

Scarf (1967) ^[21] был первым алгоритмом, который вычисляет общее равновесие. См. обзоры Scarf (2018) ^[22] и Kubler (2012) ^{[23] .}

Число равновесий

Определенные экономики при определенных векторах обеспеченности могут иметь бесконечное количество векторов равновесных цен. Однако, «в общем», экономика имеет только конечное число векторов равновесных цен. Здесь «в общем» означает «во всех точках, за исключением замкнутого множества нулевой меры Лебега», как в теореме Сарда . ^{[24] [25]}

Существует много таких теорем общности. Один из примеров: ^{[26] [27]}

Унифицированность  —  для любого строго положительного распределения запасов и любого строго положительного вектора цен определите избыточный спрос, как и прежде. ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$

Если на всех , ${\displaystyle p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

• ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$четко определен,
• ${\displaystyle Z}$дифференцируема,
• ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$имеет , ${\displaystyle (N-1)}$

тогда для любого распределения ресурсов в общем случае существует лишь конечное число равновесий . ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Доказательство (набросок)

Определим «равновесное многообразие» как множество решений для . По закону Вальраса одно из ограничений избыточно. По предположениям, что имеет ранг , больше нет ограничений избыточных. Таким образом, равновесное многообразие имеет размерность , которая равна пространству всех распределений строго положительных запасов . ${\displaystyle Z=0}$ ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$ ${\displaystyle (N-1)}$ ${\displaystyle N\times I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

В силу непрерывности проекция замкнута. Таким образом, по теореме Сарда проекция из равновесного многообразия в является критической только на множестве меры 0. Остается проверить, что прообраз проекции в общем случае не просто дискретен, но и конечен. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

Смотрите также

• Модель (экономика)
• Неполные рынки
• Валютный рынок Эрроу-Дебре — более простая модель рынка, в которой есть только домохозяйства (которые могут быть как покупателями, так и продавцами), но нет производителей.
• Рынок Фишера — еще более простая модель рынка, в которой есть только покупатели; задано общее количество каждого продукта, а каждый покупатель имеет только денежный бюджет.
• Список статей по ценообразованию активов
• Финансовая экономика § Базовая экономика

Ссылки

1. Эрроу, К. Дж.; Дебре, Г. (1954). «Существование равновесия для конкурентной экономики». Econometrica . 22 (3): 265–290. doi :10.2307/1907353. JSTOR  1907353.
2. Маккензи, Лайонел В. (1954). «О равновесии в модели мировой торговли и других конкурентных системах Грэма». Econometrica . 22 (2): 147–161. doi :10.2307/1907539. JSTOR  1907539.
3. Маккензи, Лайонел В. (1959). «О существовании общего равновесия для конкурентной экономики». Econometrica . 27 (1): 54–71. doi :10.2307/1907777. JSTOR  1907777.
4. Для изложения доказательства см. Takayama, Akira (1985). Mathematical Economics (2-е изд.). London: Cambridge University Press. pp. 265–274. ISBN 978-0-521-31498-5.
5. Дюппе, Тилль; Вайнтрауб, Э. Рой (2014-12-31). Finding Equilibrium. Принстон: Princeton University Press. doi : 10.1515/9781400850129. ISBN 978-1-4008-5012-9.
6. Старр, Росс М. (2011). Общая теория равновесия: Введение (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0521533867.
7. Эрроу, К. Дж. (1962). «Лекции по теории конкурентного равновесия». Неопубликованные заметки лекций, прочитанных в Северо-Западном университете.
8. Метод ограниченного рынка описан в (Starr 2011), Раздел 18.2. Метод использовался в оригинальной публикации Arrow и Debreu (1954).
9. Starr, Ross M. (1969), «Квазиравновесия на рынках с невыпуклыми предпочтениями (Приложение 2: Теорема Шепли–Фолкмана, стр. 35–37)», Econometrica , 37 (1): 25–38, CiteSeerX 10.1.1.297.8498 , doi :10.2307/1909201, JSTOR  1909201 .
10. Starr, Ross M. (2008). «Теорема Шепли–Фолкмана». В Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (ред.). The New Palgrave Dictionary of Economics . Том 4 (второе издание). Palgrave Macmillan. стр. 317–318. doi :10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.
11. Удзава, Хирофуми (1962). «Теорема существования Вальраса и теорема Брауэра о неподвижной точке».季刊 理論経済学. 13 (1): 59–62. дои : 10.11398/экономика1950.13.1_59.
12. (Старр 2011), Раздел 18.4
13. (Старр 2011), Глава 19
14. Дебре, Жерар (1959-01-01). Теория стоимости: аксиоматический анализ экономического равновесия. Издательство Йельского университета. ISBN 978-0-300-01559-1.
15. Arrow, Kenneth J. (2007). Общий конкурентный анализ. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-85497-1. OCLC  817224321.
16. (Старр 2011) Теорема 22.2
17. (Старр 2011), Теорема 25.1
18. Бриден, Дуглас Т.; Литценбергер, Роберт Х. (1978). «Цены зависящих от состояния требований, подразумеваемые в ценах опционов». Журнал бизнеса . 51 (4): 621–651. doi :10.1086/296025. JSTOR  2352653. S2CID  153841737.
19. Алмейда, Кайо; Висенте, Хосе (2008). «Важны ли опционы процентной ставки для оценки процентного риска?» (PDF) . Серия рабочих документов N. 179, Центральный банк Бразилии .
20. (Старр 2011) Упражнение 20.15
21. Скарф, Герберт (сентябрь 1967 г.). «Аппроксимация неподвижных точек непрерывного отображения». Журнал SIAM по прикладной математике . 15 (5): 1328–1343. doi :10.1137/0115116. ISSN  0036-1399.
22. Скарф, Герберт Э. (2018), «Вычисление общего равновесия», Новый экономический словарь Palgrave , Лондон: Palgrave Macmillan UK, стр. 1973–1984, doi : 10.1057/978-1-349-95189-5_451, ISBN 978-1-349-95188-8, получено 2023-01-06
23. Кюблер, Феликс (2012), «Вычисление общего равновесия (новые разработки)», Новый экономический словарь Palgrave, версия 2012 г. , Бейзингсток: Palgrave Macmillan, doi : 10.1057/9781137336583.0296, ISBN 9781137336583, получено 2023-01-06
24. Дебре, Жерар (июнь 2000 г.), «Стивен Смейл и экономическая теория общего равновесия», Сборник статей Стивена Смейла , World Scientific Publishing Company, стр. 243–258, doi :10.1142/9789812792815_0025, ISBN 978-981-02-4991-5, получено 2023-01-06
25. Смейл, Стив (1981-01-01), «Глава 8 Глобальный анализ и экономика», Справочник по математической экономике , т. 1, Elsevier, стр. 331–370 , получено 06.01.2023
26. Дебре, Жерар (декабрь 1984 г.). «Экономическая теория в математическом режиме». The Scandinavian Journal of Economics . 86 (4): 393–410. doi :10.2307/3439651. ISSN  0347-0520. JSTOR  3439651.
27. (Старр 2011) Раздел 26.3

Дальнейшее чтение

• Athreya, Kartik B. (2013). «Современный макроэкономический подход и модель Эрроу–Дебре–Маккензи». Большие идеи в макроэкономике: нетехнический взгляд . Кембридж: MIT Press. стр. 11–46. ISBN 978-0-262-01973-6.
• Дженакоплос, Джон (1987). «Модель общего равновесия Эрроу–Дебре». The New Palgrave: A Dictionary of Economics . Том 1. С. 116–124.
• Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика (2-е изд.). Лондон: Cambridge University Press. С. 255–284. ISBN 978-0-521-31498-5.
• Дюппе, Тилль (2012). «Эрроу и Дебре дегомогенизировали». Журнал истории экономической мысли . 34 (4): 491–514. CiteSeerX  10.1.1.416.2120 . doi :10.1017/s1053837212000491. S2CID  15771197.

Внешние ссылки

• Заметки о модели экономики Эрроу-Дебре-Маккензи, проф. Ким С. Бордер, Калифорнийский технологический институт
• «Фундаментальная теорема» финансов; часть II. Профессор Марк Рубинштейн , Школа бизнеса им. Хааса ^{[ мертвая ссылка ]}