Теорема аппроксимации Артина

Результат 1969 года в теории деформации

В математике теорема об аппроксимации Артина является фундаментальным результатом Майкла Артина  (1969) в теории деформаций , который подразумевает, что формальные степенные ряды с коэффициентами в поле k хорошо аппроксимируются алгебраическими функциями от k .

Точнее, Артин доказал две такие теоремы: одну, в 1968 году, об аппроксимации комплексных аналитических решений формальными решениями (в случае ); и алгебраическую версию этой теоремы в 1969 году. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Формулировка теоремы

Пусть обозначает набор из n неизвестных , кольцо формальных степенных рядов с неизвестными над полем k и другой набор неизвестных. Пусть ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k[[\mathbf {x} ]]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\dots ,y_{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$

быть системой полиномиальных уравнений в , и c - положительное целое число . Тогда, если дано формальное решение степенного ряда , существует алгебраическое решение, состоящее из алгебраических функций (точнее, алгебраических степенных рядов) такое, что ${\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{c}.}$

Обсуждение

При любом желаемом положительном целом числе c эта теорема показывает, что можно найти алгебраическое решение, аппроксимирующее формальное решение степенного ряда вплоть до степени, заданной c . Это приводит к теоремам, которые выводят существование определенных формальных модульных пространств деформаций как схем . См. также: Критерий Артина .

Альтернативное заявление

Следующее альтернативное утверждение приведено в теореме 1.12 Майкла Артина  (1969).

Пусть будет полем или отличным дискретным кольцом нормирования, пусть будет гензелизацией в простом идеале -алгебры конечного типа, пусть m будет собственным идеалом , пусть будет m -адическим пополнением , и пусть ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F\colon (A{\text{-algebras}})\to ({\text{sets}}),}$

быть функтором, отправляющим фильтрованные копределы в фильтрованные копределы (Артин называет такой функтор локально конечного представления). Тогда для любого целого числа c и любого существует такое, что ${\displaystyle {\overline {\xi }}\in F({\hat {A}})}$ ${\displaystyle \xi \in F(A)}$

${\displaystyle {\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}}$.

Смотрите также

• Кольцо со свойством аппроксимации
• Теорема Попеску
• Критерий Артина

Ссылки

• Артин, Майкл (1969), «Алгебраическая аппроксимация структур над полными локальными кольцами», Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58, MR  0268188
• Артин, Майкл (1971). Алгебраические пространства . Математические монографии Йельского университета. Том 3. Нью-Хейвен, Коннектикут–Лондон: Издательство Йельского университета . MR  0407012.
• Рейно, Мишель (1971), «Последние работы М. Артена», Семинар Николя Бурбаки , 11 (363): 279–295, MR  3077132