артинский модуль

Модуль, удовлетворяющий условию нисходящей цепи на подмодулях

В математике , в частности, в абстрактной алгебре , артинов модуль — это модуль , который удовлетворяет условию нисходящей цепи на своем частично упорядоченном множестве подмодулей . Они являются для модулей тем же, чем артиновы кольца являются для колец , и кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда оно является артиновым модулем над собой (с левым или правым умножением). Оба понятия названы в честь Эмиля Артина .

При наличии аксиомы ( зависимого ) выбора условие нисходящей цепи становится эквивалентным условию минимума , и поэтому его можно использовать в определении вместо него.

Подобно нётеровским модулям , артиновы модули обладают следующим свойством наследственности:

• Если M — артинов R -модуль, то таковыми являются любой подмодуль и любой фактор M .

Обратное утверждение также верно:

• Если M — любой R -модуль, а N — любой артинов подмодуль, такой что M / N — артинов, то M — артинов.

Как следствие, любой конечно-порожденный модуль над артиновым кольцом является артиновым. ^[1] Поскольку артиново кольцо также является нётеровым кольцом , а конечно-порожденные модули над нётеровым кольцом являются нётеровыми, ^[1] верно, что для артинова кольца R любой конечно-порожденный R -модуль является как нётеровым, так и артиновым, и называется имеющим конечную длину . Из этого также следует, что любой конечно-порожденный артинов модуль является нётеровым даже без предположения, что R является артиновым. Однако, если R не является артиновым, а M не является конечно-порожденным, существуют контрпримеры.

Левые и правые артиновы кольца, модули и бимодули

Кольцо R можно рассматривать как правый модуль, где действие является естественным, заданным кольцевым умножением справа. R называется правым артиновым , когда этот правый модуль R является артиновым модулем. Определение «левого артинова кольца» делается аналогично. Для некоммутативных колец это различие необходимо, поскольку кольцо может быть артиновым с одной стороны, но не с другой.

Прилагательные left-right обычно не нужны для модулей, потому что модуль M обычно задается как левый или правый R -модуль в начале. Однако возможно, что M может иметь как левую, так и правую R -модульную структуру, и тогда называть M артиновым неоднозначно, и становится необходимым прояснить, какая структура модуля является артиновой. Чтобы разделить свойства двух структур, можно злоупотребить терминологией и называть M левым артиновым или правым артиновым, когда, строго говоря, правильно сказать, что M с его левой R -модульной структурой является артиновым.

Появление модулей с левой и правой структурой не является чем-то необычным: например, сам R имеет левую и правую R -модульную структуру. Фактически, это пример бимодуля , и возможно, что абелева группа M может быть преобразована в левый R , правый S -бимодуль для другого кольца S . Действительно, для любого правого модуля M он автоматически является левым модулем над кольцом целых чисел Z , и, более того, является Z - R -бимодулем. Например, рассмотрим рациональные числа Q как Z - Q -бимодуль естественным образом. Тогда Q не является артиновым как левый Z -модуль, но он артинов как правый Q -модуль.

Условие артиновости может быть определено и на бимодульных структурах: артинов бимодуль — это бимодуль , чей ч.у.м. подмножества подбимодулей удовлетворяет условию нисходящей цепи. Поскольку подбимодуль R - S -бимодуля M является a fortiori левым R -модулем, если M, рассматриваемый как левый R -модуль, был артиновым, то M автоматически является артиновым бимодулем. Однако может случиться, что бимодуль будет артиновым без артиновых его левой или правой структур, как покажет следующий пример.

Пример: Хорошо известно, что простое кольцо является артиновым слева тогда и только тогда, когда оно является артиновым справа, в этом случае оно является полупростым кольцом . Пусть R — простое кольцо, которое не является артиновым справа. Тогда оно также не является артиновым слева. Рассматривая R как R - R -бимодуль естественным образом, его подбимодули — это в точности идеалы R . Поскольку R простое, их всего два: R и нулевой идеал . Таким образом, бимодуль R является артиновым как бимодуль, но не артиновым как левый или правый R -модуль над собой.

Отношение к нётеровскому условию

В отличие от случая колец, существуют артиновы модули, которые не являются нётеровыми модулями . Например, рассмотрим p -примарный компонент , то есть , который изоморфен p -квазициклической группе , рассматриваемой как -модуль. Цепь не заканчивается, поэтому (и, следовательно, ) не является нётеровой. Тем не менее , каждая нисходящая цепочка (без потери общности) собственных подмодулей заканчивается: Каждая такая цепочка имеет вид для некоторых целых чисел , и включение подразумевает, что должно делить . Так же как и убывающая последовательность положительных целых чисел. Таким образом, последовательность заканчивается, делая артинову. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \subset \cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supseteq \langle 1/n_{2}\rangle \supseteq \langle 1/n_{3}\rangle \supseteq \cdots }$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \langle 1/n_{i+1}\rangle \subseteq \langle 1/n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle n_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$

Обратите внимание, что также является точным модулем. Таким образом, это также дает пример точного артинова модуля над неартиновым кольцом. Этого не происходит в нётеровом случае; если M является точным нётеровым модулем над A , то A также является нётеровым. ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Над коммутативным кольцом каждый циклический артинов модуль также является нётеровым, но над некоммутативными кольцами циклические артиновы модули могут иметь несчетную длину, как показано в статье Хартли и хорошо обобщено в статье Пола Кона , посвященной памяти Хартли.

Другим важным результатом является теорема Акидзуки–Хопкинса–Левицки , которая утверждает, что артиновость и нётеровость эквивалентны для модулей над полупримарным кольцом .

Смотрите также

• Нетеровский модуль
• Условие восходящей/нисходящей цепи
• Серия композиций
• Измерение Крулла

Примечания

1. Lam (2001), Предложение 1.21, стр. 19.

Ссылки

• Атья, МФ ; Макдональд, И.Г. (1969). "Глава 6. Цепные условия; Глава 8. Кольца Артина". Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Кон, П. М. (1997). «Циклические артиновы модули без композиционной серии». J. London Math. Soc . Series 2. 55 (2): 231–235. doi :10.1112/S0024610797004912. MR  1438626.
• Хартли, Б. (1977). «Несчетные артиновы модули и несчетные разрешимые группы, удовлетворяющие Min-n». Proc. London Math. Soc . Series 3. 35 (1): 55–75. doi :10.1112/plms/s3-35.1.55. MR  0442091.
• Лам, Тайвань (2001). «Глава 1. Теория Веддерберна-Артина». Первый курс некоммутативных колец . Спрингер Верлаг. ISBN 978-0-387-95325-0.