Теорема согласия Ауманна

Теорема теории игр о том, могут ли байесовские агенты согласиться не соглашаться

Теорема согласия Ауманна была сформулирована и доказана Робертом Ауманн в статье под названием «Согласие не соглашаться» ^[1] , в которой было введено теоретико-множественное описание общих знаний . Теорема касается агентов, которые разделяют общее априорное значение и обновляют свои вероятностные убеждения по правилу Байеса . Она гласит, что если вероятностные убеждения таких агентов относительно фиксированного события являются общим знанием, то эти вероятности должны совпадать. Таким образом, агенты не могут согласиться не соглашаться , то есть иметь общее знание о несогласии относительно апостериорной вероятности данного события.

Теорема

Модель, используемая в Aumann ^[1] для доказательства теоремы, состоит из конечного множества состояний с априорной вероятностью , которая является общей для всех агентов. Знания агента задаются разбиением . Апостериорная вероятность агента , обозначается как условная вероятность данного . Зафиксируем событие и пусть будет событием, которое для каждого , . Теорема утверждает, что если событие, которое является общим знанием, не пусто, то все числа одинаковы. Доказательство следует непосредственно из определения общего знания. Событие является объединением элементов для каждого . Таким образом, для каждого , . Утверждение теоремы следует, поскольку левая часть не зависит от . Теорема была доказана для двух агентов, но доказательство для любого числа агентов аналогично. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Pi _{a}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p_{a}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi _{a}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p_{a}(E)=x_{a}}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \Pi _{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p(E|C(x))=x_{a}}$ ${\displaystyle a}$

Расширения

Мондерер и Самет ослабили предположение об общем знании и вместо этого предположили общее убеждение в апостериорности агентов. ^[2] Они дали верхнюю границу расстояния между апостериорностями . Эта граница приближается к 0, когда приближается к 1. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle p}$

Зив Хеллман ослабил предположение об общем априоре и предположил вместо этого, что агенты имеют априоры, которые являются -близкими в хорошо определенной метрике. ^[3] Он показал, что общее знание апостериорных вероятностей в этом случае подразумевает, что они являются -близкими. Когда стремится к нулю, исходная теорема Ауманна повторяется. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Нильсен распространил теорему на недискретные модели, в которых знания описываются -алгебрами, а не разбиениями. ^[4] ${\displaystyle \sigma }$

Знание , которое определяется в терминах разделов, имеет свойство отрицательной интроспекции . То есть агенты знают, что они не знают, чего они не знают. Однако можно показать, что невозможно согласиться не согласиться, даже если знание не имеет этого свойства. ^[5]

Халперн и Кетс утверждали, что игроки могут согласиться не соглашаться при наличии неоднозначности, даже если есть общее априорное значение. Однако допущение неоднозначности является более ограничительным, чем допущение неоднородных априорных значений. ^[6]

Невозможность согласиться не согласиться, в теореме Ауманна, является необходимым условием для существования общего априорного значения. Более сильное условие можно сформулировать в терминах ставок. Ставка — это набор случайных величин , по одной для каждого агента , например . Ставка выгодна агенту в состоянии, если ожидаемое значение at положительно. Невозможность согласиться о прибыльности ставки является более сильным условием, чем невозможность согласиться не согласиться, и, более того, это необходимое и достаточное условие для существования общего априорного значения. ^{[7] [8]} ${\displaystyle f_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sum _{a}f_{a}=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f_{a}}$ ${\displaystyle s}$

Динамика

Диалог между двумя агентами — это динамический процесс, в котором на каждом этапе агенты сообщают друг другу свои апостериоры заданного события . Получив эту новую информацию, каждый из них обновляет свои апостериоры . Ауманн предположил, что такой процесс приводит к тому, что агенты совместно знают свои апостериоры, и, следовательно, по теореме о согласии апостериоры в конце процесса совпадают. ^[1] Геанакоплос и Полемарчакис доказали это для диалогов в конечных пространствах состояний. ^[9] Полемарчакис показали, что любая пара конечных последовательностей одинаковой длины, заканчивающихся одним и тем же числом, может быть получена как диалог. ^[10] Напротив, Ди Тиллио и соавторы показали, что бесконечные диалоги должны удовлетворять определенным ограничениям на их вариацию. ^[11] Скотт Ааронсон изучал сложность и скорость сходимости различных типов диалогов с более чем двумя агентами. ^[12] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Ссылки

1. Aumann, Robert J. (1976). «Согласие не согласиться» (PDF) . Анналы статистики . 4 (6): 1236–1239. doi : 10.1214/aos/1176343654 . ISSN  0090-5364. JSTOR  2958591.
2. Мондерер, дов; Дов Самет (1989). «Приближение общих знаний к общим убеждениям». Игры и экономическое поведение . 1 (2): 170–190. doi :10.1016/0899-8256(89)90017-1.
3. Хеллман, Зив (2013). «Почти общие априорные вероятности». Международный журнал теории игр . 42 (2): 399–410. doi :10.1007/s00182-012-0347-5. S2CID  253717739.
4. Нильсен, Ларс Тиге (1984). «Общие знания, коммуникация и конвергенция убеждений». Математические социальные науки . 8 (1): 1–14. doi :10.1016/0165-4896(84)90057-X.
5. Самет, Дов (1990). «Игнорирование невежества и согласие не соглашаться» (PDF) . Журнал экономической теории . 52 (1): 190–207. doi :10.1016/0022-0531(90)90074-T.
6. Halpern, Joseph; Willemien Kets (2013-10-28). "Неоднозначный язык и консенсус" (PDF) . Получено 2014-01-13 .
7. Файнберг, Йосси (2000). «Характеристика общих априорных данных в форме апостериорных данных». Журнал экономической теории . 91 (2): 127–179. doi :10.1006/jeth.1999.2592.
8. Самет, Дов (1998). «Общие априорные данные и разделение выпуклых множеств». Игры и экономическое поведение . 91 (1–2): 172–174. doi :10.1006/game.1997.0615.
9. Геанакоплос, Джон Д.; Геракл М. Полемархакис (1982). «Мы не можем вечно не соглашаться». Журнал экономической теории . 28 (1): 1192–200. doi :10.1016/0022-0531(82)90099-0.
10. Полемархакис, Геракл (2022). «Байесовские диалоги» (PDF) .
11. Ди Тиллио, Альфредо; Эхуд Лерер; Дов Самет (2022). «Монологи, диалоги и общие априоры». Теоретическая экономика . 17 (2): 587–615. дои : 10.3982/TE4508 . hdl : 10419/296365 .
12. Ааронсон, Скотт (2005). "Сложность соглашения" (PDF) . Труды тридцать седьмого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 634–643. doi :10.1145/1060590.1060686. ISBN 978-1-58113-960-0. S2CID  896614 . Получено 2010-08-09 .

Дальнейшее чтение

• Кадане, Джозеф Б.; Шервиш, Марк Дж.; Сейденфельд, Тедди (1999). «Некооперативное принятие решений, вывод и обучение с использованием общих доказательств». Переосмысление основ статистики . Cambridge University Press. ISBN 0-521-64011-3.