Автоморфный фактор

В математике автоморфный фактор — это определенный тип аналитической функции , определенный на подгруппах SL (2,R) , появляющийся в теории модулярных форм . Общий случай для общих групп рассматривается в статье « фактор автоморфности ».

Определение

Автоморфный фактор веса k — это функция, удовлетворяющая четырем свойствам, приведенным ниже. Здесь обозначения и относятся к верхней полуплоскости и комплексной плоскости соответственно. Обозначение — это подгруппа SL(2,R), например, фуксова группа . Элемент — это матрица 2×2 с действительными числами a , b , c , d , удовлетворяющая условию ad − bc =1. $${\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ $${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$$

Автоморфный фактор должен удовлетворять:

1. При фиксированном функция является голоморфной функцией . ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle \nu (\gamma ,z)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$
2. Для всех и имеем фиксированное действительное число k . ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ $${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$$
3. Для всех и имеем Здесь — дробно - линейное преобразование от . ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$ $${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$$ ${\displaystyle \delta z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta }$
4. Если , то для всех и , имеем Здесь I обозначает единичную матрицу . ${\displaystyle -I\in \Gamma }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ $${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}$$

Характеристики

Каждый автоморфный фактор может быть записан как

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

с

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

Функция называется системой множителей . Очевидно, ${\displaystyle \upsilon :\Gamma \to S^{1}}$

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$,

в то время как, если , то ${\displaystyle -I\in \Gamma }$

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

что равно, когда k — целое число. ${\displaystyle (-1)^{k}}$

Ссылки

• Роберт Рэнкин , Модульные формы и функции , (1977) Cambridge University Press ISBN  0-521-21212-X . (Глава 3 полностью посвящена автоморфным факторам для модулярной группы.)