Автоморфная функция

Математическая функция на пространстве, инвариантная относительно действия некоторой группы

В математике автоморфная функция — это функция на пространстве, которая инвариантна относительно действия некоторой группы , другими словами, функция на факторпространстве . Часто пространство представляет собой комплексное многообразие , а группа — дискретную группу .

Фактор автоморфности

В математике понятие фактора автоморфности возникает для группы, действующей на комплексно-аналитическом многообразии . Предположим, что группа действует на комплексно-аналитическом многообразии . Тогда также действует на пространстве голоморфных функций от до комплексных чисел. Функция называется автоморфной формой, если выполняется следующее: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(g.x)=j_{g}(x)f(x)}$

где — всюду ненулевая голоморфная функция. Эквивалентно, автоморфная форма — это функция, делитель которой инвариантен относительно действия . ${\displaystyle j_{g}(x)}$ ${\displaystyle G}$

Фактором автоморфности для автоморфной формы является функция . Автоморфная функция — это автоморфная форма, для которой является тождеством. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Некоторые факты о факторах автоморфии:

• Каждый фактор автоморфности является коциклом для действия на мультипликативной группе всюду ненулевых голоморфных функций. ${\displaystyle G}$
• Фактор автоморфности является кограницей тогда и только тогда, когда он возникает из всюду ненулевой автоморфной формы.
• При заданном факторе автоморфности пространство автоморфных форм является векторным пространством.
• Поточечное произведение двух автоморфных форм является автоморфной формой, соответствующей произведению соответствующих множителей автоморфности.

Связь между факторами автоморфности и другими понятиями:

• Пусть — решетка в группе Ли . Тогда фактор автоморфности для соответствует линейному расслоению на факторгруппе . Далее, автоморфные формы для данного фактора автоморфности соответствуют сечениям соответствующего линейного расслоения. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

В статье об автоморфных факторах рассматривается частный случай подгруппы SL (2,  R ), действующей на верхней полуплоскости . ${\displaystyle \Gamma }$

Примеры

• Группа Кляйнианцев
• Эллиптическая модульная функция
• Модульная функция
• Комплексный тор

Ссылки

• А.Н. Паршин (2001) [1994], "Автоморфная форма", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Андрианов, АН; Паршин, АН (2001) [1994], "Автоморфная функция", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Форд, Лестер Р. (1929), Автоморфные функции, Нью-Йорк, McGraw-Hill, ISBN 978-0-8218-3741-2, JFM  55.0810.04
• Фрике, Роберт ; Кляйн, Феликс (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Эрстер Бэнд; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01