решетка Бете

Решетка Бете с координационным числом z  = 3

В статистической механике и математике решетка Бете (также называемая регулярным деревом ) — это бесконечный связный граф без циклов , в котором все вершины имеют одинаковое число соседей. Решетка Бете была введена в физическую литературу Гансом Бете в 1935 году. В таком графе каждый узел соединен с z соседями; число z называется либо координационным числом , либо степенью , в зависимости от поля.

Благодаря своей отличительной топологической структуре статистическую механику решеточных моделей на этом графе часто легче решить, чем на других решетках. Решения связаны с часто используемым анзацем Бете для этих систем.

Основные свойства

При работе с решеткой Бете часто бывает удобно обозначить заданную вершину как корень, чтобы использовать ее в качестве точки отсчета при рассмотрении локальных свойств графа.

Размеры слоев

Как только вершина отмечена как корень, мы можем сгруппировать другие вершины в слои на основе их расстояния от корня. Количество вершин на расстоянии от корня равно , так как каждая вершина, отличная от корня, смежна с вершинами на расстоянии, на единицу большем от корня, а корень смежна с вершинами на расстоянии 1. ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle z(z-1)^{d-1}}$ ${\displaystyle z-1}$ ${\displaystyle z}$

В статистической механике

Решетка Бете представляет интерес для статистической механики в основном потому, что решеточные модели на решетке Бете часто проще решать, чем на других решетках, таких как двумерная квадратная решетка . Это происходит потому, что отсутствие циклов устраняет некоторые из более сложных взаимодействий. Хотя решетка Бете не так близко аппроксимирует взаимодействия в физических материалах, как другие решетки, она все же может дать полезную информацию.

Точные решения модели Изинга

Модель Изинга — это математическая модель ферромагнетизма , в которой магнитные свойства материала представлены «спином» в каждом узле решетки, который равен либо +1, либо -1. Модель также оснащена константой, представляющей силу взаимодействия между соседними узлами, и константой, представляющей внешнее магнитное поле. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h}$

Модель Изинга на решетке Бете определяется статистической суммой

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{(i,j)}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right).}$

Намагничивание

Чтобы вычислить локальную намагниченность, мы можем разбить решетку на несколько идентичных частей, удалив вершину. Это дает нам рекуррентное соотношение, которое позволяет вычислить намагниченность дерева Кэли с n оболочками (конечный аналог решетки Бете) как

${\displaystyle M={\frac {e^{h}-e^{-h}x_{n}^{q}}{e^{h}+e^{-h}x_{n}^{q}}},}$

где и значения удовлетворяют рекуррентному соотношению ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x_{n-1}^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x_{n-1}^{q-1}}}}$

В случае, когда система является ферромагнитной, указанная выше последовательность сходится, поэтому мы можем взять предел для оценки намагниченности на решетке Бете. Получаем ${\displaystyle K>0}$

${\displaystyle M={\frac {e^{2h}-x^{q}}{e^{2h}+x_{q}}},}$где x — решение . ${\displaystyle x={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x^{q-1}}}}$

У этого уравнения есть 1 или 3 решения. В случае, когда их 3, последовательность будет сходиться к наименьшему при и наибольшему при . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle h<0}$

Бесплатная энергия

Свободная энергия f в каждом узле решетки в модели Изинга определяется выражением

${\displaystyle {\frac {f}{kT}}={\frac {1}{2}}[-Kq-q\ln(1-z^{2})+\ln(z^{2}+1-z(x+1/x))+(q-2)\ln(x+1/x-2z)]}$,

где и то же самое, что и раньше. ^[1] ${\displaystyle z=\exp(-2K)}$ ${\displaystyle x}$

В математике

Вероятность возврата случайного блуждания

Вероятность того, что случайное блуждание по решетке Бете степени, начинающееся в заданной вершине, в конечном итоге вернется в эту вершину, определяется как . Чтобы показать это, пусть будет вероятностью возвращения в нашу исходную точку, если мы находимся на расстоянии . У нас есть рекуррентное соотношение ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\frac {1}{z-1}}}$ ${\displaystyle P(k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle P(k)={\frac {1}{z}}P(k-1)+{\frac {z-1}{z}}P(k+1)}$

для всех , так как в каждом месте, отличном от начальной вершины, есть ребра, идущие от начальной вершины, и 1 ребро, идущее к ней. Суммируя это уравнение по всем , мы получаем ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle z-1}$ ${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(k)={\frac {1}{z}}P(0)+{\frac {1}{z}}P(1)+\sum _{k=2}^{\infty }P(k)}$.

У нас есть , поскольку это указывает на то, что мы только что вернулись к исходной вершине, то есть , что является искомым нами значением. ${\displaystyle P(0)=1}$ ${\displaystyle P(1)=1/(z-1)}$

Обратите внимание, что это резко контрастирует со случаем случайных блужданий по двумерной квадратной решетке, которая, как известно, имеет вероятность возврата 1. ^[2] Такая решетка является 4-регулярной, но 4-регулярная решетка Бете имеет вероятность возврата 1/3.

Количество закрытых проходов

Можно легко ограничить число замкнутых путей длины, начинающихся в заданной вершине решетки Бете, степенью снизу. Рассматривая каждый шаг либо как шаг наружу (от начальной вершины), либо как шаг внутрь (к начальной вершине), мы видим, что любой замкнутый путь длины должен иметь ровно шаги наружу и шаги внутрь. Мы также могли не сделать больше шагов внутрь, чем шагов наружу в любой точке, поэтому число последовательностей направлений шагов (либо внутрь, либо наружу) задается числом Каталана th . Существует по крайней мере выбор для каждого шага наружу, и всегда ровно 1 выбор для каждого шага внутрь, поэтому число замкнутых путей составляет по крайней мере . ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle z-1}$ ${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}}$

Эта граница не является жесткой, поскольку на самом деле есть выбор для шага наружу из начальной вершины, который происходит в начале и любое количество раз во время прогулки. Точное количество прогулок вычислить сложнее, и оно задается формулой ${\displaystyle z}$

${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}\cdot {\frac {z-1}{z}}\ _{2}F_{1}(k+1/2,1,k+2,4(z-1)/z^{2}),}$

где — гипергеометрическая функция Гаусса . ^[3] ${\displaystyle _{2}F_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)}$

Мы можем использовать этот факт, чтобы ограничить второе по величине собственное значение -регулярного графа. Пусть будет -регулярным графом с вершинами, и пусть будет его матрицей смежности . Тогда есть число замкнутых путей длины . Число замкнутых путей на по крайней мере умножается на число замкнутых путей на решетке Бете со степенью, начинающейся в определенной вершине, так как мы можем сопоставить пути на решетке Бете с путями на , которые начинаются в данной вершине, и возвращаться только по путям, которые уже были пройдены. Часто есть больше путей на , так как мы можем использовать циклы для создания дополнительных путей. Наибольшее собственное значение равно , и пусть будет вторым по величине абсолютным значением собственного значения, мы имеем ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{tr }}A^{2k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle n(d-1)^{k}C_{k}\leq {\text{tr}}A^{2k}\leq d^{2k}+(n-1)\lambda _{2}^{2k}.}$

Это дает . Заметив, что по мере роста мы можем позволить расти гораздо быстрее, чем увидеть, что существует только конечное число -регулярных графов , для которых второе по величине абсолютное значение собственного значения не превышает , для любого Это довольно интересный результат в исследовании (n,d,λ)-графов . ${\displaystyle \lambda _{2}^{2k}\geq {\frac {1}{n-1}}(n(d-1)^{k}C_{k}-d^{2k})}$ ${\displaystyle C_{k}=(4-o(1))^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda <2{\sqrt {d-1}}.}$

Связь с графами Кэли и деревьями Кэли

Граф Бете с четным координационным числом 2n изоморфен неориентированному графу Кэли свободной группы ранга n относительно свободного порождающего множества.

Решетки в группах Ли

Решетки Бете также встречаются как дискретные подгруппы некоторых гиперболических групп Ли , таких как фуксовы группы . Как таковые, они также являются решетками в смысле решетки в группе Ли .

Гиперболическая геометрия

Апейрогональная мозаика порядка 3

Вершины и ребра порядково- апейрогональной мозаики гиперболической плоскости образуют решетку Бете степени . ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Кристалл

Ссылки

1. Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решенные модели в статистической механике . Academic Press. ISBN 0-12-083182-1. Збл  0538.60093.
2. Дарретт, Рик (1991). Вероятность: теория и примеры . Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
3. Джакометти, А. (1994). «Точная замкнутая форма вероятности возврата на решетке Бете». Phys A. Math. Gen. 28 ( 1): L13–L17. arXiv : cond-mat/9411113v1 . doi :10.1088/0305-4470/28/1/003. S2CID  13298204.
4. Моссери, Р.; Садок, Дж. Ф. (1982). «Решетка Бете: регулярное разбиение гиперболической плоскости» (PDF) . Journal de Physique Lettres . 43 (8): 249–252. doi :10.1051/jphyslet:01982004308024900.

• Бете, ХА (1935). «Статистическая теория сверхрешеток». Учеб. Р. Сок. Лонд. А.​ 150 (871): 552–575. Бибкод : 1935RSPSA.150..552B. дои : 10.1098/rspa.1935.0122. Збл  0012.04501.
• Остилли, М. (2012). «Деревья Кэли и решетки Бете, краткий анализ для математиков и физиков». Physica A. 391 ( 12): 3417. arXiv : 1109.6725 . Bibcode : 2012PhyA..391.3417O. doi : 10.1016/j.physa.2012.01.038. S2CID  119693543.