Двудиагональная матрица

В математике бидиагональная матрица — это ленточная матрица с ненулевыми элементами вдоль главной диагонали и либо диагонали выше, либо диагонали ниже. Это означает, что в матрице ровно две ненулевые диагонали.

Если диагональ, расположенная выше главной диагонали, имеет ненулевые элементы, то матрица является верхней двухдиагональной . Если диагональ, расположенная ниже главной диагонали, имеет ненулевые элементы, то матрица является нижней двухдиагональной .

Например, следующая матрица является верхней двухдиагональной :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4&0&0\\0&4&1&0\\0&0&3&4\\0&0&0&3\\\end{pmatrix}}}$

и следующая матрица является нижней двухдиагональной :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\2&4&0&0\\0&3&3&0\\0&0&4&3\\\end{pmatrix}}.}$

Использование

Один из вариантов алгоритма QR начинается с преобразования общей матрицы в двухдиагональную ^[1] , и сингулярное разложение (SVD) также использует этот метод.

Бидиагонализация

Бидиагонализация обеспечивает гарантированную точность при использовании арифметики с плавающей точкой для вычисления сингулярных значений. ^[2]

Смотрите также

• Список матриц
• ЛАПАК
• Форма Хессенберга — Форма Хессенберга похожа, но имеет больше ненулевых диагональных линий, чем 2.

Ссылки

• Стюарт, GW (2001). Eigensystems . Матричные алгоритмы. Том 2. Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-503-2.

1. Анатольевич, Бочканов Сергей (2010-12-11). "Операции с матрицами и их разложения — Другие операции с общими матрицами — Разложение SVD". Руководство пользователя ALGLIB, Проект ALGLIB .Доступ: 2010-12-11. (Архивировано WebCite на)
2. Фернандо, К. В. (1 апреля 2007 г.). «Вычисление точной инерции и включений собственных значений (сингулярных значений) трехдиагональных (двухдиагональных) матриц». Линейная алгебра и ее приложения . 422 (1): 77–99. doi : 10.1016/j.laa.2006.09.008 . S2CID  122729700.

Внешние ссылки

• Высокопроизводительные алгоритмы приведения к сжатой (Гессенберга, трехдиагональной, двухдиагональной) форме