Неравенство Бишопа–Громова

Об объемах в полных римановых n-многообразиях, кривизна Риччи которых имеет нижнюю границу

В математике неравенство Бишопа –Громова — теорема сравнения в римановой геометрии , названная в честь Ричарда Л. Бишопа и Михаила Громова . Она тесно связана с теоремой Майерса и является ключевым моментом в доказательстве теоремы Громова о компактности . ^[1]

Заявление

Пусть — полное n -мерное риманово многообразие, кривизна Риччи которого удовлетворяет нижней границе ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {Ric} \geq (n-1)K}$

для константы . Пусть будет полным n -мерным односвязным пространством постоянной секционной кривизны (и, следовательно, постоянной кривизны Риччи ); таким образом, является n -сферой радиуса , если , или n -мерным евклидовым пространством , если , или соответствующим образом перемасштабированной версией n -мерного гиперболического пространства , если . Обозначим через шар радиуса r вокруг точки p , определенный относительно римановой функции расстояния . ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{K}^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (n-1)K}$ ${\displaystyle M_{K}^{n}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle K<0}$ ${\displaystyle B(p,r)}$

Тогда для любых и функция ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p_{K}\in M_{K}^{n}}$

${\displaystyle \phi (r)={\frac {\mathrm {Vol} \,B(p,r)}{\mathrm {Vol} \,B(p_{K},r)}}}$

не возрастает на . ${\displaystyle (0,\infty )}$

Когда r стремится к нулю, отношение приближается к единице, поэтому вместе с монотонностью это означает, что

${\displaystyle \mathrm {Vol} \,B(p,r)\leq \mathrm {Vol} \,B(p_{K},r).}$

Эту версию впервые доказал Бишоп. ^{[2] [3]}

Смотрите также

• Теорема сравнения
• Неравенство Громова (значения)

Ссылки

1. Петерсен, Питер (2016). "Раздел 7.1.2". Риманова геометрия (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-26652-7.
2. Бишоп, Р. Соотношение между объемом, средней кривизной и диаметром. Уведомления Американского математического общества 10 (1963), стр. 364.
3. Бишоп Р.Л., Криттенден Р.Дж. Геометрия многообразий, Следствие 4, стр. 256