Теорема Бохнера

Теорема о преобразованиях Фурье мер Бореля

В математике теорема Бохнера (названная в честь Саломона Бохнера ) характеризует преобразование Фурье положительной конечной меры Бореля на вещественной прямой. В более общем смысле в гармоническом анализе теорема Бохнера утверждает, что при преобразовании Фурье непрерывная положительно определенная функция на локально компактной абелевой группе соответствует конечной положительной мере на двойственной группе Понтрягина . Случай последовательностей был впервые установлен Густавом Герглотцем (см. также связанную теорему Герглотца о представлении ). ^[1]

Теорема для локально компактных абелевых групп

Теорема Бохнера для локально компактной абелевой группы с двойственной группой гласит следующее: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Теорема Для любой нормализованной непрерывной положительно определенной функции на (нормализация здесь означает, что она равна 1 в единице ), существует единственная вероятностная мера на такая, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ),}$$

т.е. является преобразованием Фурье уникальной вероятностной меры на . Наоборот, преобразование Фурье вероятностной меры на обязательно является нормализованной непрерывной положительно определенной функцией на . Это фактически взаимно однозначное соответствие. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

Преобразование Гельфанда –Фурье является изоморфизмом между групповой C*-алгеброй и . Теорема по сути является двойственным утверждением для состояний двух абелевых C*-алгебр. ${\displaystyle C^{*}(G)}$ ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$

Доказательство теоремы проходит через векторные состояния на сильно непрерывных унитарных представлениях ( доказательство фактически показывает, что каждая нормализованная непрерывная положительно определенная функция должна иметь этот вид). ${\displaystyle G}$

Если задана нормализованная непрерывная положительно определенная функция на , можно построить сильно непрерывное унитарное представление естественным образом: Пусть будет семейством комплекснозначных функций на с конечным носителем, т.е. для всех, кроме конечного числа . Положительно определенное ядро ​​индуцирует (возможно, вырожденное) скалярное произведение на . Факторизация вырождения и взятие пополнения дает гильбертово пространство ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{0}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K(g_{1},g_{2})=f(g_{1}-g_{2})}$ ${\displaystyle F_{0}(G)}$

$${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f}),}$$

типичным элементом которого является класс эквивалентности . Для фиксированного в , " оператор сдвига ", определенный , для представителя , является унитарным. Таким образом, отображение ${\displaystyle [h]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{g}}$ ${\displaystyle (U_{g}h)(g')=h(g'-g)}$ ${\displaystyle [h]}$

$${\displaystyle g\mapsto U_{g}}$$

является унитарным представлением на . По непрерывности , оно слабо непрерывно, поэтому сильно непрерывно. По построению имеем ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f})}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=f(g),}$$

где — класс функции, которая равна 1 на тождестве и нулю в других местах. Но по изоморфизму Гельфанда–Фурье векторное состояние на является обратным от состояния на , которое обязательно является интеграцией по вероятностной мере . Прогонка по изоморфизмам тогда дает ${\displaystyle [e]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle \cdot [e],[e]\rangle _{f}}$ ${\displaystyle C^{*}(G)}$ ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).}$$

С другой стороны, если задана вероятностная мера на , функция ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

$${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi )}$$

является нормализованной непрерывной положительно-определенной функцией. Непрерывность следует из теоремы о доминируемой сходимости . Для положительно-определенности возьмем невырожденное представление . Это однозначно продолжается до представления ее алгебры множителей и, следовательно, сильно непрерывного унитарного представления . Как и выше, мы дали некоторое векторное состояние на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$ ${\displaystyle C_{b}({\widehat {G}})}$ ${\displaystyle U_{g}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{g}}$

$${\displaystyle f(g)=\langle U_{g}v,v\rangle ,}$$

следовательно, положительно-определенный.

Эти две конструкции являются взаимообратными.

Особые случаи

Теорема Бохнера в частном случае дискретной группы часто называется теоремой Герглотца (см. теорему Герглотца о представлении ) и гласит, что функция на является положительно определенной тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера на окружности такая, что ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

$${\displaystyle f(k)=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$$

Аналогично, непрерывная функция на с является положительно определенной тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера на такая, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(t)=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi t}\,d\mu (\xi ).}$$

Приложения

В статистике теорема Бохнера может быть использована для описания последовательной корреляции определенного типа временных рядов . Последовательность случайных величин со средним значением 0 является (в широком смысле) стационарным временным рядом, если ковариация ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

$${\displaystyle \operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$$

зависит только от . Функция ${\displaystyle n-m}$

$${\displaystyle g(n-m)=\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$$

называется функцией автоковариации временного ряда. При предположении о среднем значении, равном нулю,

$${\displaystyle g(n-m)=\langle f_{n},f_{m}\rangle ,}$$

где обозначает скалярное произведение на гильбертовом пространстве случайных величин с конечными вторыми моментами. Тогда сразу видно, что является положительно определенной функцией на целых числах . По теореме Бохнера существует единственная положительная мера на такая, что ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,1]}$

$${\displaystyle g(k)=\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$$

Эта мера называется спектральной мерой временного ряда. Она дает информацию о «сезонных тенденциях» ряда. ${\displaystyle \mu }$

Например, пусть будет корнем степени - из единицы (с текущей идентификацией это ) и будет случайной величиной со средним значением 0 и дисперсией 1. Рассмотрим временной ряд . Функция автоковариации равна ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1/m\in [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{z^{n}f\}}$

$${\displaystyle g(k)=z^{k}.}$$

Очевидно, что соответствующая спектральная мера — это точечная масса Дирака с центром в . Это связано с тем, что временной ряд повторяется каждые периоды. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m}$

Когда имеет достаточно быстрое затухание, мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, а ее производная Радона–Никодима называется спектральной плотностью временного ряда. Когда лежит в , является преобразованием Фурье от . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Смотрите также

• Теорема Бохнера-Минлоса
• Характеристическая функция (теория вероятностей)
• Положительно-определенная функция на группе

Примечания

1. Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2 , Wiley, стр. 634

Ссылки

• Лумис, Л. Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Ван Ностранд
• М. Рид и Барри Саймон , Методы современной математической физики , т. II, Academic Press, 1975.
• Рудин, В. (1990), Анализ Фурье на группах , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-52364-X