Модель Бора–Зоммерфельда

Расширение модели Бора, допускающее эллиптические орбиты электронов вокруг атомного ядра

Орбитали радия. (Концевые пластины к ^[1] )

5 электронов с одинаковыми главными и вспомогательными квантовыми числами, вращающихся синхронно. ( ^[2] стр. 364)

Расширения Зоммерфельда модели атома водорода Бора 1913 года для Солнечной системы , демонстрирующие добавление эллиптических орбит для объяснения тонкой структуры спектра.

Модель Бора–Зоммерфельда (также известная как модель Зоммерфельда или теория Бора–Зоммерфельда ) была расширением модели Бора, чтобы разрешить эллиптические орбиты электронов вокруг атомного ядра. Теория Бора–Зоммерфельда названа в честь датского физика Нильса Бора и немецкого физика Арнольда Зоммерфельда . Зоммерфельд показал, что если электронные орбиты являются эллиптическими, а не круговыми (как в модели атома Бора), то можно описать тонкую структуру атома водорода.

Модель Бора–Зоммерфельда, дополненная квантованным условием углового момента модели Бора с радиальным квантованием (условие Уильяма Вильсона , условие квантования Вильсона–Зоммерфельда ^{[3] [4]} ):

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,}$

где p _r — радиальный импульс, канонически сопряженный с координатой q , которая является радиальным положением, а T — один полный орбитальный период. Интеграл — это действие координат действие-угол . Это условие, предложенное принципом соответствия , является единственно возможным, поскольку квантовые числа являются адиабатическими инвариантами .

Орбиты атома водорода с одинаковым главным квантовым числом, но разным вспомогательным квантовым числом ( ^[2] стр. 367)

История

В 1913 году Нильс Бор продемонстрировал зачатки позднее определенного принципа соответствия и использовал его для формулировки модели атома водорода , которая объясняла его линейчатый спектр . В последующие несколько лет Арнольд Зоммерфельд распространил квантовое правило на произвольные интегрируемые системы, используя принцип адиабатической инвариантности квантовых чисел, введенный Хендриком Лоренцом и Альбертом Эйнштейном . Зоммерфельд внес решающий вклад ^[5], квантовав z -компоненту углового момента , что в старую квантовую эпоху называлось «квантованием пространства» (нем. Richtungsquantelung ). Это позволило орбитам электрона быть эллипсами вместо окружностей и ввело концепцию квантового вырождения. Теория правильно объяснила бы эффект Зеемана , если бы не проблема спина электрона . Модель Зоммерфельда была гораздо ближе к современной квантово-механической картине, чем модель Бора.

В 1950-х годах Джозеф Келлер обновил квантование Бора-Зоммерфельда, используя интерпретацию Эйнштейна 1917 года ^[6] , теперь известную как метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера . В 1971 году Мартин Гуцвиллер учел, что этот метод работает только для интегрируемых систем, и вывел полуклассический способ квантования хаотических систем из интегралов по траекториям . ^[7]

Прогнозы

Модель Зоммерфельда предсказывала, что магнитный момент атома, измеренный вдоль оси, будет принимать только дискретные значения, результат, который, казалось бы, противоречит вращательной инвариантности, но который был подтвержден экспериментом Штерна-Герлаха . Это был значительный шаг в развитии квантовой механики. Она также описывала возможность расщепления уровней атомной энергии магнитным полем (так называемый эффект Зеемана). Вальтер Коссель работал с Бором и Зоммерфельдом над моделью Бора-Зоммерфельда атома, вводя два электрона в первую оболочку и восемь во вторую. ^[8]

Проблемы

Модель Бора-Зоммерфельда была принципиально непоследовательной и приводила ко многим парадоксам. Магнитное квантовое число измеряло наклон плоскости орбиты относительно плоскости xy  , и оно могло принимать только несколько дискретных значений. Это противоречило очевидному факту, что атом можно поворачивать так и этак относительно координат без ограничений. Квантование Зоммерфельда может быть выполнено в разных канонических координатах и ​​иногда дает разные ответы. Включение поправок на излучение было сложным, поскольку требовало нахождения координат действие-угол для комбинированной системы излучение/атом, что сложно, когда излучению позволено выходить. Вся теория не распространялась на неинтегрируемые движения, что означало, что многие системы не могли быть рассмотрены даже в принципе. В конце концов, модель была заменена современной квантово-механической трактовкой атома водорода, которая была впервые дана Вольфгангом Паули в 1925 году с использованием матричной механики Гейзенберга . Современная картина атома водорода основана на атомных орбиталях волновой механики , которую Эрвин Шредингер разработал в 1926 году.

Однако это не означает, что модель Бора–Зоммерфельда не имела успехов. Расчеты, основанные на модели Бора–Зоммерфельда, смогли точно объяснить ряд более сложных атомных спектральных эффектов. Например, вплоть до возмущений первого порядка модель Бора и квантовая механика делают одинаковые предсказания для расщепления спектральной линии в эффекте Штарка . Однако при возмущениях более высокого порядка модель Бора и квантовая механика различаются, и измерения эффекта Штарка при высоких напряженностях поля помогли подтвердить правильность квантовой механики по сравнению с моделью Бора. Преобладающая теория, стоящая за этим различием, заключается в формах орбиталей электронов, которые изменяются в зависимости от энергетического состояния электрона.

Условия квантования Бора–Зоммерфельда приводят к вопросам в современной математике. Последовательное условие квазиклассического квантования требует определенного типа структуры на фазовом пространстве, что накладывает топологические ограничения на типы симплектических многообразий, которые могут быть квантованы. В частности, симплектическая форма должна быть формой кривизны связности эрмитова линейного расслоения , которая называется предквантованием .

Релятивистская орбита

Орбитали атома водорода. Скачки от 3 ₁ , 3 ₂ , 3 ₃ до 2 ₂ создают бальмеровскую спектральную линию H _α , но они различаются по тонкой структуре. ^[9] (Рисунок 27 ^[1] )

Эллиптические орбиты с одинаковой энергией и квантованным угловым моментом

Арнольд Зоммерфельд вывел релятивистское решение атомных уровней энергии. ^[5] Мы начнем этот вывод ^[10] с релятивистского уравнения для энергии в электрическом потенциале

${\displaystyle W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}}$

После подстановки получаем ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u}$

Для импульса и их отношения уравнение движения имеет вид (см. уравнение Бине ) ${\displaystyle p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K}$

с решением

${\displaystyle u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi }$

Угловое смещение перицентра за один оборот определяется по формуле

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}}$

С квантовыми условиями

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h}$

и

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h}$

мы получим энергии

${\displaystyle {\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1}$

где — постоянная тонкой структуры . Это решение (использующее подстановки квантовых чисел) эквивалентно решению уравнения Дирака . ^[11] Тем не менее, оба решения не предсказывают сдвиги Лэмба . ${\displaystyle \alpha }$

Смотрите также

• модель Бора
• Старая квантовая теория

Ссылки

1. Kramers, Hendrik Anthony (1923). Атом и теория Бора его структуры: элементарное изложение. Библиотеки Массачусетского технологического института. Нью-Йорк: AA Knopf.
2. Зоммерфельд, Арнольд Йоханнес Вильгельм (1921). Атомбау и спектральная линия. Калифорнийский университет. Брауншвейг: Ф. Видег и Зон.
3. А. Зоммерфельд (1916). «Квантовая теория спектральной линии». Аннален дер Физик (на немецком языке). 51 (17): 1–94. Бибкод : 1916АнП...356....1С. дои : 10.1002/andp.19163561702.
4. W. Wilson (1915). «Квантовая теория излучения и линейчатые спектры». Philosophical Magazine . 29 (174): 795–802. doi :10.1080/14786440608635362.
5. Зоммерфельд, Арнольд (1919). Атомбау и спектральная линия. Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон. ISBN 978-3-87144-484-5.
6. Собрание трудов Альберта Эйнштейна, т. 6, А. Энгель, перевод, Princeton U. Press, Принстон, Нью-Джерси (1997), стр. 434
7. Стоун, А. Д. (август 2005 г.). «Неизвестное понимание Эйнштейна и проблема квантования хаоса» (PDF) . Physics Today . 58 (8): 37–43. Bibcode : 2005PhT....58h..37S. doi : 10.1063/1.2062917.
8. Хейлброн, Джон Л. (1967). «Теория Косселя-Зоммерфельда и кольцевой атом». Isis . 58 (4): 450–485. doi :10.1086/350299. JSTOR  228422. S2CID  144639796.
9. Бор, Н. (июль 1923 г.). «Структура атома». Nature . 112 (2801): 29–44. doi :10.1038/112029a0. ISSN  1476-4687.
10. https://archive.org/details/atombauundspekt00sommgoog/page/n541 - Atombau und Spektrallinien, 1921, стр. 520.
11. Я. И. Грановский (2004). "Формула Зоммерфельда и теория Дирака" (PDF) . Успехи физических наук . 47 (5): 523–524. Bibcode :2004PhyU...47..523G. doi :10.1070/PU2004v047n05ABEH001885. S2CID  250900220.