Бонди k-исчисление

Методика преподавания специальной теории относительности

K -исчисление Бонди — это метод преподавания специальной теории относительности, популяризированный сэром Германом Бонди , который использовался на уроках физики университетского уровня (например, в Оксфордском университете ^[1] ) и в некоторых учебниках по теории относительности. ^{[2] : 58–65  [3]}

Полезность k -исчисления заключается в его простоте. Многие введения в теорию относительности начинаются с понятия скорости и вывода преобразования Лоренца . Другие концепции, такие как замедление времени , сокращение длины , относительность одновременности , разрешение парадокса близнецов и релятивистский эффект Доплера , затем выводятся из преобразования Лоренца, и все они являются функциями скорости.

Бонди в своей книге «Относительность и здравый смысл» , ^[4] впервые опубликованной в 1964 году и основанной на статьях, опубликованных в The Illustrated London News в 1962 году, меняет порядок изложения на противоположный. Он начинает с того, что он называет «фундаментальным соотношением», обозначаемым буквой (которое оказывается радиальным доплеровским фактором). ^{[3] : 40} Отсюда он объясняет парадокс близнецов и относительность одновременности, замедления времени и сокращения длины, и все это в терминах . Лишь позже в изложении он устанавливает связь между скоростью и фундаментальным соотношением . Преобразование Лоренца появляется ближе к концу книги. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

История

Метод k -исчисления ранее использовался Е.А. Милном в 1935 году. ^[5] Милн использовал эту букву для обозначения постоянного доплеровского фактора, но также рассматривал более общий случай, включающий неинерционное движение (и, следовательно, изменяющийся доплеровский фактор). Бонди использовал букву вместо и упростил представление ( только для констант) и ввел название « k -исчисление». ^{[4] : 109} ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

К -фактор Бонди

Диаграмма пространства-времени для определения k -фактора

  Алиса

  Боб

  Вспышка света

Рассмотрим двух инерциальных наблюдателей, Алису и Боба, движущихся прямо друг от друга с постоянной относительной скоростью. Алиса посылает в сторону Боба вспышку синего света раз в секунду, как измеряют ее собственные часы. Поскольку Алиса и Боб разделены расстоянием, между Алисой, посылающей вспышку, и Бобом, принимающим вспышку, существует задержка. Кроме того, расстояние разделения постоянно увеличивается с постоянной скоростью, поэтому задержка продолжает увеличиваться. Это означает, что временной интервал между получением вспышек Бобом, измеренный его часами, превышает секунды, скажем, секунды для некоторой постоянной . (Если бы вместо этого Алиса и Боб двигались прямо навстречу друг другу, применялся бы аналогичный аргумент, но в этом случае .) ^{[4] : 80} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle k<1}$

Бонди описывает это соотношение как «фундаментальное соотношение» ^{[4] : ​​88} , а другие авторы с тех пор называют его « k -фактором Бонди » или « k -фактором Бонди ». ^{[2] : 63} ${\displaystyle k}$

Вспышки Алисы передаются с частотой герц ее часами и принимаются Бобом с частотой герц его часами. Это подразумевает коэффициент Доплера . Таким образом, k -фактор Бонди — это другое название фактора Доплера (когда источник Алиса и наблюдатель Боб движутся прямо друг от друга или навстречу друг другу). ^{[3] : 40} ${\displaystyle f_{s}=1/T}$ ${\displaystyle f_{o}=1/(kT)}$ ${\displaystyle f_{s}/f_{o}=k}$

Если бы Алиса и Боб поменялись ролями, и Боб послал бы Алисе вспышки света, принцип относительности (первый постулат Эйнштейна) подразумевает, что k - фактор от Боба к Алисе был бы тем же значением, что и k -фактор от Алисы к Алисе. Боб, поскольку все инерциальные наблюдатели эквивалентны. Таким образом, k -фактор зависит только от относительной скорости между наблюдателями и больше ни от чего. ^{[4] : 80}

Обратный k -фактор

Диаграмма пространства-времени для обратного k -фактора

  Алиса

  Боб

  Дэйв

  Вспышка света

Рассмотрим теперь третьего инерционного наблюдателя Дэйва, который находится на фиксированном расстоянии от Алисы и так, что Боб лежит на прямой линии между Алисой и Дэйвом. Поскольку Алиса и Дейв взаимно покоятся, задержка от Алисы до Дейва постоянна. Это означает, что Дэйв получает синие вспышки Алисы с частотой один раз в секунду по его часам, с той же частотой, с которой Алиса их отправляет. Другими словами, k -фактор от Алисы до Дэйва равен единице. ^{[4] : 77} ${\displaystyle T}$

Теперь предположим, что всякий раз, когда Боб получает синюю вспышку от Алисы, он немедленно посылает свою красную вспышку в сторону Дэйва, раз в секунду (по часам Боба). Второй постулат Эйнштейна о том, что скорость света не зависит от движения его источника, подразумевает, что синяя вспышка Алисы и красная вспышка Боба движутся с одинаковой скоростью, не обгоняя другую, и поэтому достигают Дэйва в одно и то же время. Итак, Дэйв каждую секунду получает красную вспышку от Боба по часам Дэйва, которую Боб посылает каждую секунду по часам Боба. Это означает, что коэффициент k от Боба до Дэйва равен . ^{[4] : 80} ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle 1/k}$

Это устанавливает, что k -фактор для наблюдателей, движущихся прямо друг от друга (красное смещение), является обратной величиной k -фактора для наблюдателей, движущихся прямо навстречу друг другу с одинаковой скоростью (синее смещение).  

Парадокс близнецов

Диаграмма пространства-времени для парадокса близнецов

  Алиса

  Боб

  Кэрол

  Дэйв

  Вспышка света

Рассмотрим теперь четвертого инерционного наблюдателя Кэрол, которая движется от Дейва к Алисе точно с той же скоростью, с которой Боб движется от Алисы к Дейву. Путешествие Кэрол рассчитано так, что она покидает Дэйва точно в то же время, когда прибывает Боб. Обозначим время, зафиксированное часами Алисы, Боба и Кэрол, через . ${\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}$

Когда Боб проходит мимо Алисы, они оба синхронизируют свои часы с 0,000 . Когда Кэрол проходит мимо Боба, она синхронизирует свои часы с часами Боба . Наконец, когда Кэрол проходит мимо Алисы, они сравнивают свои часы друг с другом. В ньютоновской физике ожидается, что при окончательном сравнении часы Алисы и Кэрол совпадут: . Ниже будет показано, что в теории относительности это неверно. Это версия известного « парадокса близнецов », в котором однояйцевые близнецы разделяются и воссоединяются только для того, чтобы обнаружить, что один теперь старше другого. ${\displaystyle t_{A}=t_{B}=0}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{B}}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{A}}$

Если Алиса в момент времени посылает вспышку света в сторону Боба, то по определению k -фактора она будет получена Бобом в момент . Вспышка рассчитана так, что она достигает Боба как раз в тот момент, когда Боб встречает Кэрол, поэтому Кэрол синхронизирует свои часы, чтобы прочитать . ${\displaystyle t_{A}=T}$ ${\displaystyle t_{B}=kT}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{B}=kT}$

Кроме того, когда Боб и Кэрол встречаются, они оба одновременно посылают Алисе вспышки, которые Алиса одновременно получает. Учитывая, во-первых, вспышку Боба, отправленную в time , она должна быть получена Алисой в time , используя тот факт, что k -фактор от Алисы к Бобу такой же, как k -фактор от Боба к Алисе. ${\displaystyle t_{B}=kT}$ ${\displaystyle t_{A}=k^{2}T}$

Поскольку продолжительность пути Боба наружу по его часам составила , из симметрии следует, что обратный путь Кэрол на то же расстояние и с той же скоростью также должен иметь продолжительность , по ее часам, и поэтому, когда Кэрол встречает Алису, часы Кэрол показывают . Коэффициент k для этого участка пути должен быть обратным (как обсуждалось ранее), поэтому, учитывая вспышку Кэрол по отношению к Алисе, интервал передачи соответствует интервалу приема . Это означает, что последнее время на часах Алисы, когда Кэрол и Алиса встречаются, — 0,000 . Это больше, чем время на часах Кэрол, поскольку ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle t_{C}=2kT}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{A}=(k^{2}+1)T}$ ${\displaystyle t_{C}=2kT}$

$${\displaystyle t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}T>0,}$$

^{[4] : 80–90} ${\displaystyle k\neq 1}$ ${\displaystyle T>0}$

Радарные измерения и скорость

Диаграмма пространства-времени для радиолокационных измерений

  Алиса

  Боб

  Дэйв

  Радарный импульс

В методологии k -исчисления расстояния измеряются с помощью радара . Наблюдатель посылает радиолокационный импульс к цели и получает от нее эхо. Радарный импульс (который распространяется со скоростью света) проходит полное расстояние туда и обратно, что в два раза превышает расстояние до цели, и занимает время , где и - время, зафиксированное часами наблюдателя при передаче и приеме сигнала. радарный импульс. Это означает, что расстояние до цели составляет ^{[2] : 60.} ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

$${\displaystyle x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(T_{2}-T_{1}).}$$

Кроме того, поскольку скорость света одинакова в обоих направлениях, время, за которое радиолокационный импульс достигает цели, должно, по мнению наблюдателя, находиться посередине между временем передачи и приема, а именно ^{[2] : 60}

$${\displaystyle t_{A}={\tfrac {1}{2}}(T_{2}+T_{1}).}$$

В частном случае, когда радарный наблюдатель — Алиса, а цель — Боб (на данный момент находящийся рядом с Дэйвом), как описано ранее, с помощью k -исчисления мы имеем , и поэтому ${\displaystyle T_{2}=k^{2}T_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{A}&={\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}\\t_{A}&={\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}.\end{aligned}}}$$

Поскольку Алиса и Боб находились в одной точке , скорость Боба относительно Алисы определяется выражением ^{[4] : ​​103  [2] : 64.} ${\displaystyle t_{A}=0,x_{A}=0}$

$${\displaystyle v={\frac {x_{A}}{t_{A}}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}}{{\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}}}=c{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}.}$$

Это уравнение выражает скорость как функцию k -фактора Бонди. Это можно решить, чтобы дать как функцию : ^{[4] : ​​103  [2] : 65} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}.}$$

Скоростной состав

Диаграмма пространства-времени, показывающая состав k -фактора

  Алиса

  Боб

  Эд

  Вспышка света

Рассмотрим трех инерциальных наблюдателей Алису, Боба и Эда, расположенных в указанном порядке и движущихся с разными скоростями по одной и той же прямой. В этом разделе обозначения будут использоваться для обозначения k -фактора от Алисы до Боба (и аналогично между другими парами наблюдателей). ${\displaystyle k_{AB}}$

Как и раньше, Алиса каждую секунду посылает синюю вспышку в сторону Боба и Эда по своим часам, которую Боб получает каждую секунду по часам Боба, а Эд получает каждую секунду по часам Эда. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{AB}T}$ ${\displaystyle k_{AE}T}$

Теперь предположим, что всякий раз, когда Боб получает синюю вспышку от Алисы, он немедленно посылает свою красную вспышку в сторону Эда, раз в секунду по часам Боба, поэтому Эд получает красную вспышку от Боба каждую секунду по часам Эда. Второй постулат Эйнштейна о том, что скорость света не зависит от движения его источника, подразумевает, что синяя вспышка Алисы и красная вспышка Боба движутся с одинаковой скоростью, не обгоняя другую, и поэтому достигают Эда в одно и то же время. Следовательно, по измерениям Эда, интервал красной вспышки и интервал синей вспышки должны быть одинаковыми. Таким образом, правило объединения k -факторов — это просто умножение: ^{[4] : 105.} ${\displaystyle k_{AB}T}$ ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ ${\displaystyle k_{AE}T}$

$${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}.}$$

Наконец, заменив

$${\displaystyle k_{AB}={\sqrt {\frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}},\,k_{BE}={\sqrt {\frac {1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}},\,v_{AE}=c{\frac {k_{AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}}$$

формулу скоростного состава ^{[4] : ​​105}

$${\displaystyle v_{AE}={\frac {v_{AB}+v_{BE}}{1+v_{AB}v_{BE}/c^{2}}}.}$$

Инвариантный интервал

Диаграмма пространства-времени для вывода инвариантного интервала и преобразования Лоренца

  Алиса

  Боб

  Радарный импульс

Используя описанный ранее радиолокационный метод, инерционный наблюдатель Алиса присваивает координаты событию, передавая радиолокационный импульс в момент времени и получая его эхо в момент времени , измеренный ее часами. ${\displaystyle (t_{A},x_{A})}$ ${\displaystyle t_{A}-x_{A}/c}$ ${\displaystyle t_{A}+x_{A}/c}$

Точно так же инерционный наблюдатель Боб может присвоить координаты одному и тому же событию, передавая радиолокационный импульс в момент времени и получая его эхо в момент времени , измеренный его часами. Однако, как показано на диаграмме, Бобу не обязательно генерировать собственный радиолокационный сигнал, поскольку вместо этого он может просто взять тайминги из сигнала Алисы. ${\displaystyle (t_{B},x_{B})}$ ${\displaystyle t_{B}-x_{B}/c}$ ${\displaystyle t_{B}+x_{B}/c}$

Теперь, применив метод k -исчисления к сигналу, который проходит от Алисы к Бобу

$${\displaystyle k={\frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}}.}$$

Аналогично, применяя метод k -исчисления к сигналу, который передается от Боба к Алисе

$${\displaystyle k={\frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.}$$

Приравнивая два выражения для и переставляя, ^{[4] : 118} ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle c^{2}t_{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.}$$

Тем самым устанавливается, что величина является инвариантом: она принимает одно и то же значение в любой инерциальной системе координат и известна как инвариантный интервал . ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$

Преобразование Лоренца

Два уравнения из предыдущего раздела можно решить как одновременные уравнения и получить: ^{[4] : ​​118  [2] : 67} ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})ct_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})x_{A}\\x_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})x_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})ct_{A}\end{aligned}}}$$

Эти уравнения представляют собой преобразование Лоренца , выраженное через k -фактор Бонди, а не через скорость. Подставив

$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}},}$$

$${\displaystyle t_{B}={\frac {t_{A}-vx_{A}/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}};\,x_{B}={\frac {x_{A}-vt_{A}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$

^{[4] : 118  [2] : 67}

Быстрота

Быстроту можно определить из k -фактора по формуле ^{[2] : 71} ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \varphi =\log _{e}k,\,k=e^{\varphi },}$$

$${\displaystyle v=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}=c\tanh \varphi .}$$

Версия преобразования Лоренца с k -фактором становится

$${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&=ct_{A}\cosh \varphi -x_{A}\sinh \varphi \\x_{B}&=x_{A}\cosh \varphi -ct_{A}\sinh \varphi \end{aligned}}}$$

Из правила композиции для , , следует, что правило композиции быстрот есть сложение: ^{[2] : 71} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}}$

$${\displaystyle \varphi _{AE}=\varphi _{AB}+\varphi _{BE}.}$$

Рекомендации

1. Мейсон, LJ; Вудхаус, NMJ «Относительность и электромагнетизм» (PDF) . Проверено 20 февраля 2021 г.
2. Woodhouse, NMJ (2003). Специальная теория относительности . Спрингер. ISBN 1-85233-426-6.
3. Рэй д'Инверно (1992). «Глава 2: k -исчисление». Знакомство с теорией относительности Эйнштейна . Кларендон Пресс. ISBN 0-19-859686-3.
4. Бонди, Герман (1964). Относительность и здравый смысл. Нью-Йорк: Даблдей и компания.(Также опубликовано в 1965 году в Великобритании издательством Heinemann и переиздано в 1980 году издательством Dover.)
5. Милн, Э.А. (1935). Относительная гравитация и структура мира. Издательство Оксфордского университета. стр. 36–38.

Внешние ссылки

• Обзор Bondi k-Calculus