Булева модель (теория вероятностей)

Реализация булевой модели с дисками случайного радиуса.

Для статистики в теории вероятностей модель Буля -Пуассона или просто Булева модель для случайного подмножества плоскости (или более высоких измерений, аналогично) является одной из самых простых и наиболее поддающихся обработке моделей в стохастической геометрии . Возьмем точечный процесс Пуассона скорости на плоскости и сделаем каждую точку центром случайного множества; полученное объединение перекрывающихся множеств является реализацией булевой модели . Точнее, параметрами являются и распределение вероятностей на компактных множествах; для каждой точки точечного процесса Пуассона мы выбираем множество из распределения, а затем определяем как объединение переведенных множеств. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle C_{\xi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cup _{\xi }(\xi +C_{\xi })}$

Чтобы проиллюстрировать трактуемость с помощью одной простой формулы, средняя плотность равна где обозначает площадь и Классическая теория стохастической геометрии развивает множество дальнейших формул. ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 1-\exp(-\lambda A)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C_{\xi }}$ ${\displaystyle A=\operatorname {E} (\Gamma ).}$

В качестве смежных тем можно отметить, что случай дисков постоянного размера является базовой моделью непрерывной перколяции ^[3] , а булевы модели с низкой плотностью служат приближениями первого порядка при изучении экстремальных значений во многих моделях. ^[4]

Ссылки

1. Стоян, Д.; Кендалл, В. С. и Мекке, Дж. (1987). Стохастическая геометрия и ее приложения . Wiley.
2. Шнайдер, Р. и Вайль, В. (2008). Стохастическая и интегральная геометрия . Springer.
3. Мистер, Р. и Рой, Р. (2008). Континуальная перколяция . Издательство Кембриджского университета.
4. Олдос, Д. (1988). Вероятностные аппроксимации с помощью эвристики группирования Пуассона . Springer.