Гомология Бореля–Мура

Теория гомологии для локально компактных пространств

В топологии гомологии Бореля-Мура или гомологии с замкнутым носителем — это теория гомологии для локально компактных пространств , введенная Арманом Борелем и Джоном Муром в 1960 году. ^[1]

Для разумных компактных пространств гомологии Бореля–Мура совпадают с обычными сингулярными гомологиями . Для некомпактных пространств каждая теория имеет свои преимущества. В частности, замкнутое ориентированное подмногообразие определяет класс в гомологиях Бореля–Мура, но не в обычных гомологиях, если только подмногообразие не компактно.

Примечание: Борелевские эквивариантные когомологии — это инвариант пространств с действием группы G ; он определяется как Это не имеет отношения к теме данной статьи. ${\displaystyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}((EG\times X)/G).}$

Определение

Существует несколько способов определения гомологии Бореля-Мура. Все они совпадают для разумных пространств, таких как многообразия и локально конечные комплексы CW .

Определение через когомологии пучков

Для любого локально компактного пространства X гомологии Бореля–Мура с целыми коэффициентами определяются как когомологии двойственного цепного комплекса , который вычисляет когомологии пучков с компактным носителем. ^[2] В результате получается короткая точная последовательность , аналогичная теореме об универсальном коэффициенте :

$${\displaystyle 0\to {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(H_{c}^{i+1}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to H_{i}^{BM}(X,\mathbb {Z} )\to {\text{Hom}}(H_{c}^{i}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to 0.}$$

Далее коэффициенты не пишутся. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Определение через локально конечные цепи

Сингулярная гомология топологического пространства X определяется как гомология цепного комплекса сингулярных цепей, то есть конечных линейных комбинаций непрерывных отображений из симплекса в X. Гомология Бореля-Мура разумного локально компактного пространства X , с другой стороны, изоморфна гомологии цепного комплекса локально конечных сингулярных цепей. Здесь «разумный» означает, что X локально стягиваем, σ-компактен и имеет конечную размерность. ^[3]

Более подробно, пусть — абелева группа формальных (бесконечных) сумм ${\displaystyle C_{i}^{BM}(X)}$

$${\displaystyle u=\sum _{\sigma }a_{\sigma }\sigma ,}$$

где σ пробегает множество всех непрерывных отображений из стандартного i -симплекса Δ ⁱ в X , и каждое σ является целым числом, таким, что для каждого компактного подмножества K из X мы имеем только конечное число σ , образ которого пересекает K. Тогда обычное определение _{границы} ∂ сингулярной цепи превращает эти абелевы группы в цепной комплекс: ${\displaystyle a_{\sigma }\neq 0}$

$${\displaystyle \cdots \to C_{2}^{BM}(X)\to C_{1}^{BM}(X)\to C_{0}^{BM}(X)\to 0.}$$

Группы гомологии Бореля-Мура являются группами гомологии этого цепного комплекса. То есть, ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\ker \left(\partial :C_{i}^{BM}(X)\to C_{i-1}^{BM}(X)\right)/{\text{im}}\left(\partial :C_{i+1}^{BM}(X)\to C_{i}^{BM}(X)\right).}$$

Если X компактно, то каждая локально конечная цепь фактически конечна. Таким образом, учитывая, что X «разумно» в указанном выше смысле, гомологии Бореля-Мура совпадают с обычными сингулярными гомологиями для компактного X. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$ ${\displaystyle H_{i}(X)}$

Определение через компактификации

Предположим, что X гомеоморфно дополнению замкнутого подкомплекса S в конечном CW-комплексе Y . Тогда гомологии Бореля–Мура изоморфны относительным гомологиям H _i ( Y , S ). При том же предположении относительно X одноточечная компактификация X гомеоморфна конечному CW-комплексу. В результате гомологию Бореля–Мура можно рассматривать как относительную гомологию одноточечной компактификации относительно добавленной точки . ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$

Определение через двойственность Пуанкаре

Пусть X — любое локально компактное пространство с замкнутым вложением в ориентированное многообразие M размерности m . Тогда

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=H^{m-i}(M,M\setminus X),}$$

где в правой части подразумеваются относительные когомологии . ^[4]

Определение через дуализирующий комплекс

Для любого локально компактного пространства X конечной размерности пусть D _X будет дуализирующим комплексом X. Тогда

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\mathbb {H} ^{-i}(X,D_{X}),}$$

где в правой части подразумеваются гиперкогомологии . ^[5]

Характеристики

Гомологии Бореля-Мура являются ковариантными функторами относительно собственных отображений . То есть собственное отображение f : X → Y индуцирует прямой гомоморфизм для всех целых чисел i . В отличие от обычных гомологий, для произвольного непрерывного отображения f нет прямого гомоморфизма на гомологии Бореля-Мура . В качестве контрпримера можно рассмотреть несобственное включение ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(Y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

Гомологии Бореля-Мура являются контравариантным функтором относительно включений открытых подмножеств. То есть, для U , открытого в X , существует естественный обратный или ограничительный гомоморфизм ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U).}$

Для любого локально компактного пространства X и любого замкнутого подмножества F с дополнением существует длинная точная последовательность локализации : ^[6] ${\displaystyle U=X\setminus F}$ $${\displaystyle \cdots \to H_{i}^{BM}(F)\to H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U)\to H_{i-1}^{BM}(F)\to \cdots }$$

Гомологии Бореля-Мура гомотопически инвариантны в том смысле, что для любого пространства X существует изоморфизм Сдвиг размерности означает, что гомологии Бореля-Мура не являются гомотопически инвариантными в наивном смысле. Например, гомологии Бореля-Мура евклидова пространства изоморфны в степени n и в противном случае равны нулю. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i+1}^{BM}(X\times \mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Двойственность Пуанкаре распространяется на некомпактные многообразия с использованием гомологии Бореля–Мура. А именно, для ориентированного n -многообразия X двойственность Пуанкаре является изоморфизмом из сингулярных когомологий в гомологии Бореля–Мура для всех целых чисел i . Другой версией двойственности Пуанкаре для некомпактных многообразий является изоморфизм из когомологий с компактным носителем в обычные гомологии: $${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)}$$ $${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}$$

Ключевым преимуществом гомологии Бореля-Мура является то, что каждое ориентированное многообразие M размерности n (в частности, каждое гладкое комплексное алгебраическое многообразие ), не обязательно компактное, имеет фундаментальный класс Если многообразие M имеет триангуляцию , то его фундаментальный класс представлен суммой всех симплексов высшей размерности. Фактически, в гомологии Бореля-Мура можно определить фундаментальный класс для произвольных (возможно, сингулярных) комплексных многообразий. В этом случае дополнение множества гладких точек имеет (действительную) коразмерность не менее 2, и длинной точной последовательностью выше гомологии высшей размерности M и канонически изоморфны. Фундаментальный класс M тогда определяется как фундаментальный класс . ^[7] ${\displaystyle [M]\in H_{n}^{BM}(M).}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}\subset M}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$

Примеры

Компактные пространства

Для компактного топологического пространства его гомологии Бореля-Мура согласуются с его стандартными гомологиями, то есть, ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle H_{*}^{BM}(X)\cong H_{*}(X)}$$

Реальная линия

Первое нетривиальное вычисление гомологии Бореля-Мура относится к действительной прямой. Сначала заметим, что любая -цепь когомологична . Поскольку это сводится к случаю точки , заметим, что мы можем взять цепь Бореля-Мура ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{i=0}^{\infty }1\cdot [p+i,p+i+1]}$$

поскольку граница этой цепи есть и несуществующая точка на бесконечности, точка когомологична нулю. Теперь мы можем взять цепь Бореля-Мура ${\displaystyle \partial \sigma =p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{-\infty <k<\infty }[k,k+1]}$$

который не имеет границы, следовательно, является классом гомологии. Это показывает, что

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Реальное n-пространство

Предыдущие вычисления можно обобщить на случай. Получаем ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Бесконечный цилиндр

Используя разложение Кюннета, мы можем видеть, что бесконечный цилиндр имеет гомологию ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(S^{1}\times \mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\\mathbb {Z} &k=2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Действительное n-пространство минус точка

Используя длинную точную последовательность в гомологии Бореля-Мура, мы получаем (для ) ненулевые точные последовательности ${\displaystyle n>1}$

$${\displaystyle 0\to H_{n}^{BM}(\{0\})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

и

$${\displaystyle 0\to H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to H_{0}^{BM}(\{0\})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

Из первой последовательности получаем, что

$${\displaystyle H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

и из второго получаем, что

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\cong H_{0}^{BM}(\{0\})}$$и

$${\displaystyle 0\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

Мы можем интерпретировать эти ненулевые классы гомологии, используя следующие наблюдения:

1. Существует гомотопическая эквивалентность ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}.}$
2. Топологический изоморфизм ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\cong S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}.}$

следовательно, мы можем использовать вычисление для бесконечного цилиндра, чтобы интерпретировать его как класс гомологии, представленный и как ${\displaystyle H_{n}^{BM}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle H_{1}^{BM}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}.}$

Самолет с удаленными точками

Пусть удалены -различные точки. Обратите внимание на предыдущее вычисление с тем фактом, что гомология Бореля-Мура является инвариантом изоморфизма, дает это вычисление для случая . В общем случае мы найдем -класс, соответствующий циклу вокруг точки, и фундаментальный класс в . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}-\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle H_{2}^{BM}}$

Двойной конус

Рассмотрим двойной конус . Если мы возьмем тогда длинная точная последовательность показывает ${\displaystyle X=\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}-z^{2})\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle U=X\setminus \{0\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\H_{1}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} \\H_{k}^{BM}(X)&=0&&{\text{ for }}k\not \in \{1,2\}\end{aligned}}}$$

Кривая второго рода с тремя удаленными точками

Для кривой рода два ( поверхность Римана ) и трех точек мы можем использовать длинную точную последовательность для вычисления гомологии Бореля-Мура. Это дает ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U=X\setminus F.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(F)\to &H_{2}^{BM}(X)\to H_{2}^{BM}(U)\\\to H_{1}^{BM}(F)\to &H_{1}^{BM}(X)\to H_{1}^{BM}(U)\\\to H_{0}^{BM}(F)\to &H_{0}^{BM}(X)\to H_{0}^{BM}(U)\to 0\end{aligned}}}$$

Так как у нас всего три точки ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(F)=H_{2}^{BM}(F)=0.}$$

Это дает нам, что используя двойственность Пуанкаре, мы можем вычислить ${\displaystyle H_{2}^{BM}(U)=\mathbb {Z} .}$

$${\displaystyle H_{0}^{BM}(U)=H^{2}(U)=0,}$$

поскольку деформация стягивается к одномерному CW-комплексу. Наконец, используя вычисление для гомологии компактной кривой рода 2, мы остаемся с точной последовательностью ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 3}\to \mathbb {Z} \to 0}$$

показывающий

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(U)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 6}}$$

поскольку у нас есть короткая точная последовательность свободных абелевых групп

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to 0}$$

из предыдущей последовательности.

Примечания

1. Борель и Мур 1960.
2. Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Раздел IX.1.
3. Глен Бредон. Теория пучков. Следствие V.12.21.
4. Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Теорема IX.4.7.
5. Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Уравнение IX.4.1.
6. Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Уравнение IX.2.1.
7. Уильям Фултон. Теория пересечений. Лемма 19.1.1.

Ссылки

Обзорные статьи

• Горески, Марк , Primer on Sheaves (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 27.09.2017

Книги

• Борель, Арманд ; Мур, Джон К. (1960). «Теория гомологии для локально компактных пространств». Michigan Mathematical Journal . 7 (2): 137–159. doi : 10.1307/mmj/1028998385 . ISSN  0026-2285. MR  0131271.
• Бредон, Глен Э. (1997). Теория снопа (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94905-5. МР  1481706.
• Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-62046-4. МР  1644323.
• Иверсен, Биргер (1986). Когомологии пучков . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-16389-1. МР  0842190.