Рожденный правило

Правило расчета в квантовой механике

Правило Борна — постулат квантовой механики , который определяет вероятность того, что измерение квантовой системы даст заданный результат. В одном из часто используемых приложений оно утверждает, что плотность вероятности обнаружения частицы в заданном положении пропорциональна квадрату амплитуды волновой функции системы в этом положении. Оно было сформулировано и опубликовано немецким физиком Максом Борном в июле 1926 года. ^[1]

Подробности

Правило Борна гласит, что наблюдаемая величина , измеренная в системе с нормализованной волновой функцией (см. обозначение Браке ), соответствует самосопряженному оператору , спектр которого дискретен, если: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A}$

• измеренный результат будет одним из собственных значений , и ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$
• вероятность измерения заданного собственного значения будет равна , где — проекция на собственное пространство , соответствующее . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

(В случае, когда собственное пространство , соответствующее , является одномерным и охватывается нормализованным собственным вектором , равно , поэтому вероятность равна . Поскольку комплексное число известно как амплитуда вероятности , которую вектор состояния назначает собственному вектору , правило Борна принято описывать так, что вероятность равна квадрату амплитуды (на самом деле амплитуда, умноженная на ее собственное комплексно сопряженное число ). Эквивалентно вероятность можно записать как .) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$

В случае, когда спектр не является полностью дискретным, спектральная теорема доказывает существование определенной проекционно-значной меры (ПЗМ) , спектральной меры . В этом случае: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$

• Вероятность того, что результат измерения лежит в измеримом множестве, определяется как . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$

Например, отдельная бесструктурная частица может быть описана волновой функцией , которая зависит от координат положения и временной координаты . Правило Борна подразумевает, что функция плотности вероятности для результата измерения положения частицы в момент времени равна: Правило Борна также можно использовать для вычисления вероятностей (для измерений с дискретными наборами результатов) или плотностей вероятности (для непрерывных измерений) для других наблюдаемых величин, таких как импульс, энергия и угловой момент. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$$

В некоторых приложениях эта трактовка правила Борна обобщается с использованием мер с положительными операторными значениями (POVM) . POVM — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением измерений фон Неймана, и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых самосопряженными наблюдаемыми. По грубой аналогии, POVM по отношению к PVM является тем же, чем смешанное состояние является по отношению к чистому состоянию . Смешанные состояния необходимы для указания состояния подсистемы более крупной системы (см. очистка квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания эффекта на подсистему проективного измерения, выполненного на более крупной системе. POVM являются наиболее общим видом измерения в квантовой механике и могут также использоваться в квантовой теории поля . ^[2] Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM представляет собой набор положительно полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве , сумма которых равна единичной матрице ,: ^{[3] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$$

Элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при выполнении измерения квантового состояния определяется по формуле: ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$$

где — оператор следа . Это версия POVM правила Борна. Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием, эта формула сводится к: ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$$

Правило Борна, вместе с унитарностью оператора временной эволюции (или, что эквивалентно, эрмитовым гамильтонианом ), подразумевает унитарность теории: волновая функция, которая эволюционирует во времени с помощью унитарного оператора, останется правильно нормализованной. (В более общем случае, когда рассматривается временная эволюция матрицы плотности , правильная нормализация обеспечивается требованием, чтобы временная эволюция была сохраняющим след, полностью положительным отображением .) ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

История

Правило Борна было сформулировано Борном в статье 1926 года. ^[4] В этой статье Борн решает уравнение Шредингера для задачи рассеяния и, вдохновленный Альбертом Эйнштейном и вероятностным правилом Эйнштейна для фотоэлектрического эффекта , ^[5] приходит к выводу в сноске, что правило Борна дает единственно возможную интерпретацию решения. (В основной части статьи говорится, что амплитуда «дает вероятность» [ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ], в то время как сноска, добавленная в доказательство, говорит, что вероятность пропорциональна квадрату ее величины.) В 1954 году вместе с Вальтером Боте Борн был удостоен Нобелевской премии по физике за эту и другие работы. ^[5] Джон фон Нейман обсудил применение спектральной теории к правилу Борна в своей книге 1932 года. ^[6]

Вывод из более базовых принципов

Теорема Глисона показывает, что правило Борна может быть выведено из обычного математического представления измерений в квантовой физике вместе с предположением о неконтекстуальности . Эндрю М. Глисон впервые доказал теорему в 1957 году, ^[7] подсказанный вопросом, заданным Джорджем У. Макки . ^{[8] [9]} Эта теорема была исторически значимой из-за роли, которую она сыграла в демонстрации того, что широкие классы теорий со скрытыми переменными несовместимы с квантовой физикой. ^[10]

Несколько других исследователей также пытались вывести правило Борна из более базовых принципов. В контексте многомировой интерпретации был предложен ряд выводов . К ним относятся подход теории принятия решений, впервые предложенный Дэвидом Дойчем ^[11] и позднее развитый Хилари Гривз ^[12] и Дэвидом Уоллесом; ^[13] и подход «энвариантности» Войцеха Х. Журека . ^[14] Однако эти доказательства были подвергнуты критике как циклические. ^{[15] В 2018 году Чарльз Себенс и} Шон М. Кэрролл предложили подход, основанный на самолокализации неопределенности ; ^[16] он также подвергся критике. ^[17] Саймон Сондерс в 2021 году создал вывод правила Борна с подсчетом ветвей. Важнейшей особенностью этого подхода является определение ветвей таким образом, чтобы все они имели одинаковую величину или 2-норму . Определенные таким образом соотношения количества ветвей дают вероятности различных результатов измерения в соответствии с правилом Борна. ^[18]

В 2019 году Луис Масанес, Томас Гэлли и Маркус Мюллер предложили вывод, основанный на постулатах, включающих возможность оценки состояния. ^{[19] [20]}

Также утверждалось, что теория пилот-волны может быть использована для статистического вывода правила Борна, хотя это остается спорным. ^[21]

В рамках интерпретации квантовой теории QBist правило Борна рассматривается как расширение нормативного принципа когерентности , который обеспечивает самосогласованность оценок вероятности по всему набору таких оценок. Можно показать, что агент, который думает, что он делает ставки на результаты измерений в достаточно квантовоподобной системе, но отказывается использовать правило Борна при размещении своих ставок, уязвим для голландской книги . ^[22]

Ссылки

1. Холл, Брайан С. (2013). «Квантовая теория для математиков». Graduate Texts in Mathematics . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. стр. 14–15, 58. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. ISSN  0072-5285.
2. Перес, Эшер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Reviews of Modern Physics . 76 (1): 93–123. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode : 2004RvMP...76...93P. doi : 10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
3. Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-63503-5. OCLC  634735192.
4. Борн, Макс (1926). «Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge» [К квантовой механике столкновений]. Zeitschrift für Physik . 37 (12): 863–867. Бибкод : 1926ZPhy...37..863B. дои : 10.1007/BF01397477. S2CID  119896026.Перепечатано как Born, Max (1983). "О квантовой механике столкновений". В Wheeler, JA ; Zurek, WH (ред.). Квантовая теория и измерения . Princeton University Press. стр. 52–55. ISBN 978-0-691-08316-2.
5. Born, Max (11 декабря 1954 г.). "Статистическая интерпретация квантовой механики" (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Получено 7 ноября 2018 г. . И снова идея Эйнштейна дала мне наводку. Он пытался сделать дуальность частиц — квантов света или фотонов — и волн понятной, интерпретируя квадрат амплитуд оптических волн как плотность вероятности появления фотонов. Эту концепцию можно было сразу же перенести на пси-функцию: |пси| ² должно представлять плотность вероятности для электронов (или других частиц).
6. Нейман (фон), Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Математические основы квантовой механики ]. Перевод Бейера, издательство Роберта Т. Принстонского университета (опубликовано в 1996 г.). ISBN 978-0691028934.
7. Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Indiana University Mathematics Journal . 6 (4): 885–893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . MR  0096113.
8. Макки, Джордж У. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». The American Mathematical Monthly . 64 (8P2): 45–57. doi :10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR  2308516.
9. Чернофф, Пол Р. (ноябрь 2009 г.). «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF) . Уведомления AMS . 56 (10): 1253–1259.
10. Мермин, Н. Дэвид (1993-07-01). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Reviews of Modern Physics . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Bibcode :1993RvMP...65..803M. doi :10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID  119546199.
11. Deutsch, David (8 августа 1999 г.). «Квантовая теория вероятностей и решения». Труды Королевского общества A . 455 (1988): 3129–3137. arXiv : quant-ph/9906015 . Bibcode :1999RSPSA.455.3129D. doi :10.1098/rspa.1999.0443. S2CID  5217034 . Получено 5 декабря 2022 г. .
12. Гривз, Хилари (21 декабря 2006 г.). «Вероятность в интерпретации Эверетта» (PDF) . Philosophy Compass . 2 (1): 109–128. doi :10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x . Получено 6 декабря 2022 г. .
13. Уоллес, Дэвид (2010). «Как доказать правило Борна». В Кент, Адриан; Уоллес, Дэвид; Барретт, Джонатан; Сондерс, Саймон (ред.). Множество миров? Эверетт, квантовая теория и реальность . Oxford University Press. стр. 227–263. arXiv : 0906.2718 . ISBN 978-0-191-61411-8.
14. Журек, Войцех Х. (25 мая 2005 г.). «Вероятности из запутанности, правило Борна из инвариантности». Physical Review A . 71 : 052105. arXiv : quant-ph/0405161 . doi :10.1103/PhysRevA.71.052105 . Получено 6 декабря 2022 г. .
15. Ландсман, Н. П. (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (ред.). Compendium of Quantum Physics . Springer. ISBN 978-3-540-70622-9. Вывод, по-видимому, состоит в том, что на сегодняшний день не было дано общепринятого вывода правила Борна, но это не означает, что такой вывод невозможен в принципе.
16. Sebens, Charles T.; Carroll, Sean M. (март 2018 г.). «Самолокализация неопределенности и происхождение вероятности в квантовой механике Эверетта». Британский журнал философии науки . 69 (1): 25–74. arXiv : 1405.7577 . doi : 10.1093/bjps/axw004 .
17. Вайдман, Лев (2020). «Выводы правила Борна» (PDF) . Квант, вероятность, логика . Иерусалимские исследования по философии и истории науки. Springer. стр. 567–584. doi :10.1007/978-3-030-34316-3_26. ISBN 978-3-030-34315-6. S2CID  156046920.
18. Сондерс, Саймон (24 ноября 2021 г.). «Подсчет ветвей в интерпретации квантовой механики Эверетта». Труды Королевского общества A. 477 ( 2255): 1–22. arXiv : 2201.06087 . Bibcode : 2021RSPSA.47710600S. doi : 10.1098/rspa.2021.0600. S2CID  244491576.
19. Масанес, Луис; Галлей, Томас; Мюллер, Маркус (2019). «Постулаты измерений квантовой механики операционально избыточны». Nature Communications . 10 (1): 1361. arXiv : 1811.11060 . Bibcode :2019NatCo..10.1361M. doi :10.1038/s41467-019-09348-x. PMC 6434053 . PMID  30911009. 
20. Болл, Филип (13 февраля 2019 г.). «Таинственное квантовое правило, реконструированное с нуля». Журнал Quanta . Архивировано из оригинала 2019-02-13.
21. Голдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
22. ДеБрота, Джон Б.; Фукс, Кристофер А.; Пиенаар, Жак Л.; Стейси, Блейк К. (2021). «Правило Борна как квантовое расширение байесовской когерентности». Phys. Rev. A. 104 ( 2). 022207. arXiv : 2012.14397 . Bibcode : 2021PhRvA.104b2207D. doi : 10.1103/PhysRevA.104.022207.

Внешние ссылки

• Квантовая механика вне опасности: физики экспериментально подтвердили ключевой принцип, открытый десятилетиями ScienceDaily (23 июля 2010 г.)