Пользователь:Boute

SANDBOX — В РАЗРАБОТКЕ — БУДЕТ ДОБАВЛЕН НА ГЛАВНЫЕ СТРАНИЦЫ WIKI ПОСЛЕ ГОТОВНОСТИ

На пути к связной статье офункции(математика)

Обоснование Следующий план является предложением для потенциальных редакторов. По разным причинам (стабильность правок и ссылки на связанные статьи) я предпочитаю не заниматься редактированием сам, а представить эти заметки в качестве ресурса для других. Основное обоснование заключается в том, что статья должна быть сосредоточена на помощи читателям, а не на личных предпочтениях авторов/редакторов. Поэтому я начну не с моего собственного предпочтительного определения, а с определения, ориентированного на читателя, со следующими характеристиками: (a) предельная простота; (b) повышение ясности за счет соблюдения принципа разделения интересов , в данном случае разделяя концепцию чистой и простой функции от характеристики функции как находящейся от до ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ; (c) наиболее общее ввиду ее алгебраических свойств, особенно в отношении композиции ; (d) распространено в основных университетских/колледжских учебниках по математике; (e) удобная логическая основа для объяснения/понимания/сравнения других вариантов. Повезло, что все эти свойства совпадают. Также повезло, что в текущей литературе по сути есть только два варианта, просто различающиеся тем, играет ли понятие кодомена какую -либо роль, поэтому охват обоих остается очень управляемым. Также для ясности читателей приводятся краткие обоснования проектных решений, лежащих в основе определений, без превращения статьи в полноценный учебник, который слишком длинный для Википедии. Ввиду множества заблуждений, наблюдаемых в печатной литературе и в Интернете (включая Википедию), существенный пакет ссылок необходим. Текст следует далее.

План статьи (текст начинается здесь)

Понятие функции или отображения было описано (Герштейн ^[1] , стр. 9) как «вероятно, единственное наиболее важное и универсальное понятие, проходящее через всю математику». Очевидно, это относится и ко всем другим отраслям науки (физике, технике и т. д.), где используется математика.

В современной математике по сути существуют два основных варианта концепции функции, и в сбалансированном отчете оба должны быть рассмотрены. Для этой цели мы обозначаем их как (A) простой вариант и (B) маркированный вариант , который имеет область значений . Предмет также требует обширных ссылок, также потому, что разные формулировки часто определяют один и тот же вариант, тем самым проясняя друг друга. Около дюжины абзацев достаточно, чтобы дать читателю структурированное руководство по довольно разнообразной литературе.

A. Функции: простой вариант

Этот вариант является самым простым и также наиболее распространенным во всех науках, включая (но не ограничиваясь) исчисление/анализ ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]} , теорию множеств ^{[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17]} , логику ^{[18] [19]} , алгебру ^[1] , дискретную математику ^{[20] [21] [22]} , информатику ^{[23] [24]} , и математическую физику ^[25] . Авторы и конкретные номера страниц будут указаны позже.

A.1 Основное определение Одна из самых простых формулировок дана Апостолом ^[2] (стр.53):

« Функция — это набор упорядоченных пар, никакие две из которых не имеют одинакового первого члена». ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$

В общем случае совокупность упорядоченных пар называется графом или отношением и называется функциональной ^{[12] [23]} или определенной ^[21], если никакие две пары не имеют одинакового первого члена (или компонента ). Таким образом, предыдущее определение можно перефразировать, сказав, что функция — это функциональный график ((Бурбаки ^[12] стр. 77). Формулировки, которые эквивалентны по содержанию и стилю, появляются в исчислении/анализе (Апостол ^[2] стр. 53, Флетт ^[6] , стр. 4), теории множеств (Бурбаки ^[12] стр. 77, Дасгупта ^[13] стр. 8, Куайн ^[15] стр. 21, Суппес ^[16] стр. 57, Тарский и Живант ^[17] стр. 3), логике (Мендельсон ^[18] стр. 6, Тарский ^[19] стр. 98), дискретной математике (Шейнерман ^[22] стр. 73), информатике ((Мейер ^[23] стр. 25, Рейнольдс ^[24] стр. 452). Формулировки различаются, но все они определяют одну и ту же концепцию, за исключением того факта, что некоторые авторы ^{[11] [15] [17]} применяют их к классам, а не просто к множествам.

A.2 Соглашения Набор всех первых членов упорядоченных пар в графе (или отношении) называется областью определения и записывается или . Набор всех вторых членов называется областью определения и записывается или . Пусть будет функцией (функциональным графом). Для каждого в области определения существует ровно одна такая, что . Следовательно, однозначно определяется и . Поэтому его правильно называть значением при и его можно однозначно обозначить некоторой подходящей комбинацией и , причем общей формой «по умолчанию» является или . Другие формы могут быть выбраны по предварительному соглашению, например, или . Распространенным примером последнего является запись для транспонирования матриц. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {dom} \,G}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {ran} \,G}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\,G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)\in f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\,x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle x^{f}}$ ${\displaystyle M^{\mathsf {T}}}$

A.3 Теорема о равенстве функций (Апостол ^[2] с. 54) Функции и равны ( ) тогда и только тогда, когда (a) и имеют одинаковую область определения и (b) для каждого в этой области определения. Эта теорема следует непосредственно из равенства множеств и справедлива для всех формулировок (предшествующих и последующих) определения простых функций. Она подразумевает, что (простая) функция полностью определяется своей областью определения и значением для каждого в этой области определения. Далее следует иллюстрация. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

A.4 Композиция функций Это самая важная операция над функциями. Для любых (простых) функций и композиция ( также пишется ) также является функцией, определяемой следующим образом: (a) область определения — это множество всех значений в области определения таких, что находится в области определения и (b) для любого такого значение задается выражением или, записанным с меньшим беспорядком, (см. Apostol ^[2] стр. 140, Flett ^[6] стр. 11, Suppes ^[16] стр. 87, Tarski & Givant ^[17] стр. 3, Mendelson ^[18] стр. 7, Meyer ^[23] стр. 32, Reynolds ^[24] стр. 450,452). Композиция обладает интересным свойством, заключающимся в том, что для всех функций и мы имеем . Эта ассоциативность позволяет сделать скобки необязательными и записать, например, . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\,;g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ ${\displaystyle (g\circ f)x=g(f\,x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$ ${\displaystyle h\circ g\circ f=f\,;g\,;h}$

A.5 Передача информации о домене и диапазоне В литературе представлены многочисленные соглашения для связи домена и/или диапазона (простой) функции с множествами и . Полезной преамбулой является следующая легенда. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Например (Апостол ^[2] с. 578, Флетт ^[6] с. 5, Дасгупта ^[13] с. 10, Шайнерман ^[22] с. 169, Мейер ^[23] с. 26, Рейнольдс ^[24] с. 458 ):

(Общая) функция от (в)до ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ — это функция с областью определения и диапазоном, включенными в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Флетт ^[6] (стр. 5) предупреждает, что такие фразы только передают информацию о домене и диапазоне, но не определяют новый вид функции. Функция от до обычно вводится записью , где может быть интерпретирована как набор всех (всего) функций от (в)до (Мейер ^[23] стр. 26, Рейнольдс ^[24] стр. 458), в других контекстах также пишется . Как логическое следствие, предусматривает, что (a) домен равен и (b) значения находятся в и могут быть дополнительно определены, например, с помощью формулы. Этот стиль очень удобен, как показано в следующих спецификациях функций ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\mathsf {sqra}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$с и с . ${\displaystyle {\mathsf {sqra}}\,x=x^{2}}$ ${\displaystyle {\mathsf {sqrb}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {sqrb}}\,x=x^{2}}$

По определению, оба указывают одну и ту же функцию ( ), которая находится на , но не на . Рассмотрим также ${\displaystyle {\mathsf {sqra}}={\mathsf {sqrb}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathsf {posrt}}:\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$с и с . ${\displaystyle ({\mathsf {posrt}}\,x)^{2}=x}$ ${\displaystyle {\mathsf {negrt}}:\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle ({\mathsf {negrt}}\,x)^{2}=x}$

Здесь и — соответственно положительная и отрицательная функция квадратного корня. Обе функции из в , но is на , тогда как is на . ${\displaystyle {\mathsf {posrt}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {negrt}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathsf {posrt}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {negrt}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\leq 0}}$

Аналогично, частичная функция от до ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ — это функция с областью определения, включенной в и диапазоном, включенным в . Например, в исчислении/анализе большинство функций определены на некотором подмножестве (интервале, области, ...) из , , , и так далее, следовательно, являются частичными на этих множествах. Для множества частичных функций от (в)до можно найти различные обозначения, такие как (Meyer ^[23] стр. 26) и (Reynolds ^[24] стр. 458). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\not \rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\;{\stackrel {\longrightarrow }{\scriptscriptstyle \mathrm {PFUN} }}\;Y}$

В качестве очень интересной иллюстрации читатель может убедиться, что при заданных и композиция является частичной функцией от до и что она является полной функцией от до тогда и только тогда , когда , что тривиально выполняется в случае . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g:U\rightarrow V}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathrm {ran} \,f\subseteq \mathrm {dom} \,g}$ ${\displaystyle Y=U}$

Важное замечание : как и в естественном языке, on используется как предлог, явно упоминая (Flett ^[6] стр. 5, Scheinerman ^[22] стр. 172; больше ссылок следует в следующем абзаце). Функция, которая является on, иногда называется сюръективной на или сюръекцией на . Scheinerman ^[22] (стр. 172) обозначает пропуск как «математический язык», но это не безобидно и может вызвать недопонимание. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

A.6 Сокращенная формулировка для функции от до ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ Довольно много авторов (Бартл и Шерберт ^[4] стр. 5, Ройден ^[8] стр. 8, Халмош ^[14] стр. 30, Херштейн ^[1] стр. 10, Герштейн ^[20] стр. 110, ^[25] Грис и Шнайдер ^[21] стр. 280, Секереш ^[25] стр. 10) не начинают с базового определения, данного ранее, а напрямую определяют функцию от (в)в ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ как подмножество из такое, что для каждого в существует ровно один в такой, что . Реже некоторые авторы (Бартл ^[3] стр. 13, Грис и Шнайдер ^[21] стр. 280) используют формулировку, которая сводится к замене «ровно один» на «не более одного», что фактически определяет частичную функцию от в . ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (x,y)\in f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Важное замечание : несмотря на видимость, эта сокращенная формулировка логически определяет точно такой же вид функции, как и базовое определение с точно такими же свойствами и соглашениями. В частности:,

• Теорема о равенстве функций верна, как указано (явно упомянута только Герштейном ^[20] стр. 113).
• Композиция определена для любых функций , , хотя некоторые авторы упускают это из виду и определяют только для и , что снижает общность, предполагая . ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ ${\displaystyle \mathrm {ran} \,f\subseteq \mathrm {dom} \,g}$
• Любая функция является функцией из своей области в любое надмножество своего диапазона. Следовательно, универсальный стиль спецификации, проиллюстрированный примерами , , , остается применимым. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathsf {sqra}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {sqrb}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {posrt}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {negrt}}}$
• Как и прежде, онто-ность указывается по отношению к множеству с использованием «onto» в качестве предлога (Бартл ^[3] стр. 13, Бартл и Шерберт ^[4] стр. 7, Ройден ^[8] стр. 8, Халмош ^[14] стр. 31, Херштейн ^[1] стр. 12, Герштейн ^[20] стр. 118, Секереш ^[25] стр. 11).

A.7 Отделение простой концепции функции от ее графика Хотя определение функции как графика является очень точным и строгим, оно создает некоторые двусмысленности для некоторых общих соглашений. Всего два примера: (i) запись для -кратной композиции функций и для -кратного декартова произведения, и (ii) определение последовательностей (в частности пар) как функций на некотором подмножестве натуральных чисел. Некоторые определения (Карлсон ^[5] стр. 182, Колмогоров и Фомин ^[7] стр. 5, Рудин ^[9] стр. 21) избегают этого, определяя функцию от до менее формально как связывающую "каким-то образом" уникальное значение в с каждым значением в , называемым областью определения . Это можно выразить следующим образом: ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

(Простая) функция — это сущность, которая полностью определена доменом , представляющим собой коллекцию (набор или класс) значений, и уникальным значением, назначенным каждому элементу в этом домене.

Как отметил Ройден ^[8] (сноска на стр. 8), эту формулировку можно сделать точной, взяв утверждение теоремы о равенстве функций (A.3) в качестве аксиомы. Тогда диапазон ${\displaystyle f}$ — это множество всех значений для в области . Все предыдущие вспомогательные формулировки дословно выполняются так, как указано, а именно, полностью общая композиция (A.4) и передача информации о области/диапазоне (A5). Тогда график — это множество всех пар для в области и обозначается как . Очевидно , тогда и только тогда, когда . Это может быть полезно для упрощения некоторых доказательств и определений (например, для обратных). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,fx)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,f}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,f={\mathcal {G}}\,g}$

B. Функции: маркированный вариант и понятиекодомен

Напомним, что для простых функций появление в указывает на то, что , без создания атрибута (в отличие от , который указан как домен). Как использовать эту гибкость в спецификациях функций, было продемонстрировано примерами для , проиллюстрированными примерами , , , . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f(x)\in Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathsf {sqra}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {sqrb}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {posrt}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {negrt}}}$

Дасгупта ^[13] (стр. 10) указывает, что создание атрибута надлежащим образом требует явного присоединения к для формирования триплета . Мак Лейн ^[26] (стр. 27) называет эту модификацию маркировкой . В общем, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \langle f,X,Y\rangle }$

(Помеченная) функция — это триплет , где — (простая) частичная функция от до . ${\displaystyle F:=\langle f,X,Y\rangle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Множество называется источником и называется целью или кодоменом . Домен и диапазон являются теми же, что и у . Похожие формулировки, иногда идентифицирующие домен и источник, приведены Бурбаки ^[12] стр. 76, Адамеком и др. ^[27] сноска стр. 14, Бердом и Де Муром ^[28] стр. 26, Пирсом ^[29] стр. 2. Некоторые из основных отличий от простого варианта следующие: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

• Равенство помеченных функций требует равенства источника, домена, кодомена и изображений.
• Для помеченной функции справедлива следующая терминология: (i) является частичной означает, что , (ii) является полной означает, что , и (iii) или является сюръективной означает, что . ${\displaystyle F:=\langle f,X,Y\rangle }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f\subseteq X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {dom} \,f=X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {ran} \,f=Y}$
• Состав определяется только в случае . В случае total это означает, что , что является довольно ограничительным по сравнению с простым вариантом. ${\displaystyle G\circ F}$ ${\displaystyle \mathrm {cod} \,F=\mathrm {src} \,G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {cod} \,F=\mathrm {dom} \,G}$

Ссылки

1. Herstein, Israel N. (1964). Topics in Algebra . Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing. ISBN 0-536-00258-4.
2. Апостол, Том М. (1967). Исчисление, том I (второе изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 9971-51-396-X.
3. Бартл, Роберт Г. (1964). Элементы реального анализа . Нью-Йорк: Wiley.
4. Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 9780471433316.
5. Карлсон, Роберт (2006). Конкретное введение в реальный анализ . Бока-Ратон: Chapmam & Hall/CRC. ISBN 1-58488-654-4.
6. Флетт, Томас М. (1966). Математический анализ . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
7. Колмогоров, Андрей Л.; Фомин, Сергей Васильевич (1975). Вводный реальный анализ . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-61226-0.
8. Ройден, Хэлси Л. (1968). Реальный анализ . Нью-Йорк: Macmillan.
9. Rudin, Walter (1964). Принципы математического анализа (второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill.
10. Томас, Джордж Б. младший; Вейр, Морис В.; Хасс, Джоэл; Джордано, Фрэнк Р. (2005). Исчисление Томаса (одиннадцатое изд.). Бостон: Pearson/Addison Wesley. ISBN 0-321-24335-8.
11. Bernays, Paul (1991). Аксиоматическая теория множеств . Нью-Йорк: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-66637-9.
12. Бурбаки, Николя (1954). Теория ансамблей . Париж: Hermann & Cie.
13. Дасгупта, Абхиджит (2014). Теория множеств . Нью-Йорк: Birkhauser/Springer. ISBN 978-1-4614-8853-8.
14. Halmos, Paul (1960). Наивная теория множеств . Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold.
15. Куайн, Уиллард Ван Орман (1969). Теория множеств и ее логика . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press/Harvard. ISBN 0674802071.
16. Suppes, Patrick (1972). Аксиоматическая теория множеств . Нью-Йорк: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61630-4.
17. Тарский, Альфред; Дживант, Стивен (1987). Формализация теории множеств без переменных . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1041-3.
18. Мендельсон, Эллиотт (1987). Введение в математическую логику . Пасифик Гроув, Калифорния: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-06624-0.
19. Tarski, Alfred (1995). Введение в логику . Нью-Йорк: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-28462-X.
20. Герштейн, Ларри Дж. (2012). Введение в математические структуры и доказательства . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4614-4264-6.
21. Gries, David; Schneider, Fred B. (2010). Логический подход к дискретной математике . Нью-Йорк: Springer. ISBN 1441928359.
22. Шайнерман, Эдвард Р. (2013). Математика — Дискретное Введение (третье изд.). Бостон: Cengage Learning. ISBN 0-8400-4942-0.
23. Мейер, Бертран (1991). Введение в теорию языков программирования . Нью-Йорк: Prentice Hall. ISBN 0-13-498502-8.
24. Рейнольдс, Джон К. (2009). Теории языков программирования . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-10697-9.
25. Szekeres, Peter (2004). Курс современной математической физики . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-82960-7.
26. Mac Lane, Saunders (1971). Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-90036-5.
27. Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории — Кошачья радость . открытый исходный код: Лицензия свободной документации GNU.
28. Берд, Ричард; Де Мур, Оеге (1997). Алгебра программирования . Харлоу: Prentice Hall/Pearson. ISBN 0-13-507245-X.
29. Пирс, Бенджамин С. (1991). Базовая теория категорий для компьютерных ученых . Кембридж, Массачусетс: The MIT Press. ISBN 0-262-66071-7.

Последнее обновление: Boute ( обсуждение ) 13:11, 15 февраля 2022 (UTC)