Броуновский мост — это стохастический процесс с непрерывным временем B ( t ), распределение вероятностей которого является условным распределением вероятностей стандартного винеровского процесса W ( t ) (математическая модель броуновского движения ) при условии (при стандартизации), что W ( T ) = 0, так что процесс привязан к одному и тому же значению как при t = 0, так и при t = T . Точнее:
Ожидаемое значение моста в любой момент t в интервале [0, T ] равно нулю с дисперсией , что означает, что наибольшая неопределенность находится в середине моста с нулевой неопределенностью в узлах. Ковариация B ( s ) и B ( t ) равна , или s (T − t )/T, если s < t . Приращения в броуновском мосте не являются независимыми.
Если W ( t ) является стандартным винеровским процессом (т.е. для t ≥ 0 W ( t ) нормально распределяется с ожидаемым значением 0 и дисперсией t , а приращения стационарны и независимы ), то
является броуновским мостом при t ∈ [0, T ]. Он не зависит от W ( T ) [1]
И наоборот, если B ( t ) — броуновский мост, а Z — стандартная нормальная случайная величина, независимая от B , то процесс
является винеровским процессом при t ∈ [0, 1]. В более общем смысле, винеровский процесс W ( t ) для t ∈ [0, T ] можно разложить на
Другое представление броуновского моста, основанное на броуновском движении, таково: для t ∈ [0, T ]
Обратно, для t ∈ [0, ∞]
Броуновский мост также можно представить в виде ряда Фурье со стохастическими коэффициентами:
где – независимые одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины (см. теорему Карунена–Лоэва ).
Броуновский мост — результат теоремы Донскера в области эмпирических процессов . Он также используется в тесте Колмогорова-Смирнова в области статистического вывода .
Стандартный винеровский процесс удовлетворяет условию W (0) = 0 и, следовательно, «привязан» к началу координат, но другие точки не ограничены. С другой стороны, в броуновском мостовом процессе не только B (0) = 0, но мы также требуем, чтобы B ( T ) = 0, то есть процесс также «привязывается» при t = T. Точно так же, как буквальный мост поддерживается пилонами на обоих концах, броуновский мост должен удовлетворять условиям на обоих концах интервала [0, T ]. (В небольшом обобщении иногда требуется B ( t 1 ) = a и B ( t 2 ) = b , где t 1 , t 2 , a и b — известные константы.)
Предположим, что мы создали несколько точек W (0), W (1), W (2), W (3) и т. д. пути винеровского процесса с помощью компьютерного моделирования. Теперь желательно заполнить дополнительные точки в интервале [0, T ], то есть провести интерполяцию между уже сгенерированными точками W (0) и W ( T ). Решение состоит в том, чтобы использовать броуновский мост, который должен проходить через значения W (0) и W ( T ).
В общем случае, когда B ( t 1 ) = a и B ( t 2 ) = b , распределение B в момент времени t ∈ ( t 1 , t 2 ) является нормальным со средним значением
и ковариация между B ( s ) и B ( t ) при s < t равна
![{\displaystyle B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298ba09ed98e6338883098882f8373ea4900d23d)
