Пламя Берка-Шумана

Тип пламени

В горении пламя Берка-Шумана — это тип диффузионного пламени , которое устанавливается в устье двух концентрических каналов, выпуская топливо и окислитель из двух областей соответственно. Оно названо в честь SP Burke и TEW Schumann, ^{[1] [2],} которые смогли предсказать высоту и форму пламени, используя свой простой анализ бесконечно быстрой химии (который теперь называется пределом Берка-Шумана ) в 1928 году на Первом симпозиуме по горению .

Математическое описание

Рассмотрим цилиндрический канал с осью вдоль направления с радиусом , через который снизу подается топливо, а устье трубы расположено в . Окислитель подается вдоль той же оси, но в концентрической трубе радиусом снаружи топливной трубы. Пусть массовая доля в топливной трубе будет , а массовая доля кислорода во внешнем канале будет . Смешение топлива и кислорода происходит в области . При анализе были сделаны следующие предположения: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y_{Fo}}$ ${\displaystyle Y_{Oo}}$ ${\displaystyle z>0}$

• Средняя скорость параллельна оси ( направлению) воздуховодов, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{z}}$
• Поток массы в осевом направлении постоянен, ${\displaystyle \rho v=\mathrm {constant} }$
• Осевая диффузия незначительна по сравнению с поперечной/радиальной диффузией.
• Пламя возникает бесконечно быстро ( предел Берка-Шумана ), поэтому пламя выглядит как реакционная решетка , по которой изменяются свойства потока.
• Эффекты гравитации были проигнорированы

Рассмотрим одношаговый необратимый закон Аррениуса , , где - масса кислорода, необходимая для сжигания единицы массы топлива, а - количество тепла, выделяемого на единицу массы сожженного топлива. Если - масса топлива, сожженного на единицу объема за единицу времени, и вводя безразмерную долю топлива и массы и параметр стехиометрии, ${\displaystyle \mathrm {Fuel} +s\mathrm {O} _{2}\rightarrow (1+s)\mathrm {Products} +q}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle y_{F}={\frac {Y_{F}}{Y_{Fo}}},\quad y_{O}={\frac {Y_{O}}{Y_{Oo}}},\quad S={\frac {sY_{Fo}}{Y_{Oo}}}}$

основные уравнения для массовой доли топлива и окислителя сводятся к

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho D_{T}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial y_{F}}{\partial r}}\right)-\rho v{\frac {\partial y_{F}}{\partial z}}={\frac {\omega }{Y_{Fo}}}\\{\frac {\rho D_{T}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial y_{O}}{\partial r}}\right)-\rho v{\frac {\partial y_{O}}{\partial z}}=S{\frac {\omega }{Y_{Fo}}}\\\end{aligned}}}$

где число Льюиса обоих видов предполагается равным единице и предполагается постоянным, где - температуропроводность . Граничные условия для задачи: ${\displaystyle \rho D_{T}}$ ${\displaystyle D_{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{at}}\,&z=0,\,0<r<a,\,y_{F}=1,\,y_{O}=0,\\{\text{at}}\,&z=0,\,a<r<b,\,y_{F}=0,\,y_{O}=1,\\{\text{at}}\,&r=b,\,0<z<\infty ,\,{\frac {\partial y_{F}}{\partial r}}=0,\,{\frac {\partial y_{O}}{\partial r}}=0.\end{aligned}}}$

Уравнение можно линейно объединить, чтобы исключить нелинейный член реакции и решить для новой переменной. ${\displaystyle \omega /Y_{Fo}}$

${\displaystyle Z={\frac {Sy_{F}-y_{O}+1}{S+1}}}$,

где известно как фракция смеси . Фракция смеси принимает значение единицы в потоке топлива и ноль в потоке окислителя, и это скалярное поле, которое не зависит от реакции. Уравнение, которому удовлетворяет, имеет вид ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial Z}{\partial r}}\right)-{\frac {\rho v}{\rho D_{T}}}{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0}$

(Если числа Льюиса топлива и окислителя не равны единице, то уравнение, которому удовлетворяет, является нелинейным, как следует из формулировки Шваба–Зельдовича–Линьяна ). Вводя следующее преобразование координат ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \xi ={\frac {r}{b}},\quad \eta ={\frac {\rho D_{T}}{\rho v}}{\frac {z}{b^{2}}},\quad c={\frac {a}{b}}}$

сводит уравнение к

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\xi {\frac {\partial Z}{\partial \xi }}\right)-{\frac {\partial Z}{\partial \eta }}=0.}$

Соответствующие граничные условия становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{at}}\,&\eta =0,\,0<\xi <c,\,Z=1,\\{\text{at}}\,&\eta =0,\,c<\xi <1,\,Z=0,\\{\text{at}}\,&\xi =1,\,0<\eta <\infty ,\,{\frac {\partial Z}{\partial \xi }}=0.\end{aligned}}}$

Уравнение можно решить путем разделения переменных

${\displaystyle Z(\xi ,\eta )=c^{2}+2c\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi )e^{-\lambda _{n}^{2}\eta }}$

где и — функция Бесселя первого рода , а — корень n-й степени из Решение можно получить и для плоских воздуховодов вместо осесимметричных воздуховодов, обсуждаемых здесь. ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle J_{1}(\lambda )=0.}$

^{[3] [4]}

Форма и высота пламени

В пределе Берка-Шумана пламя рассматривается как тонкая реакционная пластина, вне которой топливо и кислород не могут существовать вместе, т.е. Сама реакционная пластина расположена у стехиометрической поверхности, где , другими словами, где ${\displaystyle y_{F}y_{O}=0}$ ${\displaystyle Sy_{F}=y_{O}}$

${\displaystyle Z=Z_{s}\equiv {\frac {1}{S+1}}}$

где — стехиометрическая фракция смеси. Реакционный лист разделяет области топлива и окислителя. Внутренняя структура реакционного листа описывается уравнением Линьяна . На топливной стороне реакционного листа ( ) ${\displaystyle Z_{s}}$ ${\displaystyle Z>Z_{s}}$

${\displaystyle y_{F}={\frac {Z-Z_{s}}{1-Z_{s}}},\,y_{O}=0}$

и на стороне окислителя ( ) ${\displaystyle Z<Z_{s}}$

${\displaystyle y_{F}=0,\,y_{O}=1-{\frac {Z}{Z_{s}}}.}$

При заданных значениях (или, ) и форма пламени задается условием , т.е. ${\displaystyle Z_{s}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Z(\xi ,\eta )=Z_{s}}$

${\displaystyle Z_{s}=c^{2}+2c\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi )e^{-\lambda _{n}^{2}\eta }.}$

Когда ( ), пламя выходит из устья внутренней трубы и прикрепляется к внешней трубе на определенной высоте ( случай недостаточной вентиляции ), а когда ( ), пламя начинается из устья внутренней трубы и соединяется с осью на некоторой высоте от устья ( случай избыточной вентиляции ). В общем случае высота пламени получается путем решения для в приведенном выше уравнении после настройки для случая недостаточной вентиляции и для случая избыточной вентиляции. ${\displaystyle Z_{s}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle S\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle Z_{s}\rightarrow 1}$ ${\displaystyle S\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi =0}$

Поскольку высоты пламени обычно велики, чтобы экспоненциальные члены ряда были пренебрежимо малы, в качестве первого приближения высоту пламени можно оценить, сохранив только первый член ряда. Это приближение предсказывает высоты пламени для обоих случаев следующим образом

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1}J_{0}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{under-ventilated}}\\\eta &={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1}J_{0}^{2}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{over-ventilated}},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \lambda _{1}=3.8317.}$

Ссылки

1. Берк, С. П. и Т. Э. Шуман. «Диффузионные пламени». Industrial & Engineering Chemistry 20.10 (1928): 998–1004.
2. Зельдович И.А., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. (1985).Математическая теория горения и взрыва.
3. Уильямс, ФА (2018). Теория горения. CRC Press.
4. Уильямс, ФА (1965). Теория горения: фундаментальная теория химических реагирующих потоковых систем. Эддисон-Уэсли.