Связанный кластер

Метод аппроксимации многочастичных систем

Связанный кластер ( CC ) — это численный метод, используемый для описания систем многих тел . Наиболее часто он используется как один из нескольких методов квантовой химии ab initio после Хартри-Фока в области вычислительной химии , но также используется в ядерной физике . Связанный кластер по сути берет базовый метод молекулярных орбиталей Хартри-Фока и строит многоэлектронные волновые функции с использованием оператора экспоненциального кластера для учета электронной корреляции . Некоторые из наиболее точных расчетов для молекул малого и среднего размера используют этот метод. ^{[1] [2] [3]}

Первоначально метод был разработан Фрицем Кёстером и Германом Кюммелем в 1950-х годах для изучения явлений ядерной физики, но стал более часто использоваться, когда в 1966 году Иржи Чижек (а позднее совместно с Йозефом Палдусом ) переформулировал метод электронной корреляции в атомах и молекулах . В настоящее время это один из наиболее распространенных методов в квантовой химии , включающий электронную корреляцию.

Теория CC — это просто пертурбативный вариант многоэлектронной теории (MET) Октая Синаноглу , которая является точным (и вариационным) решением многоэлектронной проблемы, поэтому ее также называли «MET связанной пары (CPMET)». Дж. Чижек использовал корреляционную функцию MET и теорию возмущений типа Голдстоуна, чтобы получить выражение энергии, в то время как исходная MET была полностью вариационной. Чижек сначала разработал линейную CPMET, а затем обобщил ее до полной CPMET в той же работе в 1966 году. Затем он также выполнил ее применение на молекуле бензола с Синаноглу в том же году. Поскольку MET несколько сложно выполнить вычислительно, CC проще, и, таким образом, в сегодняшней вычислительной химии CC является лучшим вариантом MET и дает высокоточные результаты по сравнению с экспериментами. ^{[4] [5] [6]}

Волновая функция анзац

Теория связанных кластеров дает точное решение уравнения Шредингера, не зависящего от времени.

${\displaystyle H|\Psi \rangle =E|\Psi \rangle ,}$

где — гамильтониан системы, — точная волновая функция, а E — точная энергия основного состояния. Теория связанных кластеров также может быть использована для получения решений для возбужденных состояний с использованием, например, подходов линейного отклика, ^[7] уравнения движения, ^[8] универсального состояния с несколькими ссылками , ^[9] или универсального валентности с несколькими ссылками связанного кластера ^[10] . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Волновая функция теории связанных кластеров записывается в виде экспоненциального анзаца :

${\displaystyle |\Psi \rangle =e^{T}|\Phi _{0}\rangle ,}$

где — опорная волновая функция, которая обычно представляет собой детерминант Слейтера, построенный из молекулярных орбиталей Хартри–Фока , хотя могут использоваться и другие волновые функции, такие как конфигурационное взаимодействие , многоконфигурационное самосогласованное поле или орбитали Бракнера. — кластерный оператор, который при воздействии на создает линейную комбинацию возбужденных детерминант из опорной волновой функции (более подробную информацию см. в разделе ниже). ${\displaystyle |\Phi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |\Phi _{0}\rangle }$

Выбор экспоненциального анзаца уместен, поскольку (в отличие от других анзацев, например, конфигурационного взаимодействия ) он гарантирует размерную экстенсивность решения. Согласованность размера в теории CC, также в отличие от других теорий, не зависит от согласованности размера опорной волновой функции. Это легко увидеть, например, в разрыве одинарной связи F ₂ при использовании ограниченной ссылки Хартри-Фока (RHF), которая не является согласованной по размеру, на уровне теории CCSDT (связанный кластер один-два-три), который обеспечивает почти точную, полностью CI-качественную, поверхность потенциальной энергии и не диссоциирует молекулу на ионы F ⁻ и F ⁺ , как волновая функция RHF, а скорее на два нейтральных атома F. ^[11] Если бы кто-то использовал, например, уровни теории CCSD или CCSD(T), они не дали бы разумных результатов для разрыва связей F2 _, поскольку последний приближается к нефизическим поверхностям потенциальной энергии, ^[12] хотя это происходит по причинам, отличным от простого соответствия размеров.

Критика метода заключается в том, что традиционная реализация, использующая преобразованный по подобию гамильтониан (см. ниже), не является вариационной , хотя существуют бивариационные и квазивариационные подходы, которые были разработаны с момента первых реализаций теории. В то время как приведенный выше анзац для самой волновой функции не имеет естественного усечения, однако для других свойств, таких как энергия, существует естественное усечение при рассмотрении ожидаемых значений, которое имеет свою основу в теоремах о связанных и связанных кластерах, и, таким образом, не страдает от таких проблем, как отсутствие экстенсивности размера, как в вариационном подходе взаимодействия конфигураций.

Оператор кластера

Оператор кластера записывается в виде

${\displaystyle T=T_{1}+T_{2}+T_{3}+\cdots ,}$

где — оператор всех одиночных возбуждений, — оператор всех двойных возбуждений и т. д. В формализме вторичного квантования эти операторы возбуждения выражаются как ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

${\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\sum _{a}t_{a}^{i}{\hat {a}}^{a}{\hat {a}}_{i},}$

${\displaystyle T_{2}={\frac {1}{4}}\sum _{i,j}\sum _{a,b}t_{ab}^{ij}{\hat {a}}^{a}{\hat {a}}^{b}{\hat {a}}_{j}{\hat {a}}_{i},}$

и для общего n -кратного кластерного оператора

${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{(n!)^{2}}}\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}\sum _{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}t_{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}{\hat {a}}^{a_{1}}{\hat {a}}^{a_{2}}\ldots {\hat {a}}^{a_{n}}{\hat {a}}_{i_{n}}\ldots {\hat {a}}_{i_{2}}{\hat {a}}_{i_{1}}.}$

В приведенных выше формулах и обозначают операторы создания и уничтожения соответственно, в то время как i ,  j обозначают занятые (дырки), а a ,  b — незанятые (частицы) орбитали (состояния). Операторы создания и уничтожения в терминах связанного кластера выше записаны в канонической форме, где каждый член находится в форме нормального порядка относительно вакуума Ферми . Будучи оператором кластера с одной частицей и оператором кластера с двумя частицами, и преобразуют опорную функцию в линейную комбинацию однократно и дважды возбужденных детерминант Слейтера соответственно, если применяются без экспоненты (например, в CI , где линейный оператор возбуждения применяется к волновой функции). Применяя оператор экспоненциального кластера к волновой функции, можно затем сгенерировать более чем дважды возбужденные детерминанты из-за различных степеней и , которые появляются в полученных выражениях (см. ниже). Решение для неизвестных коэффициентов и необходимо для нахождения приближенного решения . ${\displaystyle {\hat {a}}^{a}={\hat {a}}_{a}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle |\Phi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle |\Phi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle t_{a}^{i}}$ ${\displaystyle t_{ab}^{ij}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Экспоненциальный оператор может быть разложен в ряд Тейлора , и если мы рассмотрим только кластерные операторы и , то мы можем записать ${\displaystyle e^{T}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle e^{T}=1+T+{\frac {1}{2!}}T^{2}+\cdots =1+T_{1}+T_{2}+{\frac {1}{2}}T_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}T_{1}T_{2}+{\frac {1}{2}}T_{2}T_{1}+{\frac {1}{2}}T_{2}^{2}+\cdots }$

Хотя на практике этот ряд конечен, поскольку число занятых молекулярных орбиталей конечно, как и число возбуждений, он все еще очень велик, до такой степени, что даже современные массивно-параллельные компьютеры неадекватны, за исключением задач с дюжиной или около того электронов и очень маленькими базисными наборами, при рассмотрении всех вкладов в кластерный оператор, а не только и . Часто, как это было сделано выше, кластерный оператор включает только одиночные и двойные элементы (см. CCSD ниже), поскольку это предлагает вычислительно доступный метод, который работает лучше, чем MP2 и CISD, но обычно не очень точен. Для точных результатов необходимы некоторые формы троек (приближенные или полные), даже вблизи равновесной геометрии (в области Франка-Кондона ), и особенно при разрыве одиночных связей или описании бирадикальных видов (эти последние примеры часто являются тем, что называют многореферентными задачами, поскольку более одного детерминанта вносят значительный вклад в результирующую волновую функцию). Для разрыва двойной связи и более сложных задач в химии четверные возбуждения часто также становятся важными, хотя обычно они имеют небольшой вклад для большинства задач, и, как таковой, вклад и т. д. в оператор обычно мал. Кроме того, если наивысший уровень возбуждения в операторе равен n , ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{5}}$ ${\displaystyle T_{6}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=T_{1}+...+T_{n},}$

то детерминанты Слейтера для N -электронной системы, возбужденной более ( ) раз, могут по-прежнему вносить вклад в волновую функцию связанного кластера из-за нелинейной природы экспоненциального анзаца, и, следовательно, связанный кластер, завершающийся при , обычно восстанавливает большую энергию корреляции, чем CI с максимальным числом возбуждений n . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle <N}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle T_{n}}$

Уравнения связанных кластеров

Уравнение Шредингера можно записать, используя волновую функцию связанного кластера, как

${\displaystyle H|\Psi _{0}\rangle =He^{T}|\Phi _{0}\rangle =Ee^{T}|\Phi _{0}\rangle ,}$

где есть всего q коэффициентов ( t -амплитуд) для решения. Чтобы получить q уравнений, сначала мы умножаем приведенное выше уравнение Шредингера слева на и затем проецируем на весь набор до m -кратно возбужденных детерминант, где m - возбуждение наивысшего порядка, включенное в которое может быть построено из опорной волновой функции , обозначенной как . По отдельности, являются однократно возбужденными детерминантами, где электрон на орбитали i был возбужден на орбиталь a ; являются дважды возбужденными детерминантами, где электрон на орбитали i был возбужден на орбиталь a , а электрон на орбитали j был возбужден на орбиталь b , и т. д. Таким образом, мы генерируем набор связанных энергетически независимых нелинейных алгебраических уравнений, необходимых для определения t -амплитуд: ${\displaystyle e^{-T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |\Phi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{*}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi _{i}^{a}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi _{ij}^{ab}\rangle }$

${\displaystyle \langle \Phi _{0}|e^{-T}He^{T}|\Phi _{0}\rangle =E\langle \Phi _{0}|\Phi _{0}\rangle =E,}$

${\displaystyle \langle \Phi ^{*}|e^{-T}He^{T}|\Phi _{0}\rangle =E\langle \Phi ^{*}|\Phi _{0}\rangle =0,}$

последние представляют собой уравнения, которые необходимо решить, а первые — уравнения для оценки энергии. (Обратите внимание, что мы использовали , оператор тождества, а также предполагаем, что орбитали ортогональны, хотя это не обязательно должно быть так, например, можно использовать орбитали валентных связей , и в таких случаях последний набор уравнений не обязательно равен нулю.) ${\displaystyle e^{-T}e^{T}=1}$

Рассматривая базовый метод CCSD:

${\displaystyle \langle \Phi _{0}|e^{-(T_{1}+T_{2})}He^{(T_{1}+T_{2})}|\Phi _{0}\rangle =E,}$

${\displaystyle \langle \Phi _{i}^{a}|e^{-(T_{1}+T_{2})}He^{(T_{1}+T_{2})}|\Phi _{0}\rangle =0,}$

${\displaystyle \langle \Phi _{ij}^{ab}|e^{-(T_{1}+T_{2})}He^{(T_{1}+T_{2})}|\Phi _{0}\rangle =0,}$

в котором преобразованный по подобию гамильтониан может быть явно записан с использованием формулы Адамара в алгебре Ли, также называемой леммой Адамара (см. также формулу Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа (формула БЧХ), хотя следует отметить, что они отличаются тем, что формула Адамара является леммой формулы БЧХ): ${\displaystyle {\bar {H}}}$

${\displaystyle {\bar {H}}=e^{-T}He^{T}=H+[H,T]+{\frac {1}{2!}}{\big [}[H,T],T{\big ]}+\dots =(He^{T})_{C}.}$

Нижний индекс C обозначает связанную часть соответствующего операторного выражения.

Результирующий преобразованный по подобию гамильтониан является неэрмитовым, что приводит к разным левым и правым векторам (волновым функциям) для одного и того же интересующего состояния (это то, что часто называют в теории связанных кластеров биортогональностью решения или волновой функцией, хотя это также применимо к другим неэрмитовым теориям). Результирующие уравнения представляют собой набор нелинейных уравнений, которые решаются итеративным способом. Стандартные пакеты квантовой химии ( GAMESS (US) , NWChem , ACES II и т. д.) решают уравнения связанных кластеров, используя метод Якоби и прямую инверсию итеративного подпространства ( DIIS ) экстраполяции t -амплитуд для ускорения сходимости.

Типы методов связанных кластеров

Классификация традиционных методов связанных кластеров основана на максимальном количестве возбуждений, разрешенных в определении . Сокращения для методов связанных кластеров обычно начинаются с букв "CC" (для "coupled cluster"), за которыми следует ${\displaystyle T}$

1. S – для одиночных возбуждений (сокращенно одиночные в терминологии связанных кластеров),
2. D – для двойных возбуждений ( дублей ),
3. T – для тройных возбуждений ( троек ),
4. Q – для четверных возбуждений ( четверок ).

Таким образом, оператор в CCSDT имеет вид ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=T_{1}+T_{2}+T_{3}.}$

Термины в круглых скобках указывают, что эти термины вычисляются на основе теории возмущений . Например, метод CCSD(T) означает:

1. Спаренный кластер с полной обработкой одиночных и парных разрядов.
2. Оценка вклада связанных троек вычисляется безытеративно с использованием аргументов теории возмущений многих тел .

Общее описание теории

Сложность уравнений и соответствующих компьютерных кодов, а также стоимость вычислений резко возрастают с самым высоким уровнем возбуждения. Для многих приложений CCSD, хотя и относительно недорогой, не обеспечивает достаточной точности, за исключением самых маленьких систем (приблизительно от 2 до 4 электронов), и часто требуется приближенная обработка троек. Наиболее известным методом связанных кластеров, который обеспечивает оценку связанных троек, является CCSD(T), который обеспечивает хорошее описание молекул с замкнутой оболочкой вблизи равновесной геометрии, но не работает в более сложных ситуациях, таких как разрыв связей и бирадикалы. Другим популярным методом, который компенсирует недостатки стандартного подхода CCSD(T), является CR -CC(2,3), где вклад троек в энергию вычисляется из разницы между точным решением и энергией CCSD и не основан на аргументах теории возмущений. Более сложные методы связанных кластеров, такие как CCSDT и CCSDTQ, используются только для высокоточных расчетов малых молекул. Включение всех n уровней возбуждения для n -электронной системы дает точное решение уравнения Шредингера в заданном базисном наборе , в приближении Борна–Оппенгеймера (хотя были составлены также схемы, работающие без приближения БО ^{[13] [14]} ).

Одним из возможных улучшений стандартного подхода связанных кластеров является добавление членов, линейных по межэлектронным расстояниям, с помощью таких методов, как CCSD-R12. Это улучшает обработку динамической электронной корреляции, удовлетворяя условию каспа Като и ускоряя сходимость относительно орбитального базисного набора. К сожалению, методы R12 вызывают разрешение тождества , что требует относительно большого базисного набора для того, чтобы быть хорошим приближением.

Метод связанных кластеров, описанный выше, также известен как метод связанных кластеров с одной ссылкой (SR), поскольку экспоненциальный анзац включает только одну функцию ссылки . Стандартными обобщениями метода SR-CC являются подходы с несколькими ссылками (MR): кластер с универсальным связанным состоянием (также известный как кластер с гильбертовым пространством ), кластер с универсальным связанным значением (или кластер с пространством Фока ) и кластер с селективным связанным состоянием (или кластер с определенным состоянием). ${\displaystyle |\Phi _{0}\rangle }$

Исторические отчеты

Комментарии Кюммеля: ^[1]

Учитывая тот факт, что метод CC был хорошо понят примерно в конце пятидесятых годов[,], кажется странным, что с ним ничего не произошло до 1966 года, когда Йиржи Чижек опубликовал свою первую статью по проблеме квантовой химии. Он изучил статьи 1957 и 1960 годов, опубликованные в Nuclear Physics Фрицем и мной. Я всегда находил весьма примечательным, что квантовый химик открыл выпуск журнала по ядерной физике. Я сам в то время почти отказался от метода CC как от неподдающегося обработке и, конечно, никогда не заглядывал в журналы по квантовой химии. В результате я узнал о работе Йиржи только в начале семидесятых, когда он прислал мне большую посылку с перепечатками многих статей, которые он и Джо Палдус написали к тому времени.

Йозеф Палдус также написал свой собственный рассказ о происхождении теории связанных кластеров, ее реализации и использовании в определении электронной волновой функции; его рассказ в первую очередь посвящен созданию теории связанных кластеров, а не самой теории. ^[15]

Связь с другими теориями

Взаимодействие конфигурации

Операторы возбуждения C _j , определяющие CI-разложение N -электронной системы для волновой функции , ${\displaystyle |\Psi _{0}\rangle }$

${\displaystyle |\Psi _{0}\rangle =(1+C)|\Phi _{0}\rangle ,}$

${\displaystyle C=\sum _{j=1}^{N}C_{j},}$

связаны с кластерными операторами , поскольку в пределе включения до в кластерный оператор теория CC должна быть равна полной CI, получаем следующие соотношения ^{[16] [17]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{N}}$

${\displaystyle C_{1}=T_{1},}$

${\displaystyle C_{2}=T_{2}+{\frac {1}{2}}(T_{1})^{2},}$

${\displaystyle C_{3}=T_{3}+T_{1}T_{2}+{\frac {1}{6}}(T_{1})^{3},}$

${\displaystyle C_{4}=T_{4}+{\frac {1}{2}}(T_{2})^{2}+T_{1}T_{3}+{\frac {1}{2}}(T_{1})^{2}T_{2}+{\frac {1}{24}}(T_{1})^{4},}$

и т. д. Для общих соотношений см. J. Paldus, в Methods in Computational Molecular Physics , Vol. 293 of Nato Advanced Study Institute Series B: Physics , под редакцией S. Wilson и G. H. F. Diercksen (Plenum, New York, 1992), стр. 99–194.

Симметрично-адаптированный кластер

Подход симметрийно-адаптированного кластера (SAC) ^{[18] [19]} определяет (спин- и) симметрийно-адаптированный кластерный оператор

${\displaystyle S=\sum _{I}S_{I}}$

путем решения следующей системы уравнений, зависящих от энергии:

${\displaystyle \langle \Phi |(H-E_{0})e^{S}|\Phi \rangle =0,}$

${\displaystyle \langle \Phi _{i_{1}\ldots i_{n}}^{a_{1}\ldots a_{n}}|(H-E_{0})e^{S}|\Phi \rangle =0,}$

${\displaystyle i_{1}<\cdots <i_{n},\quad a_{1}<\cdots <a_{n},\quad n=1,\dots ,M_{s},}$

где — n -кратно возбужденные детерминанты относительно (обычно в практических реализациях это функции состояния конфигурации, адаптированные к спину и симметрии), а — наивысший порядок возбуждения, включенный в оператор SAC. Если все нелинейные члены включены, то уравнения SAC становятся эквивалентными стандартным уравнениям связанных кластеров Йиржи Чижека. Это происходит из-за отмены зависящих от энергии членов с несвязанными членами, вносящими вклад в произведение , что приводит к тому же набору нелинейных энергетически независимых уравнений. Как правило, все нелинейные члены, за исключением , отбрасываются, поскольку нелинейные члены более высокого порядка обычно малы. ^[20] ${\displaystyle |\Phi _{i_{1}\ldots i_{n}}^{a_{1}\ldots a_{n}}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi \rangle }$ ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle e^{S}}$ ${\displaystyle He^{S}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}S_{2}^{2}}$

Использование в ядерной физике

В ядерной физике связанный кластер использовался значительно меньше, чем в квантовой химии в 1980-х и 1990-х годах. Более мощные компьютеры, а также достижения в теории (такие как включение трехнуклонных взаимодействий ) с тех пор возобновили интерес к этому методу, и он был успешно применен к нейтронно-богатым и среднемассовым ядрам. Связанный кластер является одним из нескольких методов ab initio в ядерной физике и особенно подходит для ядер, имеющих закрытые или почти закрытые оболочки . ^[21]

Смотрите также

• Компьютерные программы квантовой химии

Ссылки

1. Kümmel, HG (2002). "Биография метода связанных кластеров". В Bishop, RF; Brandes, T.; Gernoth, KA; Walet, NR; Xian, Y. (ред.). Недавний прогресс в теории многих тел. Труды 11-й международной конференции . Сингапур: World Scientific Publishing. стр. 334–348. ISBN 978-981-02-4888-8.
2. Крамер, Кристофер Дж. (2002). Основы вычислительной химии . Чичестер: John Wiley & Sons, Ltd. стр. 191–232. ISBN 0-471-48552-7.
3. Шавитт, Исайя; Бартлетт, Родни Дж. (2009). Методы многих тел в химии и физике: MBPT и теория связанных кластеров . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81832-2.
4. Чижек, Йиржи (1966). «О проблеме корреляции в атомных и молекулярных системах. Расчет компонент волновой функции в разложении типа Урселла с использованием квантово-полевых теоретических методов». Журнал химической физики . 45 (11): 4256–4266. Bibcode : 1966JChPh..45.4256C. doi : 10.1063/1.1727484.
5. Синаноглу, О.; Брюкнер, К. (1971). Три подхода к электронной корреляции в атомах . Yale Univ. Press. ISBN 0-300-01147-4.См. также ссылки в нем.
6. Si̇nanoğlu, Oktay (1962). «Многоэлектронная теория атомов и молекул. I. Оболочки, электронные пары против многоэлектронных корреляций». Журнал химической физики . 36 (3): 706–717. Bibcode : 1962JChPh..36..706S. doi : 10.1063/1.1732596.
7. Монкхорст, Х. Дж. (1977). «Расчет свойств с помощью метода связанных кластеров». Международный журнал квантовой химии . 12, S11: 421–432. doi :10.1002/qua.560120850.
8. Стэнтон, Джон Ф.; Бартлетт, Родни Дж. (1993). «Метод уравнения движения связанных кластеров. Систематический биортогональный подход к энергиям возбуждения молекул, вероятностям переходов и свойствам возбужденного состояния». Журнал химической физики . 98 (9): 7029. Bibcode : 1993JChPh..98.7029S. doi : 10.1063/1.464746.
9. Jeziorski, B.; Monkhorst, H. (1981). «Метод связанных кластеров для многодетерминантных референтных состояний». Physical Review A. 24 ( 4): 1668. Bibcode : 1981PhRvA..24.1668J. doi : 10.1103/PhysRevA.24.1668.
10. Линдгрен, Д.; Мукерджи, Дебашис (1987). «О критериях связности в теории связанных кластеров с открытой оболочкой для общих модельных пространств». Physics Reports . 151 (2): 93. Bibcode : 1987PhR...151...93L. doi : 10.1016/0370-1573(87)90073-1.
11. Ковальски, К.; Пиекух, П. (2001). "Сравнение методов перенормированного и связанного кластера в активном пространстве: кривые потенциальной энергии BH и F2". Chemical Physics Letters . 344 (1–2): 165–175. Bibcode :2001CPL...344..165K. doi :10.1016/s0009-2614(01)00730-8.
12. Ghose, KB; Piecuch, P.; Adamowicz, L. (1995). "Улучшенная вычислительная стратегия для теории связанных кластеров с селективным состоянием и полувнутренними тривозбужденными кластерами: поверхность потенциальной энергии молекулы HF". Journal of Chemical Physics . 103 (21): 9331. Bibcode :1995JChPh.103.9331G. doi :10.1063/1.469993.
13. Монкхорст, Хендрик Дж. (1987). «Химическая физика без приближения Борна-Оппенгеймера: метод молекулярных связанных кластеров». Physical Review A. 36 ( 4): 1544–1561. Bibcode : 1987PhRvA..36.1544M. doi : 10.1103/PhysRevA.36.1544. PMID  9899035.
14. Накаи, Хироми; Содеяма, Кейтаро (2003). «Многочастичные эффекты в неадиабатической молекулярной теории для одновременного определения ядерных и электронных волновых функций: методы Ab initio NOMO/MBPT и CC». Журнал химической физики . 118 (3): 1119. Bibcode : 2003JChPh.118.1119N. doi : 10.1063/1.1528951.
15. Палдус, Дж. (2005). «Начало теории связанных кластеров: рассказ очевидца». В Dykstra, C. (ред.). Теория и применение вычислительной химии: первые сорок лет . Elsivier BV стр. 115.
16. Палдус, Дж. (1981). Диаграммные методы для многофермионных систем (конспекты лекций под ред.). Университет Неймегена, Неймеген, Нидерланды.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
17. Bartlett, RJ; Dykstra, CE; Paldus, J. (1984). Dykstra, CE (ред.). Advanced Theories and Computational Approaches to the Electronic Structure of Molecules . стр. 127.
18. Накацудзи, Х.; Хирао, К. (1977). «Кластерное разложение волновой функции. Псевдоорбитальная теория, применяемая к спиновой корреляции». Chemical Physics Letters . 47 (3): 569. Bibcode : 1977CPL....47..569N. doi : 10.1016/0009-2614(77)85042-2.
19. Накацудзи, Х.; Хирао, К. (1978). «Кластерное разложение волновой функции. Симметрично-адаптированное кластерное разложение, его вариационное определение и расширение теории орбиталей с открытой оболочкой». Журнал химической физики . 68 (5): 2053. Bibcode : 1978JChPh..68.2053N. doi : 10.1063/1.436028.
20. Ohtsuka, Y.; Piecuch, P.; Gour, JR; Ehara, M.; Nakatsuji, H. (2007). "Методы взаимодействия кластерной конфигурации, адаптированной к симметрии активного пространства, и уравнения движения связанных кластеров для высокоточных расчетов поверхностей потенциальной энергии радикалов". Journal of Chemical Physics . 126 (16): 164111. Bibcode :2007JChPh.126p4111O. doi :10.1063/1.2723121. hdl : 2433/50108 . PMID  17477593.
21. Хаген, Г.; Папенброк, Т.; Хьорт-Йенсен, М.; Дин, ДЖ. (2014). «Вычисления связанных кластеров атомных ядер». Reports on Progress in Physics . 77 (9): 096302. arXiv : 1312.7872 . Bibcode : 2014RPPh...77i6302H. doi : 10.1088/0034-4885/77/9/096302. PMID  25222372. S2CID  10626343.