Сильная субаддитивность квантовой энтропии

В квантовой теории информации сильная субаддитивность квантовой энтропии ( SSA ) — это отношение между энтропиями фон Неймана различных квантовых подсистем более крупной квантовой системы, состоящей из трех подсистем (или одной квантовой системы с тремя степенями свободы). Это основная теорема в современной квантовой теории информации . Она была выдвинута DW Robinson и D. Ruelle ^[1] в 1966 году и OE Lanford III и DW Robinson ^[2] в 1968 году и доказана в 1973 году EH Lieb и MB Ruskai , ^[3] основываясь на результатах, полученных Lieb в его доказательстве гипотезы Вигнера-Янасе-Дайсона. ^[4]

Классическая версия SSA давно известна и ценится в классической теории вероятностей и теории информации. Доказательство этого соотношения в классическом случае довольно простое, но квантовый случай сложен из-за некоммутативности приведенных матриц плотности, описывающих квантовые подсистемы.

Вот некоторые полезные ссылки:

• «Квантовые вычисления и квантовая информация» ^[5]
• «Квантовая энтропия и ее использование» ^[6]
• Неравенства следов и квантовая энтропия: вводный курс ^[7]

Определения

В дальнейшем мы используем следующие обозначения: Гильбертово пространство обозначается как , а обозначает ограниченные линейные операторы на . Тензорные произведения обозначаются верхними индексами, например, . След обозначается как . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}}$

Матрица плотности

Матрица плотности — это эрмитова , положительно полуопределенная матрица следа один. Она позволяет описывать квантовую систему в смешанном состоянии . Матрицы плотности на тензорном произведении обозначаются верхними индексами, например, — это матрица плотности на . ${\displaystyle \rho ^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$

Энтропия

Квантовая энтропия фон Неймана матрицы плотности равна ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )}$.

Относительная энтропия

Квантовая относительная энтропия Умегаки ^[8] двух матриц плотности и есть ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )\geq 0}$.

Вогнутость сустава

Функция двух переменных называется совместно вогнутой, если для любой из них выполняется следующее: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\geq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$

Субаддитивность энтропии

Обычная субаддитивность ^[9] касается только двух пространств и матрицы плотности . Она утверждает, что ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})}$

Это неравенство, конечно, верно в классической теории вероятностей, но последняя также содержит теорему о том, что условные энтропии и обе неотрицательны. В квантовом случае, однако, обе могут быть отрицательными, например, может быть равна нулю, в то время как . Тем не менее, верхняя граница субаддитивности продолжает сохраняться. Самое близкое, что есть, это неравенство треугольника Араки–Либа ^[9] ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|}$

который выведен в ^[9] из субаддитивности с помощью математического метода, известного как очистка .

Сильная субаддитивность (SSA)

Предположим, что гильбертово пространство системы является тензорным произведением трех пространств: Физически эти три пространства можно интерпретировать как пространство трех различных систем, или же как три части или три степени свободы одной физической системы. ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.}$

Учитывая матрицу плотности на , мы определяем матрицу плотности на как частичный след : . Аналогично мы можем определить матрицы плотности: , , , , . ${\displaystyle \rho ^{123}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}}$ ${\displaystyle \rho ^{23}}$ ${\displaystyle \rho ^{13}}$ ${\displaystyle \rho ^{1}}$ ${\displaystyle \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \rho ^{3}}$

Заявление

Для любого трехстороннего государства справедливо следующее: ${\displaystyle \rho ^{123}}$

${\displaystyle S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})}$,

где , например. ${\displaystyle S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}}$

Эквивалентно, утверждение можно переформулировать в терминах условных энтропий, чтобы показать, что для трехчастного состояния , ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$

${\displaystyle S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)}$.

Это также можно перефразировать в терминах квантовой взаимной информации ,

${\displaystyle I(A:BC)\geq I(A:B)}$.

Эти утверждения параллельны классической интуиции, за исключением того, что квантовые условные энтропии могут быть отрицательными, а квантовая взаимная информация может превышать классическую границу предельной энтропии.

Сильное неравенство субаддитивности было улучшено следующим образом Карленом и Либом ^[10]

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}}$,

с оптимальной константой . ${\displaystyle 2}$

J. Kiefer ^{[11] [12]} доказал периферически связанный результат о выпуклости в 1959 году, который является следствием операторного неравенства Шварца, доказанного EHLieb и MBRuskai. ^[3] Однако эти результаты сравнительно просты, и доказательства не используют результаты статьи Либа 1973 года о выпуклых и вогнутых следовых функционалах. ^[4] Именно эта статья предоставила математическую основу доказательства SSA Либом и Рускаи. Расширение от настройки пространства Гильберта до настройки алгебры фон Неймана, где состояния не задаются матрицами плотности, было сделано Нарнхофером и Тиррингом. ^[13]

Теорему можно также получить, доказав множество эквивалентных утверждений, некоторые из которых обобщены ниже.

Гипотеза Вигнера–Янасе–Дайсона

Э. П. Вигнер и М. М. Янасе ^[14] предложили другое определение энтропии, которое было обобщено Фрименом Дайсоном .

Вигнер-Янасе-Дайсонп-искажение информации

Информация о перекосе Вигнера–Янасе–Дайсона ${\displaystyle p}$ матрицы плотности относительно оператора равна ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2}}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],}$

где — коммутатор, — сопряженный к и фиксирован. ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Вогнутостьп-искажение информации

^{В [15]} Э. П. Вигнер и М. М. Янасе предположили , что перекошенная информация является вогнутой как функция матрицы плотности для фиксированного . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Поскольку член вогнутый (он линеен), гипотеза сводится к проблеме вогнутости . Как отмечено в ^[4], эта гипотеза (для всех ) подразумевает SSA и была доказана для в ^[15] и для всех в ^[4] в следующем более общем виде: Функция двух матричных переменных ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}}$ ${\displaystyle Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

совместно вогнут в и , когда и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle p+r\leq 1}$

Эта теорема является неотъемлемой частью доказательства SSA в ^{[3] .}

В своей статье ^[15] Э. П. Вигнер и М. М. Янасе также выдвинули гипотезу о субаддитивности -перекошенной информации для , которая была опровергнута Хансеном ^[16], приведшим контрпример. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$

Первые два утверждения эквивалентны SSA

^{В [9]} было отмечено , что первое утверждение ниже эквивалентно SSA, а А. Ульманн в ^[17] показал эквивалентность второго утверждения ниже и SSA.

• ${\displaystyle S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.}$Обратите внимание, что условные энтропии и не обязательно должны быть обе неотрицательными. ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{23}|\rho ^{3})}$
• Карта выпуклая. ${\displaystyle \rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})}$

Оба эти утверждения были доказаны непосредственно в ^{[3] .}

Совместная выпуклость относительной энтропии

Как отметили Линдблад ^[18] и Ульманн, ^[19] если в уравнении ( 1 ) взять и и и дифференцировать по при , то получим совместную выпуклость относительной энтропии : т.е. если , и , то ${\displaystyle K=1}$ ${\displaystyle r=1-p,A=\rho }$ ${\displaystyle B=\sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}$

где с . ${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}\lambda _{k}=1}$

Монотонность квантовой относительной энтропии

Относительная энтропия монотонно уменьшается при операциях сохранения полностью положительного следа (CPTP) над матрицами плотности, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )}$.

Это неравенство называется Монотонностью квантовой относительной энтропии. Благодаря теореме о факторизации Стайнспринга , это неравенство является следствием определенного выбора отображения CPTP - частичного отображения следа, описанного ниже.

Наиболее важным и базовым классом карт CPTP является операция частичной трассировки , заданная как . Тогда ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}$

что называется монотонностью квантовой относительной энтропии при частичном следе .

Чтобы увидеть, как это следует из совместной выпуклости относительной энтропии, заметим, что в представлении Ульмана это можно записать как ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),}$

для некоторого конечного и некоторого набора унитарных матриц на (альтернативно, интегрировать по мере Хаара ). Поскольку след (и, следовательно, относительная энтропия) унитарно инвариантен, неравенство ( 3 ) теперь следует из ( 2 ). Эта теорема принадлежит Линдбладу ^[18] и Ульманну ^[17] , доказательство которых приведено здесь. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$

SSA получается из ( 3 ) с заменой на и заменой . Возьмем . Тогда ( 3 ) становится ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{3}}$ ${\displaystyle \rho =\rho ^{123},}$ ${\displaystyle \sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).}$

Поэтому,

${\displaystyle S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}$

что является SSA. Таким образом, монотонность квантовой относительной энтропии (которая следует из ( 1 ) подразумевает SSA.

Взаимосвязь между неравенствами

Все вышеперечисленные важные неравенства эквивалентны друг другу и могут быть доказаны непосредственно. Следующие неравенства эквивалентны:

• Монотонность квантовой относительной энтропии (МОНО);
• Монотонность квантовой относительной энтропии при частичном следе (MPT);
• Сильная субаддитивность (SSA);
• Совместная выпуклость квантовой относительной энтропии (JC);

Следующие импликации показывают эквивалентность этих неравенств.

• MONO MPT: следует, поскольку MPT является частным случаем MONO; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT MONO: был продемонстрирован Линдбладом ^[20] с использованием представления стохастических отображений в виде частичного следа по вспомогательной системе; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT SSA: следует из конкретного выбора трехчастичных состояний в MPT, описанного в разделе выше «Монотонность квантовой относительной энтропии»; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• SSA MPT: выбрав блочно-диагональный вариант, можно показать, что SSA подразумевает, что карта ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{123}}$

${\displaystyle \rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})}$является выпуклым. В ^[3] было отмечено, что эта выпуклость дает MPT;

• MPT JC: как было упомянуто выше, выбрав (и аналогично, ) в качестве блочно-диагональной матрицы с блоками (и ), частичный след представляет собой сумму по блокам, так что , поэтому из MPT можно получить JC; ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{12}}$ ${\displaystyle \sigma _{12}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle \rho :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$
• JC SSA: используя «процесс очистки», Араки и Либ ^{[9] [21]} заметили, что можно получить новые полезные неравенства из известных. Очищая их , можно показать, что SSA эквивалентно ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{123}}$ ${\displaystyle \rho _{1234}}$

${\displaystyle S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).}$

Более того, если является чистым, то и , так что равенство выполняется в приведенном выше неравенстве. Поскольку крайние точки выпуклого множества матриц плотности являются чистыми состояниями, SSA следует из JC; ${\displaystyle \rho _{124}}$ ${\displaystyle S(\rho _{2})=S(\rho _{14})}$ ${\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})}$

См. обсуждение в ^{[21] [22] .}

Дело о равенстве

Равенство в монотонности квантового относительного неравенства энтропии

В ^{[23] [24]} Д. Петц показал, что единственный случай равенства в отношении монотонности — это наличие надлежащего канала «восстановления»:

Для всех состояний и в гильбертовом пространстве и всех квантовых операторов , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

тогда и только тогда, когда существует квантовый оператор такой, что ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}T\sigma =\sigma ,}$ и ${\displaystyle {\hat {T}}T\rho =\rho .}$

Более того, может быть задано явно по формуле ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}\omega =\sigma ^{1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{1/2},}$

где — сопряженное отображение . ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

Д. Петц также привел еще одно условие ^[23] , когда равенство выполняется в Монотонность квантовой относительной энтропии: первое утверждение ниже. Дифференцируя его по , получаем второе условие. Более того, М. Б. Рускай дал еще одно доказательство второго утверждения. ${\displaystyle t=0}$

Для всех состояний и на и всех квантовых операторов , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:

• ${\displaystyle T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it})=\rho ^{it}\sigma ^{-it}}$для всех реальных . ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.}$

где — сопряженное отображение . ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

Равенство в сильном неравенстве субаддитивности

П. Хейден , Р. Йожа, Д. Петц и А. Винтер описали состояния, для которых равенство выполняется в SSA. ^[25]

Состояние в гильбертовом пространстве удовлетворяет сильной субаддитивности с равенством тогда и только тогда, когда существует разложение второй системы как ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}}$

в прямую сумму тензорных произведений, такую, что

${\displaystyle \rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^{L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},}$

с состояниями снова и снова и с распределением вероятностей . ${\displaystyle \rho ^{AB_{j}^{L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}}$ ${\displaystyle \rho ^{B_{j}^{R}C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$ ${\displaystyle \{q_{j}\}}$

Расширение Карлена-Либа

EH Lieb и EA Carlen нашли явный член ошибки в неравенстве SSA ^[10] , а именно,

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}$

Если и , как это всегда бывает для классической энтропии Шеннона, это неравенство ничего не говорит. Для квантовой энтропии, с другой стороны, вполне возможно, что условные энтропии удовлетворяют или (но никогда обоим!). Тогда, в этом "высококвантовом" режиме, это неравенство дает дополнительную информацию. ${\displaystyle S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0}$ ${\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0}$ ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0}$ ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0}$

Константа 2 является оптимальной в том смысле, что для любой константы, большей 2, можно найти состояние, для которого неравенство нарушается с этой константой.

Операторное расширение сильной субаддитивности

В своей работе ^[26] И. Ким исследовал операторное расширение сильной субаддитивности, доказав следующее неравенство:

Для трехчастного состояния (матрицы плотности) на , ${\displaystyle \rho ^{123}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}$

${\displaystyle Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.}$

Доказательство этого неравенства основано на теореме Эффроса ^[27] , для которой выбираются конкретные функции и операторы для вывода неравенства выше. М. Б. Рускай подробно описывает эту работу в ^[28] и обсуждает, как доказать большой класс новых матричных неравенств в трех- и двухчастных случаях, взяв частичный след по всем пространствам, кроме одного.

Расширения сильной субаддитивности в терминах восстанавливаемости

Значительное усиление сильной субаддитивности было доказано в 2014 году ^[29], которое впоследствии было улучшено в ^[30] и. ^[31] В 2017 году ^[32] было показано, что канал восстановления можно принять за исходную карту восстановления Петца. Эти улучшения сильной субаддитивности имеют физическую интерпретацию в терминах восстанавливаемости, что означает, что если условная взаимная информация трехчастного квантового состояния почти равна нулю, то можно выполнить канал восстановления (из системы E в AE) такой, что . Таким образом, эти результаты обобщают точные условия равенства, упомянутые выше. ${\displaystyle I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)}$ ${\displaystyle \rho _{ABE}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{E\to AE}}$ ${\displaystyle \rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})}$

Смотрите также

• Энтропия фон Неймана
• Условная квантовая энтропия
• Квантовая взаимная информация
• Расхождение Кульбака–Лейблера

Ссылки

1. Робинсон, Дерек В.; Рюэль, Дэвид (1967). «Средняя энтропия состояний в классической статистической механике». Communications in Mathematical Physics . 5 (4). Springer Science and Business Media LLC: 288–300. Bibcode : 1967CMaPh...5..288R. doi : 10.1007/bf01646480. ISSN  0010-3616. S2CID  115134613.
2. Ланфорд, Оскар Э.; Робинсон, Дерек В. (1968). «Средняя энтропия состояний в квантовой статистической механике». Журнал математической физики . 9 (7). AIP Publishing: 1120–1125. Bibcode : 1968JMP.....9.1120L. doi : 10.1063/1.1664685. ISSN  0022-2488.
3. Либ, Эллиотт Х. ; Рускай, Мэри Бет (1973). «Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии» (PDF) . Журнал математической физики . 14 (12). Издательство AIP: 1938–1941. Bibcode :1973JMP....14.1938L. doi :10.1063/1.1666274. ISSN  0022-2488.
4. Либ, Эллиотт Х (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Успехи в математике . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X . ISSN  0001-8708.
5. М. Нильсен, И. Чжуан, Квантовые вычисления и квантовая информация, Издательство Кембрийского университета, (2000)
6. М. Ойя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer (1993)
7. Э. Карлен, Неравенства следов и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Math. 529 (2009).
8. Умегаки, Хисахару (1962). «Условное ожидание в операторной алгебре. IV. Энтропия и информация». Отчеты математического семинара Кодаи . 14 (2). Токийский технологический институт, математический факультет: 59–85. doi : 10.2996/kmj/1138844604 . ISSN  0023-2599.
9. Араки, Хузихиро; Либ, Эллиотт Х. (1970). «Энтропийные неравенства». Сообщения по математической физике . 18 (2): 160–170. Bibcode :1970CMaPh..18..160A. doi :10.1007/BF01646092. ISSN  0010-3616. S2CID  189832417.
10. Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. (2012). «Границы запутанности посредством расширения сильной субаддитивности энтропии». Letters in Mathematical Physics . 101 (1): 1–11. arXiv : 1203.4719 . Bibcode :2012LMaPh.101....1C. doi :10.1007/s11005-012-0565-6. S2CID  119317605.
11. Кифер, Дж. (июль 1959 г.). «Оптимальные экспериментальные планы». Журнал Королевского статистического общества, серия B (методологическая) . 21 (2): 272–310. doi :10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x.
12. Ruskai, Mary Beth. "Evolution of a Fundemental [sic] Theorem on Quantum Entropy". youtube.com . World Scientific . Получено 20 августа 2020 г. Приглашенный доклад на конференции в честь 90-летия Фримена Дайсона, Институт перспективных исследований, Наньянский технологический университет, Сингапур, 26–29 августа 2013 г. Заметка о Кифере (1959) находится на отметке 26:40.
13. Нарнхофер, Х. (1985). «От относительной энтропии к энтропии». Физика . 17 : 258–262.
14. Вигнер, Э. П.; Янасэ, М. М. (1 мая 1963 г.). «Информационное содержание распределений». Труды Национальной академии наук . 49 (6): 910–918. Bibcode : 1963PNAS...49..910W. doi : 10.1073/pnas.49.6.910 . ISSN  0027-8424. PMC 300031. PMID 16591109  . 
15. Вигнер, Юджин П.; Янасэ, Муцуо М. (1964). «О положительной полуопределенной природе определенного матричного выражения». Канадский математический журнал . 16. Канадское математическое общество: 397–406. doi :10.4153/cjm-1964-041-x. ISSN  0008-414X.
16. Хансен, Франк (18 января 2007 г.). «Энтропия Вигнера-Янасе не является субаддитивной». Журнал статистической физики . 126 (3). Springer Nature: 643–648. arXiv : math-ph/0609019 . Bibcode : 2007JSP...126..643H. doi : 10.1007/s10955-006-9265-x. ISSN  0022-4715. S2CID  119667187.
17. А. Ульманн, Endlich Dimensionale Dichtmatrizen, II, Wiss. З. Карл-Маркс-Лейпцигский университет 22 Jg. Х. 2., 139 (1973).
18. Lindblad, Göran (1974). "Ожидания и неравенства энтропии для конечных квантовых систем". Communications in Mathematical Physics . 39 (2): 111–119. Bibcode :1974CMaPh..39..111L. doi :10.1007/BF01608390. ISSN  0010-3616. S2CID  120760667.
19. Uhlmann, A. (1977). «Относительная энтропия и вогнутость Вигнера-Янасе-Дайсона-Либа в теории интерполяции». Communications in Mathematical Physics . 54 (1): 21–32. Bibcode :1977CMaPh..54...21U. doi :10.1007/BF01609834. ISSN  0010-3616. S2CID  15800519.
20. Линдблад, Гёран (1975). «Полностью положительные отображения и неравенства энтропии». Сообщения по математической физике . 40 (2). Springer Science and Business Media LLC: 147–151. Bibcode :1975CMaPh..40..147L. doi :10.1007/bf01609396. ISSN  0010-3616. S2CID  121650206.
21. Lieb, EH (1975). «Некоторые свойства выпуклости и субаддитивности энтропии». Bull. Am. Math. Soc . 81 : 1–13. doi : 10.1090/s0002-9904-1975-13621-4 .
22. Ruskai, Mary Beth (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики . 43 (9). AIP Publishing: 4358–4375. arXiv : quant-ph/0205064 . Bibcode :2002JMP....43.4358R. doi :10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488. S2CID  3051292.исправление 46, 019901 (2005)
23. Petz, Dénes (1986). «Достаточные подалгебры и относительная энтропия состояний алгебры фон Неймана». Communications in Mathematical Physics . 105 (1). Springer Science and Business Media LLC: 123–131. Bibcode : 1986CMaPh.105..123P. doi : 10.1007/bf01212345. ISSN  0010-3616. S2CID  18836173.
24. Д. Петц, Достаточность каналов над алгебрами фон Неймана, Quart. J. Math. Oxford 35, 475–483 (1986).
25. P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz, A. Winter , Структура состояний, удовлетворяющих сильной субаддитивности квантовой энтропии с равенством, Comm. Math. Phys. 246, 359–374 (2003).
26. И. Ким, Операторное расширение сильной субаддитивности энтропии, arXiv :1210.5190 (2012).
27. Эффрос, Э.Г. (2009). «Подход с использованием матричной выпуклости к некоторым знаменитым квантовым неравенствам». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 106 (4): 1006–1008. arXiv : 0802.1234 . Bibcode : 2009PNAS..106.1006E. doi : 10.1073/pnas.0807965106 . PMC 2633548. PMID  19164582 . 
28. МБ Рускай, Замечания о сильном неравенстве субаддитивности матрицы Кима: расширения и условия равенства, arXiv :1211.0049 (2012).
29. О. Фаузи, Р. Реннер. Квантовая условная взаимная информация и приближенные цепи Маркова. Сообщения по математической физике: 340, 2 (2015)
30. MM Wilde. Восстанавливаемость в квантовой теории информации. Труды Королевского общества A, т. 471, № 2182, стр. 20150338 Октябрь 2015 г.
31. Мариус Юнге, Ренато Реннер, Дэвид Саттер, Марк М. Уайлд, Андреас Винтер. Универсальные карты восстановления и приближенная достаточность квантовой относительной энтропии. Annales Henri Poincare, т. 19, № 10, страницы 2955--2978, октябрь 2018 г. arXiv :1509.07127
32. Карлен, Эрик А.; Вершинина, Анна (2017-10-06). "Устойчивость карты восстановления для неравенства обработки данных". arXiv : 1710.02409 [math.OA].