продукт Коши

Понятие в математике

В математике , а точнее в математическом анализе , произведение Коши — это дискретная свёртка двух бесконечных рядов . Оно названо в честь французского математика Огюстена-Луи Коши .

Определения

Произведение Коши может применяться к бесконечным рядам ^{[1] [2] [3 ] [4] [5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ чрезмерное цитирование ]} или степенным рядам. ^{[12] [13]} Когда люди применяют его к конечным последовательностям ^[14] или конечным рядам, это можно рассматривать просто как частный случай произведения рядов с конечным числом ненулевых коэффициентов (см. дискретную свертку ).

Вопросы конвергенции обсуждаются в следующем разделе.

Произведение Коши двух бесконечных рядов

Пусть и — два бесконечных ряда с комплексными членами. Произведение Коши этих двух бесконечных рядов определяется дискретной сверткой следующим образом: ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}$     где     . ${\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}$

Произведение Коши двух степенных рядов

Рассмотрим следующие два степенных ряда

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$     и     ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}}$

с комплексными коэффициентами и . Произведение Коши этих двух степенных рядов определяется дискретной сверткой следующим образом: ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ ${\displaystyle \{b_{j}\}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}}$     где     . ${\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}$

Сходимость и теорема Мертенса

Пусть ( a _n ) _{n ≥0} и ( b _n ) _{n ≥0} — действительные или комплексные последовательности. Франц Мертенс доказал , что если ряд сходится к A и сходится к B , и хотя бы один из них сходится абсолютно , то их произведение Коши сходится к AB . ^[15] Теорема по-прежнему верна в банаховой алгебре (см. первую строку следующего доказательства). ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

Недостаточно, чтобы оба ряда сходились; если обе последовательности условно сходятся , произведение Коши не обязательно сходится к произведению двух рядов, как показывает следующий пример:

Пример

Рассмотрим два чередующихся ряда с

$${\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,}$$

которые сходятся только условно (расхождение ряда абсолютных значений следует из прямого сравнения и расхождения гармонического ряда ). Члены их произведения Коши задаются как

$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}$$

для каждого целого числа n ≥ 0. Поскольку для каждого k ∈ {0, 1, ..., n } выполняются неравенства k + 1 ≤ n + 1 и n – k + 1 ≤ n + 1 , то для квадратного корня в знаменателе следует, что √ ( k + 1)( n − k + 1) ≤ n +1 , следовательно, поскольку имеется n + 1 слагаемых,

$${\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1}$$

для любого целого числа n ≥ 0. Следовательно, c _n не сходится к нулю при n → ∞ , следовательно, ряд ( c _n ) _{n ≥0} расходится на член test .

Доказательство теоремы Мертенса

Для простоты мы докажем это для комплексных чисел. Однако доказательство, которое мы собираемся дать, формально идентично для произвольной банаховой алгебры (даже не требуется коммутативности или ассоциативности).

Предположим без потери общности , что ряд сходится абсолютно. Определим частичные суммы ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{and}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}}$$

с

$${\displaystyle c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\,.}$$

Затем

$${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}}$$

перестановкой, следовательно

Зафиксируем ε > 0. Так как по абсолютной сходимости и поскольку B _n сходится к B при n → ∞ , существует целое число N такое, что для всех целых чисел n ≥ N ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|<\infty }$

(это единственное место, где используется абсолютная сходимость). Поскольку ряд ( a _n ) _{n ≥0} сходится, отдельный a _n должен сходиться к 0 по условию test . Следовательно, существует целое число M такое, что для всех целых чисел n ≥ M ,

Кроме того, поскольку A _n сходится к A при n → ∞ , существует целое число L такое, что для всех целых чисел n ≥ L

Затем для всех целых чисел n ≥ max{ L , M + N } используйте представление ( 1 ) для C _n , разделите сумму на две части, используйте неравенство треугольника для абсолютного значения и, наконец, используйте три оценки ( 2 ), ( 3 ) и ( 4 ), чтобы показать, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+(A_{n}-A)B{\biggr |}\\&\leq \sum _{i=0}^{N-1}\underbrace {|a_{\underbrace {\scriptstyle n-i} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (3)}}}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{n-i}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (2)}}}+{}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (4)}}}\leq \varepsilon \,.\end{aligned}}}$$

По определению сходимости ряда , C _n → AB , что и требуется.

Теорема Чезаро

В случаях, когда две последовательности сходятся, но не абсолютно, произведение Коши по-прежнему суммируемо по Чезаро . ^[16] А именно:

Если , являются действительными последовательностями с и тогда ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle \sum a_{n}\to A}$ ${\textstyle \sum b_{n}\to B}$

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\right)\to AB.}$$

Это можно обобщить на случай, когда две последовательности не сходятся, а просто суммируются по Чезаро:

Теорема

Для и предположим, что последовательность суммируема с суммой A и суммируема с суммой B. Тогда их произведение Коши суммируемо с суммой AB . ${\textstyle r>-1}$ ${\textstyle s>-1}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (C,\;r)}$ ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (C,\;s)}$ ${\textstyle (C,\;r+s+1)}$

Примеры

• Для некоторых пусть и . Тогда по определению и формуле бинома . Поскольку формально , ​​и , мы показали, что . Поскольку предел произведения Коши двух абсолютно сходящихся рядов равен произведению пределов этих рядов, мы доказали формулу для всех . ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle a_{n}=x^{n}/n!}$ ${\textstyle b_{n}=y^{n}/n!}$ $${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}}$$ ${\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}}$ ${\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}}$ ${\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}}$ ${\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$
• В качестве второго примера пусть для всех . Тогда для всех так что произведение Коши не сходится. ${\textstyle a_{n}=b_{n}=1}$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle c_{n}=n+1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}$$

Обобщения

Все вышесказанное применимо к последовательностям в ( комплексных числах ). Произведение Коши можно определить для рядов в пространствах ( евклидовых пространствах ), где умножение является скалярным произведением . В этом случае мы получаем результат, что если два ряда сходятся абсолютно, то их произведение Коши абсолютно сходится к скалярному произведению пределов. ${\textstyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

Произведения конечного числа бесконечных рядов

Пусть такой, что (на самом деле следующее также верно для , но в этом случае утверждение становится тривиальным) и пусть будут бесконечными рядами с комплексными коэффициентами, из которых все, кроме th, сходятся абсолютно, а th сходится. Тогда предел существует и мы имеем: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}}$$ $${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)=\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}}$$

Доказательство

Потому что утверждение может быть доказано индукцией по : Случай для идентичен утверждению о произведении Коши. Это наша база индукции. $${\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} :\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}=\sum _{k_{1}=0}^{N}\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

Шаг индукции выглядит следующим образом: Пусть утверждение верно для такого , что , и пусть — бесконечный ряд с комплексными коэффициентами, из которого все, кроме th, сходятся абсолютно, а -th сходится. Сначала применим гипотезу индукции к ряду . Получаем, что ряд сходится, и, следовательно, по неравенству треугольника и критерию сэндвича ряд сходится, и, следовательно, ряд сходится абсолютно. Следовательно, по гипотезе индукции, по тому, что доказал Мертенс, и переименовывая переменные, имеем: Следовательно, формула верна и для . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|}$ $${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}|}$$ $${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|}$$ $${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)&=\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}\right)\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:b_{k_{n+1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{4}=0}^{k_{3}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{2}}} ^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{k_{1}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }b_{k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{k_{2}}b_{k_{1}-k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\left(\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\right)\left(\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\\&=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1,k_{1}-k_{2}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$

Отношение к свертке функций

Конечную последовательность можно рассматривать как бесконечную последовательность с конечным числом ненулевых членов или, другими словами, как функцию с конечным носителем. Для любых комплекснозначных функций f , g на с конечным носителем можно взять их свертку : Тогда это то же самое, что и произведение Коши и . ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j).}$$ ${\textstyle \sum (f*g)(n)}$ ${\textstyle \sum f(n)}$ ${\textstyle \sum g(n)}$

В более общем случае, если задан моноид S , можно сформировать полугрупповую алгебру S , умножение которой задается сверткой. Если взять, например, , то умножение на является обобщением произведения Коши на более высокую размерность. ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$

Примечания

1. Canuto & Tabacco 2015, с. 20.
2. Блох 2011, стр. 463.
3. Фридман и Кандел 2011, стр. 204.
4. Горпаде и Лимайе 2006, стр. 416.
5. Хиджаб 2011, стр. 43.
6. Монтесинос, Зизлер и Зизлер 2015, с. 98.
7. Обергуггенбергер и Остерманн 2011, стр. 322.
8. Педерсен 2015, стр. 210.
9. Поннусами 2012, стр. 200.
10. Пью 2015, стр. 210.
11. Сохраб 2014, стр. 73.
12. Canuto & Tabacco 2015, с. 53.
13. Mathonline, Произведение Коши степенных рядов.
14. Вайсштейн, Произведение Коши.
15. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill. стр. 74.
16. Харди, Годфри Х. (2000). Дивергентная серия (2-е, (текстуально неизмененное) изд., переизд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-2649-2.

Ссылки

• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Эддисон Уэсли, стр. 204, ISBN 978-0-201-00288-1.

• Блох, Итан Д. (2011), Действительные числа и действительный анализ, Springer , ISBN 9780387721767.

• Кануто, Клаудио; Табакко, Анита (2015), Математический анализ II (2-е изд.), Springer.

• Фридман, Менахем; Кандель, Абрахам (2011), Calculus Light, Springer , ISBN 9783642178481.

• Горпаде, Судхир Р.; Лимайе, Балмохан В. (2006), Курс исчисления и действительного анализа , Springer.

• Харди, ГХ (1949), Дивергентная серия , Oxford University Press , стр. 227–229.

• Хиджаб, Омар (2011), Введение в исчисление и классический анализ (3-е изд.), Springer.

• Монтесинос, Висенте; Зизлер, Питер; Зизлер, Вацлав (2015), Введение в современный анализ , Springer.

• Обергуггенбергер, Михаэль; Остерманн, Александр (2011), Анализ для компьютерных специалистов , Springer.

• Педерсен, Стен (2015), От исчисления к анализу , Springer , doi :10.1007/978-3-319-13641-7, ISBN 978-3-319-13640-0.

• Поннусами, С. (2012), Основы математического анализа, Birkhäuser , ISBN 9780817682927.

• Пью, Чарльз С. (2015), Реальный математический анализ (2-е изд.), Springer.

• Сохраб, Хушанг Х. (2014), Базовый реальный анализ (2-е изд.), Birkhäuser.

Внешние ссылки

• Mathonline. «Произведение Коши степенных рядов»..
• Weisstein, Eric W., «Продукт Коши», из MathWorld – веб-ресурс Wolfram.