Принцип Кавальери

Геометрическая концепция

Этот файл представляет принцип Кавальери в действии: если у вас есть одинаковый набор поперечных сечений, которые отличаются только горизонтальным сдвигом, вы получите тот же объем.

В геометрии принцип Кавальери , современная реализация метода неделимых , названного в честь Бонавентуры Кавальери , заключается в следующем: ^[1]

• Двумерный случай: предположим, что две области плоскости заключены между двумя параллельными линиями в этой плоскости. Если каждая линия, параллельная этим двум линиям, пересекает обе области отрезками одинаковой длины, то эти две области имеют равные площади.
• Трехмерный случай: предположим, что две области трехмерного пространства (тела) заключены между двумя параллельными плоскостями. Если каждая плоскость, параллельная этим двум плоскостям, пересекает обе области в сечениях одинаковой площади, то обе области имеют равные объемы.

Сегодня принцип Кавальери рассматривается как ранний шаг на пути к интегральному исчислению , и хотя он используется в некоторых формах, таких как его обобщение в теореме Фубини и представлении слоеного пирога , результаты с использованием принципа Кавальери часто можно показать более непосредственно посредством интегрирования. С другой стороны, принцип Кавальери вырос из древнегреческого метода истощения , который использовал пределы, но не использовал бесконечно малые величины .

История

Бонавентура Кавальери , математик, в честь которого назван принцип.

Принцип Кавальери первоначально назывался методом неделимых, под этим названием он был известен в Европе эпохи Возрождения . ^[2] Кавальери разработал полную теорию неделимых, изложенную в его «Geometria indivisibilibus continuorum nova quadamratione promota» ( «Геометрия, продвинутая по-новому посредством неделимых континуумов» , 1635 г.) и в своих «Exercitationes геометрических упражнениях пола » ( «Шесть геометрических упражнений» , 1647 г.). . ^[3] Хотя работа Кавальери установила этот принцип, в своих публикациях он отрицал, что континуум состоит из неделимых, пытаясь избежать связанных с этим парадоксов и религиозных противоречий, и не использовал его для поиска ранее неизвестных результатов. ^[4]

В III веке до нашей эры Архимед , используя метод, напоминающий принцип Кавальери, ^[5] смог найти объём сферы по объёмам конуса и цилиндра в своей работе «Метод механических теорем» . В V веке нашей эры Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи разработали аналогичный метод определения объема сферы. ^[2] Однако ни один из подходов не был известен в Европе раннего Нового времени.

Переход от неделимых чисел Кавальери к бесконечно малым числам Евангелисты Торричелли и Джона Уоллиса стал крупным достижением в истории исчисления . Неделимыми были сущности коразмерности 1, так что плоская фигура считалась состоящей из бесконечного числа одномерных линий. Между тем бесконечно малые были сущностями того же измерения, что и фигура, которую они составляют; таким образом, плоская фигура будет состоять из «параллелограммов» бесконечно малой ширины. Применяя формулу суммы арифметической прогрессии, Уоллис вычислил площадь треугольника, разбив его на бесконечно малые параллелограммы шириной 1/∞.

2-мерный

циклоиды

Горизонтальное сечение области, ограниченной двумя циклоидальными дугами, очерченное точкой на той же окружности, катящейся в одном случае по часовой стрелке по линии под ней, а в другом против часовой стрелки по линии над ней, имеет ту же длину, что и соответствующая горизонтальное сечение круга.

Н. Рид показал ^[6] , как найти площадь, ограниченную циклоидой, используя принцип Кавальери. Окружность радиуса r может катиться по часовой стрелке по линии под ней или против часовой стрелки по линии над ней. Таким образом, точка на окружности очерчивает две циклоиды. Когда круг прошел определенное расстояние, угол, на который он повернулся бы по часовой стрелке, и угол, на который он повернулся бы против часовой стрелки, стали одинаковыми. Таким образом, две точки, описывающие циклоиды, находятся на одинаковой высоте. Таким образом, линия, проходящая через них, горизонтальна (т.е. параллельна двум линиям, по которым катится круг). Следовательно, каждое горизонтальное сечение круга имеет ту же длину, что и соответствующее горизонтальное сечение области, ограниченной двумя дугами циклоид. Следовательно, согласно принципу Кавальери, круг имеет ту же площадь, что и эта область.

Рассмотрим прямоугольник, ограничивающий одну циклоидную арку. Согласно определению циклоиды, она имеет ширину 2π r и высоту 2 r , поэтому ее площадь в четыре раза больше площади круга. Вычислите площадь внутри этого прямоугольника, которая находится над аркой циклоиды, разделив прямоугольник пополам в средней точке, где арка соединяется с прямоугольником, поверните одну часть на 180 ° и наложите на нее другую половину прямоугольника. Новый прямоугольник, площадь которого в два раза превышает площадь круга, состоит из области «линзы» между двумя циклоидами, площадь которых, как было рассчитано выше, равна площади круга, и двух областей, образующих область над дугой циклоиды. в исходном прямоугольнике. Таким образом, площадь, ограниченная прямоугольником над единственной полной дугой циклоиды, имеет площадь, равную площади круга, и, следовательно, площадь, ограниченная аркой, в три раза больше площади круга.

3-мерный

Конусы и пирамиды

Тот факт, что объем любой пирамиды , независимо от формы основания, включая конусы (круглое основание), равен (1/3)×основание×высота, можно установить по принципу Кавальери, если знать только, что он верен в один случай. Первоначально это можно установить в единственном случае, разбив внутренность треугольной призмы на три пирамидальные компоненты равных объемов. Равенство этих трех томов можно показать с помощью принципа Кавальери.

Фактически, принцип Кавальери или аналогичный аргумент бесконечно малых необходим для вычисления объема конусов и даже пирамид, что, по сути, является содержанием третьей проблемы Гильберта - многогранные пирамиды и конусы нельзя разрезать и переставлять в стандартную форму, а вместо этого их необходимо сравнивать. бесконечными (бесконечно малыми) способами. Древние греки использовали различные методы-предшественники, такие как механические аргументы Архимеда или метод исчерпывания, для вычисления этих объемов.

Параболоиды

Площадь дискообразного сечения перевернутого параболоида равна кольцеобразной площади поперечного сечения цилиндрической части вне вписанного параболоида.

Рассмотрим цилиндр радиуса и высоты , описывающий параболоид , вершина которого находится в центре нижнего основания цилиндра, а основанием является верхнее основание цилиндра. Также рассмотрим параболоид равных размеров, но с перевернутыми вершиной и основанием. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$
${\displaystyle y=h-h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$

Для каждой высоты площадь дискообразного сечения перевернутого параболоида равна кольцеобразной площади поперечного сечения цилиндрической части вне вписанного параболоида. ${\displaystyle 0\leq y\leq h}$ ${\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}$ ${\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}$

Следовательно, объем перевернутого параболоида равен объему цилиндрической части вне вписанного параболоида. Другими словами, объем параболоида равен половине объема окружающего его цилиндра. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$

Сферы

Площадь поперечного сечения сферы в форме диска равна площади сечения цилиндрической части, лежащей вне конуса, в форме кольца.

Если известно, что объем конуса равен , то можно использовать принцип Кавальери, чтобы вывести тот факт, что объем сферы равен , где – радиус. ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

Это делается следующим образом: рассмотрим сферу радиуса и цилиндр радиуса и высоты . Внутри цилиндра находится конус, вершина которого находится в центре одного основания цилиндра, а основанием является другое основание цилиндра. По теореме Пифагора плоскость, расположенная на единицу выше «экватора», пересекает сферу по кругу радиуса и площади . Площадь пересечения плоскости с частью цилиндра, находящейся вне конуса, также равна . Как видно, площадь круга, определяемого пересечением со сферой горизонтальной плоскости, расположенной на любой высоте, равна площади пересечения этой плоскости с частью цилиндра, находящейся «вне» конуса; таким образом, применяя принцип Кавальери, можно было бы сказать, что объем полусферы равен объему той части цилиндра, которая находится «вне» конуса. Вышеупомянутый объем конуса равен объему цилиндра, поэтому объем снаружи конуса является объемом цилиндра. Следовательно, объем верхней половины сферы равен объему цилиндра. Объем цилиндра составляет ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$ ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\text{base}}\times {\text{height}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

(«База» — в единицах площади ; «высота» — в единицах расстояния . Площадь × расстояние = объём .)

Следовательно, объем верхней полусферы равен , а объем всей сферы равен . ${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

Проблема с кольцами для салфеток

Если отверстие высотой просверлить прямо через центр сферы, объем оставшейся полосы не будет зависеть от размера сферы. Для сферы большего размера полоса будет тоньше, но длиннее. ${\displaystyle h}$

В так называемой задаче о кольце для салфеток с помощью принципа Кавальери показано, что, когда отверстие просверлено прямо через центр сферы, где оставшаяся полоса имеет высоту , объем оставшегося материала удивительно не зависит от размера сферы. . Сечение оставшегося кольца представляет собой плоское кольцо, площадь которого равна разности площадей двух окружностей. По теореме Пифагора площадь одного из двух кругов равна , где - радиус сферы и - расстояние от плоскости экватора до плоскости сечения, а площадь другого - . Когда они вычитаются, аннулируется ; отсюда и отсутствие зависимости итогового ответа от . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi \times (r^{2}-y^{2})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Смотрите также

• Теорема Фубини (принцип Кавальери является частным случаем теоремы Фубини)

Рекомендации

1. Ивс, Ховард (1991). «Две удивительные теоремы о сравнении Кавальери». Математический журнал колледжа . 22 (2): 118–124. дои : 10.1080/07468342.1991.11973367.
2. Зилл, Деннис Г.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2011). Исчисление: ранние трансценденталисты (4-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение . п. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7.
3. Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: Введение (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 477. ИСБН 9780321016188.
4. Александр, Амир (2015). Бесконечно малая: как опасная математическая теория сформировала современный мир . Великобритания: Oneworld. стр. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.
5. «Утерянный метод Архимеда». Британская энциклопедия .
6. Рид, Н. (декабрь 1986 г.). «70.40 Элементарное доказательство площади под циклоидой». Математический вестник . 70 (454): 290–291. дои : 10.2307/3616189. JSTOR  i285660.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Кавальери». Математический мир .
• (на немецком языке) Принцип фон Кавальери
• Кавальери Интеграция