постоянная Чамперноуна

Трансцендентное число(а) со всеми положительными целыми числами в порядке

В математике константа Чамперноуна C 10 _— это трансцендентная вещественная константа , десятичное разложение которой имеет важные свойства. Она названа в честь экономиста и математика Д. Г. Чамперноуна , который опубликовал ее, будучи студентом, в 1933 году. ^[1] Число определяется путем конкатенации представлений положительных целых чисел в десятичной системе счисления:

C ₁₀ = 0,12345678910111213141516...  (последовательность A033307 в OEIS ).

Константы Чамперноуна могут быть построены и в других базисах аналогичным образом, например,

С ₂ = 0,11011100101110111...  ₂

и

С ₃ = 0,12101112202122...  ₃ .

Слово Шамперноуна или слово Барбье — это последовательность цифр числа C _10, полученная путем его записи в десятичной системе счисления и сопоставления цифр: ^{[2] [3]}

12345678910111213141516...  (последовательность A007376 в OEIS )

В более общем смысле, последовательность Чамперноуна (иногда также называемая словом Чамперноуна ) — это любая последовательность цифр, полученная путем конкатенации всех конечных строк цифр (в любой заданной базе) в некотором рекурсивном порядке. ^[4] Например, двоичная последовательность Чамперноуна в порядке shortlex имеет вид

0 1 00 01 10 11 000 001 ... (последовательность A076478 в OEIS )

где пробелы (в противном случае их следует игнорировать) были вставлены только для того, чтобы показать, что строки объединяются.

Характеристики

Действительное число x называется нормальным , если его цифры в каждой системе счисления распределены равномерно: все цифры равновероятны, все пары цифр равновероятны, все тройки цифр равновероятны и т. д. Число x называется нормальным в системе счисления b , если его цифры в системе счисления b распределены равномерно.

Если обозначить строку цифр как [ a ₀ , a ₁ , ...], то в десятичной системе счисления мы ожидаем, что строки [0], [1], [2], …, [9] будут встречаться в 1/10 случаев, строки [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] будут встречаться в 1/100 случаев и т. д. в обычном числе.

Чамперноун доказал, что является нормальным в десятичной системе счисления, ^[1] в то время как Накаи и Сиокава доказали более общую теорему, следствием которой является то, что является нормальным в десятичной системе счисления для любого b . ^[5] Открытой проблемой является ли является нормальным в системах счисления . Например, неизвестно, является ли является нормальным в девятичной системе счисления. Например, 54 цифры числа равны 0,123456789101112131415161718192021222324252627282930313. Когда мы выражаем это в девятичной системе счисления, мы получаем . ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle C_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle b\neq k}$ ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle {0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}}$

Курт Малер показал, что константа является трансцендентной . ^[6] Мера иррациональности равна , и в более общем случае для любого основания . ^[7] ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle \mu (C_{10})=10}$ ${\displaystyle \mu (C_{b})=b}$ ${\displaystyle b\geq 2}$

Слово Champernowne — это дизъюнктивная последовательность . Дизъюнктивная последовательность — это бесконечная последовательность (в конечном алфавите символов ), в которой каждая конечная строка появляется как подстрока

Ряд

Определение константы Чамперноуна немедленно приводит к бесконечному ряду , включающему двойную сумму, где — число цифр между десятичной точкой и первым вкладом от n -значного числа с основанием 10; эти выражения обобщаются до произвольного основания  b путем замены 10 и 9 на b и b − 1 соответственно. Альтернативные формы — и , где и обозначают функции пола и потолка . ^{[8] [9]} $${\displaystyle C_{10}=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-\delta _{10}(n)}\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)}}},}$$ ${\displaystyle \delta _{10}(n)=9\sum _{\ell =1}^{n-1}10^{\ell -1}\ell }$ $${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(\sum \limits _{k=1}^{n}\left\lceil \log _{b}(k+1)\right\rceil \right)}}$$ $${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(n+\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left\lfloor \log _{b}(k+1)\right\rfloor \right)},}$$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

Возвращаясь к первому из этих рядов, как слагаемое внешней суммы, так и выражение для можно упростить, используя замкнутую форму для двумерного геометрического ряда : ${\displaystyle \delta _{b}(n)}$ $${\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }ka^{k}=a^{n}{\frac {n-(n-1)a}{(1-a)^{2}}}.}$$

Результирующее выражение для равно , а слагаемое внешней суммы становится Суммирование по всем n ≥ 1 дает Обратите внимание, что в слагаемом выражение в скобках приблизительно для n ≥ 2 и быстро приближается к этому значению по мере роста n , в то время как показатель степени растет экспоненциально с n . Как следствие, каждый дополнительный член обеспечивает экспоненциально растущее число правильных цифр, хотя число цифр в числителях и знаменателях дробей, составляющих эти члены, растет только линейно. Например, первые несколько членов C ₁₀ равны ${\displaystyle \delta _{b}(n)}$ $${\displaystyle \delta _{b}(n)=(b-1)\sum _{\ell =1}^{n-1}b^{\ell -1}\ell ={\frac {1}{b-1}}\left(1+b^{n-1}((b-1)n-b)\right),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{-\delta _{b}(n)}\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{n(k-b^{n-1}+1)}}}&=b^{-\delta _{b}(n)}b^{n(b^{n-1}-1)}\left(\sum _{k=b^{n-1}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}-\sum _{k=b^{n}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}\right)\\&={\frac {b^{2n-1}-b^{n-1}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n)}-{\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n+1)}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle C_{b}={\frac {b}{(b-1)^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}-{\frac {b^{2n+1}-b^{n}+1}{\left(b^{n+1}-1\right)^{2}}}\right)b^{-\delta _{b}(n+1)}.}$$ ${\displaystyle {\frac {b-1}{b}}}$ ${\displaystyle \delta _{b}(n+1)}$ $${\displaystyle C_{10}={\frac {10}{81}}-\left[\left({\frac {91}{81}}-{\frac {991}{9801}}\right)\times 10^{-9}+\left({\frac {9901}{9801}}-{\frac {99901}{998001}}\right)\times 10^{-189}+\left({\frac {999001}{998001}}-{\frac {9999001}{99980001}}\right)\times 10^{-2889}+\ldots \right].}$$

Расширение непрерывной дроби

Первые 161 частных непрерывной дроби константы Чамперноуна. 4-й, 18-й, 40-й и 101-й значительно больше 270, поэтому не отображаются на графике.

Первые 161 частное непрерывной дроби постоянной Чамперноуна в логарифмическом масштабе .

Разложение в простую непрерывную дробь постоянной Чамперноуна не заканчивается (потому что константа не рациональна ) и является апериодическим (потому что она не является неприводимой квадратичной дробью). Простая непрерывная дробь — это непрерывная дробь, знаменатель которой равен 1. Разложение в простую непрерывную дробь постоянной Чамперноуна демонстрирует чрезвычайно большие члены, появляющиеся между многими малыми. Например, в основании 10,

С ₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 555 00 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ...] (последовательность A030167 в OEIS )

Большое число в позиции 18 имеет 166 цифр, а следующий очень большой член в позиции 40 непрерывной дроби имеет 2504 цифры. То, что существуют такие большие числа как члены разложения непрерывной дроби, означает, что подходящие дроби, полученные путем остановки перед этими большими числами, обеспечивают исключительно хорошее приближение постоянной Чамперноуна. Например, усечение непосредственно перед 4-м неполным частным дает , которое соответствует первому члену в быстро сходящемся ряду разложения предыдущего раздела и которое аппроксимирует постоянную Чамперноуна с ошибкой около ¹ × 10−9 ^. Усечение непосредственно перед 18-м неполным частным дает приближение, которое соответствует первым двум членам ряда, то есть членам до члена, содержащего 10−9 , что аппроксимирует постоянную Чамперноуна с ошибкой около 9 × ¹⁰⁻¹⁹⁰ . $${\displaystyle 10/81=\sum _{k=1}^{\infty }k/10^{k}=0.{\overline {123456790}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60499999499}{490050000000}}&=0.123456789+10^{-9}\sum _{k=10}^{\infty }k/10^{2(k-9)}=0.123456789+10^{-9}{\frac {991}{9801}}\\&=0.123456789{\overline {10111213141516171819\ldots 90919293949596979900010203040506070809}},\end{aligned}}}$$

Первые и вторые по величине члены («отметки высшей точки») после начального нуля — это 8 и 9 соответственно, и они находятся на позициях 1 и 2. Сикора (2012) заметил, что количество цифр в отметках высшей точки, начиная с четвертой, демонстрирует очевидную закономерность. ^[10] Действительно, сами отметки высшей точки растут в два раза экспоненциально, а количество цифр в n- й отметке для ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$

6, 166, 25 04, 33 102 , 41 1 100 , 49 11 098 , 57 111 096 , 65 1111 094 , 73 11111 092 , ...

чей шаблон становится очевидным, начиная с 6-й высшей точки. Количество терминов может быть дано как $${\displaystyle d_{n}={\frac {44-103\times 2^{n-3}\times 5^{n-4}}{9}}+\left(2^{n-1}\times 5^{n-4}\times n-2n\right),n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right).}$$

Однако до сих пор неизвестно, есть ли способ определить, где встречаются большие термины (не менее 6 цифр) или их значения. Сами высокие отметки находятся в позициях

1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062, .... (последовательность A143533 в OEIS )

Смотрите также

• Константа Коупленда–Эрдёша , аналогичное нормальное число, определяемое с помощью простых чисел
• Константа Лиувилля — еще одна константа, определяемая ее десятичным представлением.
• Число Смарандаке–Веллина — ещё одно число, полученное путём конкатенации представления в заданной базе.

Ссылки

1. Champernowne 1933
2. Кассень и Николя (2010) стр.165
3. Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Cambridge University Press . стр. 299. ISBN 978-0-521-82332-6. Збл  1086.11015.
4. Calude, C .; Priese, L.; Staiger, L. (1997), Дизъюнктивные последовательности: обзор , Университет Окленда, Новая Зеландия, стр. 1–35, CiteSeerX 10.1.1.34.1370 
5. Накаи и Сиокава 1992
6. К. Малер, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen , Proc. Конин. Недер. Акад. Влажный. Сер. А. 40 (1937), с. 421–428.
7. Масааки Амоу, Приближение некоторых трансцендентных десятичных дробей алгебраическими числами , Журнал теории чисел , том 37, выпуск 2, февраль 1991 г., страницы 231–241
8. Джон К. Сикора: Анализ конвергентных чисел высокой отметки константы Чамперноуна в различных базисах, в: arXiv:1408.0261, 1 августа 2014 г., см. Определение 9
9. Вайсштейн, Эрик В. "Константа Чамперноуна". MathWorld .
10. Сикора, Дж. К. «О конвергентах константы Чамперноуна в десятичной системе счисления, соответствующих отметке максимума». 3 октября 2012 г. http://arxiv.org/abs/1210.1263

• Кассейн, Ж.; Николя, Ф. (2010). «Факторная сложность». В Берте, Валери ; Риго, Мишель (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 135. Кембридж: Cambridge University Press . С. 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Збл  1216.68204.
• Чамперноун, Д.Г. (1933), «Построение нормальных десятичных дробей в масштабе десяти», Журнал Лондонского математического общества , 8 (4): 254–260, doi :10.1112/jlms/s1-8.4.254.
• Накаи, Ю.; Сиокава, И. (1992), «Оценки расхождения для класса нормальных чисел», Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064/aa-62-3-271-284.