узлы Чебышева

Корни полиномов Чебышева первого рода

Здесь мы строим узлы Чебышева первого и второго рода, оба для n = 8. Для обоих видов узлов мы сначала строим точки, равноудаленные на верхней половине единичной окружности синим цветом. Затем синие точки проецируются вниз на ось x . Спроецированные точки, красные, являются узлами Чебышева.

В численном анализе узлы Чебышёва представляют собой набор определённых действительных алгебраических чисел , используемых в качестве узлов для полиномиальной интерполяции . Они являются проекцией равноотстоящих друг от друга точек единичной окружности на действительный интервал диаметра окружности. ${\displaystyle [-1,1],}$

Узлы Чебышева первого рода , также называемые нулями Чебышева , являются нулями полиномов Чебышева первого рода. Узлы Чебышева второго рода , также называемые экстремумами Чебышева , являются экстремумами полиномов Чебышева первого рода, которые также являются нулями полиномов Чебышева второго рода. Оба эти набора чисел обычно называются в литературе узлами Чебышева . ^[1] Полиномиальные интерполянты, построенные из этих узлов, минимизируют эффект Рунге . ^[2]

Определение

Узлы Чебышева обоих видов от до . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=50}$

Для заданного положительного целого числа узлы Чебышева первого рода в открытом интервале равны ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

Это корни полиномов Чебышева первого рода степени . Для узлов на произвольном интервале можно использовать аффинное преобразование : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle x_{k}={\frac {(a+b)}{2}}+{\frac {(b-a)}{2}}\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

Аналогично, для данного положительного целого числа узлы Чебышева второго рода в замкнутом интервале равны ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n-1}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$

Это корни полиномов Чебышева второго рода со степенью . Для узлов на произвольном интервале можно использовать аффинное преобразование, как указано выше. Узлы Чебышева второго рода также называются точками Чебышева-Лобатто или экстремальными точками Чебышева. ^[3] Обратите внимание, что узлы Чебышева второго рода включают конечные точки интервала, тогда как узлы Чебышева первого рода не включают конечные точки. Эти формулы генерируют узлы Чебышева, которые сортируются от наибольшего к наименьшему на действительном интервале. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Оба вида узлов всегда симметричны относительно средней точки интервала. Следовательно, для нечетных оба вида узлов будут включать среднюю точку. Геометрически для обоих видов узлов мы сначала размещаем точки на верхней половине единичной окружности с равным расстоянием между ними. Затем точки проецируются вниз на ось. Спроецированные на ось точки называются узлами Чебышева. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Приближение

Узлы Чебышева важны в теории приближений, поскольку они образуют особенно хороший набор узлов для полиномиальной интерполяции . При наличии функции f на интервале и точек в этом интервале интерполяционный полином — это тот уникальный полином степени не выше , который имеет значение в каждой точке . Ошибка интерполяции при для некоторого (в зависимости от x ) в [−1, 1] . ^[4] Поэтому логично попытаться минимизировать ${\displaystyle [-1,+1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle P_{n-1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle f(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$$ ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}{\biggl |}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}){\biggr |}.}$$

Это произведение является моническим многочленом степени n . Можно показать, что максимальное абсолютное значение (максимальная норма) любого такого многочлена ограничено снизу величиной 2 ^{1− n} . Эта граница достигается масштабированными многочленами Чебышёва 2 ^{1− n} T _n , которые также являются моническими. (Напомним, что | T _n ( x )| ≤ 1 для x ∈ [−1, 1] . ^[5] ) Следовательно, когда узлы интерполяции x _i являются корнями T _n , ошибка удовлетворяет Для произвольного интервала [ a , b ] замена переменной показывает, что $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$ $${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$$

Модифицированные узлы Чебышева четного порядка

Многие приложения для узлов Чебышева, такие как проектирование одинаково согласованных пассивных фильтров Чебышева, не могут использовать узлы Чебышева напрямую из-за отсутствия корня в 0. Однако узлы Чебышева могут быть преобразованы в пригодную для использования форму путем перевода корней вниз таким образом, чтобы самые низкие корни были перемещены в ноль, тем самым создавая два корня в нуле модифицированных узлов Чебышева. ^[6]

Перевод модификации четного порядка выглядит так:

${\displaystyle X_{k}Even={\sqrt {\frac {X_{k}^{2}-X_{n/2}^{2}}{1-X_{n/2}^{2}}}}{\text{ For }}n>2}$

Знак функции выбирается таким же, как знак . ${\displaystyle {\sqrt {}}}$ ${\displaystyle X_{k}}$

Например, узлы Чебышева для функции Чебышева 4-го порядка равны {0,92388,0,382683,-0,382683,-0,92388}, и это , или 0,146446. Прогон всех узлов через трансляцию дает {0,910180, 0, 0, -0,910180}. ${\displaystyle X_{n/2}^{2}}$ ${\displaystyle 0.382683^{2}}$ ${\displaystyle X_{k}Even}$

Модифицированные узлы Чебышева четного порядка теперь содержат два узла нуля и подходят для использования при проектировании фильтров Чебышева четного порядка с одинаково нагруженными сетями пассивных элементов.

Примечания

1. Трефетен 2013, стр. 7
2. Финк и Мэтьюз 1999, стр. 236–238.
3. Трефетен 2013, стр. 7
4. Стюарт 1996, (20.3)
5. Стюарт 1996, Лекция 20, §14
6. Саал, Рудольф (январь 1979 г.). Справочник по проектированию фильтров (на английском и немецком языках) (1-е изд.). Мюнхен, Германия: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. стр. 25, 26, 56–61, 116, 117. ISBN. 3-87087-070-2.

Ссылки

• Финк, Куртис Д.; Мэтьюз, Джон Х. (1999). Численные методы с использованием MATLAB (3-е изд.). Upper Saddle River NJ: Prentice Hall.
• Стюарт, Гилберт В. (1996). Послесловия к численному анализу . SIAM . ISBN 978-0-89871-362-6.
• Трефетен, Ллойд Н. (2013), Теория аппроксимации и практика аппроксимации, SIAM

Дальнейшее чтение

• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас: Численный анализ , 8-е изд., стр. 503–512, ISBN 0-534-39200-8 .