График полинома Чебышева первого рода T n(x) с n=5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
Полиномы Чебышева представляют собой две последовательности полиномов , связанных с функциями косинуса и синуса , обозначенные как и . Их можно определить несколькими эквивалентными способами, один из которых начинается с тригонометрических функций :
Полиномы Чебышева первого рода определяются следующим образом:
Аналогично полиномы Чебышева второго рода определяются формулой:
То, что эти выражения определяют полиномы, может быть неочевидным на первый взгляд, но это становится очевидным, если переписать и использовать формулу де Муавра или многократно использовать формулы суммы углов для и . Например, формулы двойного угла , которые следуют непосредственно из формул суммы углов, могут использоваться для получения и , которые соответственно являются полиномом в и полиномом в, умноженным на . Отсюда и .
и Un ( x ) ортогональны относительно другого аналогичного скалярного произведения, приведенного ниже .
Полиномы Чебышева T n — это многочлены с максимально возможным старшим коэффициентом, абсолютное значение которого на интервале [−1, 1] ограничено 1. Они также являются «экстремальными» полиномами для многих других свойств. [1]
Эти многочлены были названы в честь Пафнутия Чебышева . [3] Буква Т используется из-за альтернативной транслитерации имени Чебышев как Чебышев , Чебышев (французский) или Чебышев (немецкий).
Определения
Определение повторения
График первых пяти T n полиномов Чебышева (первого рода)
Действительная часть другой стороны представляет собой многочлен от cos x и sin x , в котором все степени sin x четны и , следовательно, заменяемы тождеством cos 2 x + sin 2 x = 1 . По тем же соображениям sin nx — это мнимая часть многочлена, в которой все степени sin x нечетны , и, таким образом, если выбросить один множитель sin x , остальные множители можно заменить, чтобы получить ( n −1 ) полином первой степени по cos x .
Определение коммутирующих полиномов
Полиномы Чебышева также можно охарактеризовать следующей теоремой: [5]
Если - семейство монических полиномов с коэффициентами в поле характеристики такими, что и для всех и , то с точностью до простой замены переменных либо для всех , либо для всех .
Определение уравнения Пелла
Полиномы Чебышева также можно определить как решения уравнения Пелля :
в кольце R [ x ] . [6] Таким образом, их можно генерировать стандартным для уравнений Пелля методом возведения степеней фундаментального решения:
Соотношения между двумя видами полиномов Чебышева
Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка Ṽ n ( P , Q ) и Ũ n ( P , Q ) с параметрами P = 2 x и Q = 1 :
Отсюда следует, что они также удовлетворяют паре взаимных рекуррентных уравнений: [7]
Второй из них можно переставить, используя определение рекуррентности для полиномов Чебышева второго рода, чтобы получить:
Итеративное использование этой формулы дает формулу суммы:
при замене и использовании формулы производной для дает рекуррентное соотношение для производной :
где интегралы рассматриваются как главное значение.
Явные выражения
Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к разным явным выражениям. Тригонометрическое определение дает явную формулу следующего вида:
Из этой тригонометрической формы определение рекуррентности можно восстановить путем непосредственного вычисления того, что выполняются базовые случаи:
где штрих перед символом суммирования указывает, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появится.
Родственное выражение для T n как суммы мономов с биномиальными коэффициентами и степенями двойки:
Аналогично Un можно выразить через гипергеометрические функции :
Характеристики
Симметрия
То есть полиномы Чебышева четного порядка обладают четной симметрией и, следовательно, содержат только четные степени x . Полиномы Чебышева нечетного порядка обладают нечетной симметрией и поэтому содержат только нечетные степени x .
Корни и экстремумы
Полином Чебышева любого вида со степенью n имеет n различных простых корней , называемых корнями Чебышева , в интервале [−1, 1] . Корни полинома Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева , поскольку они используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что:
можно показать, что корни T n :
Аналогично , корни Un :
Экстремумы T n на интервале −1 ≤ x ≤ 1 расположены в точках :
Одним из уникальных свойств полиномов Чебышева первого рода является то, что на интервале −1 ≤ x ≤ 1 все экстремумы имеют значения либо −1, либо 1. Таким образом, эти полиномы имеют только два конечных критических значения , что является определяющим свойством Полиномы Шабата . И первый, и второй виды полинома Чебышева имеют экстремумы в конечных точках, определяемые формулой:
Экстремумы на интервале где расположены при значениях . Это , или где , , и , т. е. и являются относительно простыми числами.
В частности, [12] [13] когда четно:
если , или и четно. Есть такие значения .
если и нечетно. Есть такие значения .
Когда нечетно:
если , или и четно. Есть такие значения .
если , или и нечетно. Есть такие значения .
Этот результат был обобщен на решения уравнений , [13] и на и для полиномов Чебышева третьего и четвертого рода соответственно. [14]
Дифференциация и интеграция
Производные полиномов могут быть непростыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрических формах, можно показать, что:
Последние две формулы могут быть затруднительными в числовом отношении из-за деления на ноль (0/0неопределенная форма , в частности) при x = 1 и x = −1 . По правилу Лопиталя :
При n = 1 это приводит к уже известной рекуррентной формуле, просто устроенной по-другому, а при n = 2 она образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных полиномов Чебышева с индексом (в зависимости от четности наименьшего m ), из которого следует четность или нечетность этих полиномов. Из этого разложения произведения можно вывести еще три полезные формулы для оценки полиномов Чебышева:
Полиномы второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению:
(с определением U −1 ≡ 0 по соглашению). Они также удовлетворяют:
для м ≥ п . Для n = 2 эта повторяемость сводится к:
который устанавливает четность или нечетность четных или нечетных индексированных полиномов Чебышева второго рода в зависимости от того, начинается ли m с 2 или с 3.
Свойства состава и делимости
Тригонометрические определения T n и Un подразумевают свойства композиции или вложенности: [15]
Для T mn порядок композиции можно изменить на обратный, в результате чего семейство полиномиальных функций T n станет коммутативной полугруппой относительно композиции.
Поскольку T m ( x ) делится на x , если m нечетно, отсюда следует, что T mn ( x ) делится на T n ( x ) , если m нечетно. Кроме того, U mn −1 ( x ) делится на U n −1 ( x ) , а в случае, когда m четное, делится на T n ( x ) U n −1 ( x ) .
Ортогональность
И Tn , и Un образуют последовательность ортогональных многочленов . Полиномы первого рода T n ортогональны по весу:
на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:
Это можно доказать, полагая x = cos θ и используя определяющее тождество T n (cos θ ) = cos( nθ ) .
Аналогично многочлены второго рода Un ортогональны по весу :
T n также удовлетворяет дискретному условию ортогональности :
где N — любое целое число, большее, чем max( i , j ) , [9] и x k — это N узлов Чебышева (см. выше) T N ( x ) :
Для многочленов второго рода и любого целого числа N > i + j с одинаковыми узлами Чебышёва x k существуют аналогичные суммы:
и без весовой функции:
Для любого целого числа N > i + j на основе N нулей UN ( x ) :
можно получить сумму:
и снова без весовой функции:
Минимальная ∞ -норма
Для любого заданного n ≥ 1 среди многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 ( монические многочлены):
это тот, у которого максимальное абсолютное значение на интервале [−1, 1] минимально.
Это максимальное абсолютное значение равно:
и | ж ( Икс ) | достигает этого максимума ровно n + 1 раз при:
Доказательство
Предположим, что w n ( x ) — многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 с максимальным абсолютным значением на интервале [−1, 1] меньше 1 / 2 n − 1 .
Определять
Поскольку в крайних точках T n имеем
Из теоремы о промежуточном значении f n ( x ) имеет по крайней мере n корней. Однако это невозможно, поскольку f n ( x ) — многочлен степени n − 1 , поэтому из фундаментальной теоремы алгебры следует, что он имеет не более n − 1 корней.
Примечание
По теореме об равноколебании среди всех полиномов степени ≤ n полином f минимизирует ‖ f ‖ ∞ на [−1, 1] тогда и только тогда, когда существует n + 2 точки −1 ≤ x 0 < x 1 < ⋯ < x n + 1 ≤ 1 такое, что | ж ( Икс я ) | знак равно ‖ ж ‖ ∞ .
Конечно, нулевой полином на интервале [−1, 1] может быть аппроксимирован сам по себе и минимизирует ∞ -норму.
Однако выше | ж | достигает своего максимума только n + 1 раз, поскольку мы ищем лучший многочлен степени n ≥ 1 (поэтому приведенную ранее теорему использовать нельзя).
Полиномы Чебышева как частные случаи более общих семейств полиномов
Полиномы Чебышева являются частным случаем ультрасферических полиномов или полиномов Гегенбауэра , которые сами являются частным случаем полиномов Якоби :
Полиномы Чебышева также являются частным случаем полиномов Диксона :
В частности, когда они связаны соотношениями и .
Другие объекты недвижимости
Кривые, заданные y = T n ( x ) или, что эквивалентно, параметрическими уравнениями y = T n (cos θ ) = cos nθ , x = cos θ , являются частным случаем кривых Лиссажу с отношением частот, равным n .
Аналогично формуле:
имеем аналогичную формулу:
Для х ≠ 0 :
и:
что следует из того, что это справедливо по определению для x = e iθ .
Примеры
Первый вид
Первые несколько полиномов Чебышева первого рода в области −1 < x < 1 : плоскость T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 и T 5 .
Первые несколько полиномов Чебышева первого рода — это OEIS : A028297.
Второй вид
Первые несколько полиномов Чебышева второго рода в области −1 < x < 1 : плоскость U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 и U 5 . Хотя это и не видно на изображении, U n (1) = n + 1 и U n (−1) = ( n + 1)(−1) n .
Первые несколько полиномов Чебышева второго рода — это OEIS : A053117.
В качестве базового набора
Негладкая функция (вверху) y = − x 3 H (− x ) , где H — ступенчатая функция Хевисайда , и (внизу) 5-я частичная сумма ее разложения Чебышева. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.
В соответствующем пространстве Соболева набор полиномов Чебышёва образует ортонормированный базис , так что функция в том же пространстве может быть выражена при −1 ≤ x ≤ 1 через разложение: [16]
Кроме того, как упоминалось ранее, полиномы Чебышева образуют ортогональный базис, который (среди прочего) подразумевает, что коэффициенты n могут быть легко определены с помощью применения скалярного произведения . Эта сумма называется рядом Чебышева или разложением Чебышева .
Поскольку ряд Чебышева связан с косинусным рядом Фурье заменой переменных, все теоремы, тождества и т. д., применимые к рядам Фурье, имеют аналог Чебышева. [16] Эти атрибуты включают в себя:
Полиномы Чебышева образуют полную ортогональную систему.
Ряд Чебышева сходится к f ( x ) , если функция кусочно гладкая и непрерывная . Требование гладкости в большинстве случаев можно ослабить – при условии, что существует конечное число разрывов в f ( x ) и ее производных.
При разрыве ряд сходится к среднему значению правого и левого пределов.
Обилие теорем и тождеств, унаследованных от рядов Фурье, делают полиномы Чебышева важным инструментом численного анализа ; например, они являются наиболее популярными базисными функциями общего назначения, используемыми в спектральном методе [16] , часто в пользу тригонометрических рядов из-за, как правило, более быстрой сходимости для непрерывных функций ( феномен Гиббса все еще остается проблемой).
Пример 1
Рассмотрим разложение Чебышева log(1 + x ) . Можно выразить:
Коэффициенты n можно найти либо с помощью скалярного произведения, либо с помощью условия дискретной ортогональности . Для внутреннего продукта:
который дает:
В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемой функции не может быть вычислен, условие дискретной ортогональности дает часто полезный результат для аппроксимированных коэффициентов:
Для любого N эти приблизительные коэффициенты обеспечивают точное приближение функции в точке x k с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются при N = ∞ , таким образом представляя функцию точно во всех точках в [−1,1] . Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости.
В качестве интерполянта N коэффициентов ( N − 1) -й частичной суммы обычно получаются на точках Чебышева–Гаусса–Лобатто [17] (или сетке Лобатто), что приводит к минимальной ошибке и позволяет избежать явления Рунге, связанного с равномерным сетка. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома высшего порядка в сумме плюс конечные точки и определяется следующим образом:
Полином в форме Чебышева
Произвольный полином степени N можно записать через полиномы Чебышева первого рода. [9] Такой полином p ( x ) имеет вид:
Полиномы в форме Чебышева можно оценить с помощью алгоритма Кленшоу .
Семейства полиномов, родственные полиномам Чебышева
Иногда используются полиномы, обозначаемые и тесно связанные с полиномами Чебышева. Они определяются: [18]
и удовлетворить:
А. Ф. Горадам назвал полиномы Вьета–Люкаса полиномами и обозначил их . Он назвал многочлены полиномами Вьета–Фибоначчи и обозначил их . [19] Списки обоих наборов полиномов даны в «Математической опере» Виета , глава IX, теоремы VI и VII. [20] Полиномы Вьета-Лукаса и Вьета-Фибоначчи реального аргумента с точностью до степени и сдвига индекса в случае последнего равны полиномам Люка и Фибоначчи L n и F n мнимого аргумента.
Сдвинутые полиномы Чебышева первого и второго рода связаны с полиномами Чебышева соотношением: [18]
Когда аргумент полинома Чебышева удовлетворяет условию 2 x − 1 ∈ [−1, 1], аргумент сдвинутого полинома Чебышева удовлетворяет условию x ∈ [0, 1] . Аналогичным образом можно определить сдвинутые полиномы для общих интервалов [ a , b ] .
Примерно в 1990 году термины «третьего рода» и «четвертого рода» стали использоваться в связи с полиномами Чебышева, хотя полиномы, обозначаемые этими терминами, получили более раннее развитие под названием « полиномы аэродинамического профиля ». По мнению Дж. К. Мейсона и Г. Г. Эллиотта, терминология «третьего рода» и «четвертого рода» возникла благодаря Уолтеру Гаучи «в консультации с коллегами в области ортогональных полиномов». [21] Полиномы Чебышева третьего рода определяются как:
а полиномы Чебышева четвертого рода определяются как:
где . [21] [22] В литературе по профилям и обозначаются и . Семейства полиномов , , , и ортогональны относительно весов:
и пропорциональны полиномам Якоби с:
[22]
Все четыре семейства удовлетворяют повторению с , где , , , или , но они различаются в зависимости от того, равны ли , , , или . [21]
^ Ривлин, Теодор Дж. (1974). «Глава 2, Экстремальные свойства». Полиномы Чебышева . Чистая и прикладная математика (1-е изд.). Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. стр. 56–123. ISBN 978-047172470-4.
^ Ланчос, К. (1952). «Решение систем линейных уравнений минимизированными итерациями». Журнал исследований Национального бюро стандартов . 49 (1): 33. doi : 10.6028/jres.049.006 .
^ Полиномы Чебышева были впервые представлены в Чебышеве, Польша (1854 г.). «Теория механизмов, соединённых под псевдонимом параллелограмм». Mémoires des Savants étrangers presentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg (на французском языке). 7 : 539–586.
^ Шеффер, AC (1941). «Неравенства А. Маркова и С. Бернштейна для полиномов и родственных функций». Бюллетень Американского математического общества . 47 (8): 565–579. дои : 10.1090/S0002-9904-1941-07510-5 . ISSN 0002-9904.
^ Ритт, Дж. Ф. (1922). «Простые и составные полиномы». Пер. амер. Математика. Соц . 23 : 51–66. дои : 10.1090/S0002-9947-1922-1501189-9 .
^ Демейер, Йерун (2007). Диофантовы множества над кольцами полиномов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) (докторская диссертация). п. 70. Архивировано из оригинала (PDF) 2 июля 2007 года.
^ Аб Эрдели, Артур ; Магнус, (Ганс Генрих) Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц [на немецком языке] ; Трикоми, Франческо Джакомо ; Бертен, Дэвид; Фулкс, Уотсон Б.; Харви, Альберт Рэймонд; Томсен-младший, Дональд Л.; Вебер, Мария А.; Уитни, Эоин Лэрд [в Викиданных] ; Стампфел, Розмари (1953). Эрдели, Артур (ред.). Высшие трансцендентные функции - Том II - Частично основано на заметках, оставленных Гарри Бейтманом (PDF) . Проект рукописи Бейтмана. Том. II (1-е изд.). Нью-Йорк / Торонто / Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc., с. 184:(3),(4). LCCN 53-5555. Контракт № Н6онр-244 Задание XIV. Номер проектного обозначения: НР 043-045. Приказ № 19546. Архивировано (PDF) из оригинала 9 апреля 2017 года . Проверено 23 июля 2020 г.[1][2] (xvii+1 страница с исправлениями+396 страниц, твердый переплет из красной ткани) (Примечание. Авторские права были продлены Калифорнийским технологическим институтом в 1981 году); Перепечатка: Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Мельбурн, Флорида, США. 1981. ISBN 0-89874-069-X ; Планируемое переиздание в Дувре: ISBN 0-486-44615-8 .
^ Беккенбах, EF; Зейдель, В.; Сас, Отто (1951), «Рекуррентные определители Лежандра и ультрасферических полиномов», Duke Math. Дж. , 18 : 1–10, номер doi : 10.1215/S0012-7094-51-01801-7, MR 0040487
^ Матар, Р.Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . Бибкод : 2006JCoAM.196..596M. дои : 10.1016/j.cam.2005.10.013. S2CID 16476052.
^ Гюрташ, YZ (2017). «Полиномы Чебышева и минимальный многочлен ». Американский математический ежемесячник . 124 (1): 74–78. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.1.74. S2CID 125797961.
^ Аб Вольфрам, Д.А. (2022). «Факторизация многочленов Чебышева первого и второго рода минимальными многочленами ». Американский математический ежемесячник . 129 (2): 172–176. дои : 10.1080/00029890.2022.2005391. S2CID 245808448.
^ Рэйес, Миссури; Тревизан, В.; Ван, П.С. (2005), «Факторизационные свойства полиномов Чебышева», Computers & Mathematics with Applications , 50 (8–9): 1231–1240, doi : 10.1016/j.camwa.2005.07.003
^ abc Бойд, Джон П. (2001). Чебышев и спектральные методы Фурье (PDF) (второе изд.). Дувр. ISBN0-486-41183-4. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 года . Проверено 19 марта 2009 г.
^ «Интерполяция Чебышева: Интерактивный тур». Архивировано из оригинала 18 марта 2017 года . Проверено 2 июня 2016 г.
^ Виет, Франсуа (1646). Francisco Vietae Opera mathematica: in unum Volumen congesta ac recognita / Opera atque Studio Francisco a Schooten (PDF) . Национальная библиотека Франции.
^ abc Мейсон, JC; Эллиотт, GH (1993), "Почти минимаксная комплексная аппроксимация четырьмя видами полиномиального разложения Чебышева", J. Comput. Прил. Математика. , 46 (1–2): 291–300, doi : 10.1016/0377-0427(93)90303-S
^ аб Демарэ, Роберт Н.; Бланд, Сэмюэл Р. (1995), «Таблицы свойств полиномов профиля крыла», Справочная публикация НАСА 1343 , Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства.
Детте, Хольгер (1995). «Заметка о некоторых своеобразных нелинейных экстремальных явлениях полиномов Чебышева». Труды Эдинбургского математического общества . 38 (2): 343–355. arXiv : математика/9406222 . дои : 10.1017/S001309150001912X. S2CID 16703489.
Эллиотт, Дэвид (1964). «Вычисление и оценка коэффициентов разложения функции в ряд Чебышева». Математика. Комп . 18 (86): 274–284. дои : 10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 . МР 0166903.
Ерёменко А.; Лемперт, Л. (1994). «Экстремальная задача для многочленов» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (1): 191–193. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1 . МР 1207536.
Эрнандес, Массачусетс (2001). «Алгоритмы и приложения аппроксимации Чебышева». Компьютеры и математика с приложениями . 41 (3–4): 433–445. дои : 10.1016/s0898-1221(00)00286-8 .
Мейсон, Дж. К. (1984). «Некоторые свойства и приложения полинома Чебышева и рациональной аппроксимации». Рациональная аппроксимация и интерполяция . Конспект лекций по математике. Том. 1105. стр. 27–48. дои : 10.1007/BFb0072398 . ISBN 978-3-540-13899-0.
Мейсон, Дж. К.; Хэндскомб, округ Колумбия (2002). Полиномы Чебышева. Чепмен и Холл/CRC. дои : 10.1201/9781420036114. ISBN 978-1-4200-3611-4.
Матар, Ричард Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». Журнал вычислительной и прикладной математики . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . Бибкод : 2006JCoAM.196..596M. дои : 10.1016/j.cam.2005.10.013 . S2CID 16476052.
Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР 2723248.
Зальцер, Герберт Э. (1976). «Преобразование интерполяционного ряда в ряды Чебышева по рекуррентным формулам». Математика вычислений . 30 (134): 295–302. дои : 10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 . МР 0395159.
Скратон, RE (1969). «Решение интегральных уравнений в рядах Чебышева». Математика вычислений . 23 (108): 837–844. дои : 10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4 . МР 0260224.
Мэтьюз, Джон Х. (2003). «Модуль полиномов Чебышева». Кафедра математики. Примечания к курсу Math 340 Numerical Analysis и Math 440 Advanced Numerical Analysis . Фуллертон, Калифорния: Калифорнийский государственный университет. Архивировано из оригинала 29 мая 2007 года . Проверено 17 августа 2020 г. .
«Чебышевская интерполяция: Интерактивная экскурсия». Математическая ассоциация Америки (МАА)– включает иллюстративный Java-апплет .
«Численные вычисления с функциями». Проект Чебфун .
«Есть ли интуитивное объяснение экстремального свойства полиномов Чебышева?». Математическое переполнение . Вопрос 25534.
«Оценка полинома Чебышева и преобразование Чебышева». Способствовать росту . Математика.