Изоморфизм Чоя–Ямилковского

Соответствие между квантовыми каналами и квантовыми состояниями

В квантовой теории информации и теории операторов изоморфизм Чоя–Ямилковского относится к соответствию между квантовыми каналами (описываемыми полностью положительными отображениями ) и квантовыми состояниями (описываемыми матрицами плотности ), это было введено Ман-Дуэн Чоем ^[1] и Анджеем Ямилковским . ^[2] Некоторые авторы в области квантовой информации также называют его дуальностью канала-состояния ^[3] , но математически это более общее соответствие между положительными операторами и полными положительными супероператорами. ^{[ требуется ссылка ]}

Определение

Для изучения квантового канала из системы в , который является сохраняющим след полностью положительным отображением из операторных пространств в , мы вводим вспомогательную систему с той же размерностью, что и система . Рассмотрим максимально запутанное состояние : ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}|i\rangle \otimes |i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(|0\rangle \otimes |0\rangle +\cdots +|d-1\rangle \otimes |d-1\rangle )}$

в пространстве . Так как полностью положительно, является неотрицательным оператором. Обратно, для любого неотрицательного оператора на мы можем связать полностью положительное отображение из в . Этот вид соответствия называется изоморфизмом Чоя-Ямёлковского. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle (I_{A}\otimes {\mathcal {E}})(|\Phi ^{+}\rangle \langle \Phi ^{+}|)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S'}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})}$

Состав Чхве

Изоморфизм Чоя-Ямёлковского — это математическая концепция, которая связывает квантовые вентили или операции с квантовыми состояниями, называемыми состояниями Чоя. Она позволяет нам представлять свойства и поведение вентиля как состояние Чоя.

В обобщенной схеме телепортации ворот мы можем телепортировать квантовые ворота из одного места в другое, используя запутанные состояния и локальные операции. Вот как это работает:

1. Отправитель хочет применить определенный вентиль к входному квантовому состоянию.
2. Вместо того чтобы напрямую применять шлюз, отправитель создает запутанное состояние с получателем.
3. Отправитель выполняет измерения своего входного состояния и своей части запутанного состояния.
4. Результаты измерений передаются получателю посредством классической связи.
5. На основании результатов измерений приемник выполняет локальные операции над своей долей запутанного состояния.
6. Эти локальные операции восстанавливают эффект затвора на стороне приемника.

Благодаря объединению возможностей запутывания, измерений и локальных операций эффект ворот эффективно передается в местоположение приемника.

Этот процесс позволяет осуществлять телепортацию информации о вентилях или применять сами вентили, что делает его увлекательным методом распределенного управления квантовыми вентилями.

Моделирование состава ворот с использованием обобщенной телепортации ворот

Чистое состояние Чой

Давайте сначала рассмотрим унитарный случай, где состояние Choi является чистым . Предположим, что у нас есть два состояния Choi, представленные как , и , а соответствующие системы обозначены как A, B, C и D. Чтобы смоделировать композицию вентилей или , мы стремимся получить состояние или . ${\displaystyle \vert \psi _{U}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle \vert \psi _{V}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle UV}$ ${\displaystyle VU}$ ${\displaystyle \vert \psi _{UV}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle \vert \psi _{VU}\rangle _{i}}$

Стандартная схема Белла

Стандартный подход заключается в использовании схемы Белла, где вентиль телепортируется из узла A в узел C с использованием измерения Белла на узлах B и C, что приводит к состоянию на узлах A и D. Чтобы получить , мы применим схему Белла на узлах A и D. Однако это может ввести операторы побочного продукта Паули, такие как , между двумя унитарными вентилями, которые, как правило, не поддаются исправлению и могут повлиять на желаемую композицию вентиля. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \vert \psi _{VU}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle \vert \psi _{UV}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle UPV}$

Косвенное измерение Белла

Для решения этой проблемы вместо стандартной схемы Белла используется косвенное измерение Белла . Это измерение включает дополнительный кубит ancilla . Косвенное измерение Белла выполняется путем применения вентиля , который является вентилем Тоффоли с кубитом с одним управлением, замененным кубитом с нулевым управлением, и вспомогательным в качестве цели. Это измерение выражается как , где представляет собой обратную операцию подготовки состояний Белла . ${\displaystyle U_{T}}$ ${\displaystyle G(\sigma )={\text{tr}}[U_{T}\circ U_{B}^{\dagger }(\sigma \otimes \vert 1\rangle \langle 1\vert )]}$ ${\displaystyle U_{B}^{\dagger }}$

Результаты и конечные состояния

Результат косвенного измерения Белла соответствует либо синглетному , либо триплетному состоянию . Если результатом является синглет на сайтах B и C, вентиль U на сайте C телепортируется на сайт A, что приводит к состоянию . С другой стороны, если результатом является триплет, который имеет полную симметрию соответствующей унитарной группы, вентиль V модифицируется путем применения вращения T к триплетному состоянию, эквивалентного действию на сайте C. Это приводит к состоянию , где t представляет сопряженную операцию. ${\displaystyle \vert \psi _{VU}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle V^{\dagger }}$ ${\displaystyle \vert \psi _{VtU}\rangle _{i}}$

Достижение желаемых состояний

Применяя обобщенную схему телепортации вентилей, состояния или могут быть реализованы объявленным образом, в зависимости от результата измерения вспомогательного кубита. Объединяя эту схему со схемой POVM (Positive Operator-Valued Measure) на сайте D, вентили или могут быть смоделированы с выходом на сайте A для окончательного считывания. ${\displaystyle \vert \psi _{VU}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle \vert \psi _{VtU}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle VU}$ ${\displaystyle VtU}$

Избежание проблемы транспонирования

Хотя обобщенная схема телепортации вентилей допускает композицию состояний Чоя и моделирование желаемых вентилей, существует очевидная проблема транспонирования. Однако этой проблемы можно избежать, выразив любой унитарный оператор как произведение двух симметричных унитарных операторов. Следовательно, для любого унитарного U для детерминированной телепортации U необходимы только два состояния программы Чоя, и . ${\displaystyle \vert \psi _{UL}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle \vert \psi _{UR}\rangle _{i}}$

Смешанный штат Чой

В случае каналов, чьи состояния Choi являются смешанными состояниями , условие симметрии не обобщается напрямую, как это происходит для унитарных операторов. Однако схема, основанная на расширении прямой суммы, может быть использована для преодоления этого препятствия.

Для канала E с набором операторов Крауса каждый оператор Крауса может быть расширен до унитарного оператора . Расширение задается формулой , где действует на пространстве размерности 2d. ${\displaystyle {K_{i}}}$ ${\displaystyle U_{K}i}$ ${\displaystyle U_{K}i=[[K_{i},q],[1-K_{i}^{\dagger }K_{i},-K_{i}]]}$ ${\displaystyle U_{K}i}$

Схема, основанная на дилатации

В этой схеме каждый оператор Крауса расширяется до большего унитарного оператора, что позволяет использовать методы, основанные на симметрии. Рассматривая большие унитарные операторы, можно обойти проблему работы со смешанными состояниями Чоя, и вычисления могут продолжаться с использованием унитарных преобразований.

Унитарное расширение

Канал можно смоделировать с помощью случайного унитарного канала, где управляемый унитарный вентиль U̘ действует на совместную систему входного состояния ρ и вспомогательного кубита. Вспомогательный кубит, изначально подготовленный в состоянии |e⟩, позже трассируется. Состояние σ представляет собой комбинацию ρ и 0, где 0 представляет состояние вспомогательного кубита в расширенном подпространстве. Действие E(ρ) получается путем ограничения эволюции подпространством системы. ${\displaystyle E}$

Моделирование канала

В этой схеме моделирование канала E включает применение управляемого унитарного вентиля U̘ к входному состоянию ρ и вспомогательному кубиту, подготовленному в состоянии |e⟩. Вентиль U̘ объединяет операторы Крауса со вспомогательным кубитом. После трассировки вспомогательного кубита результирующее состояние σ представляет собой комбинацию ρ и 0, причем 0 представляет состояние вспомогательного кубита на расширенном подпространстве. Наконец, действие канала E на входное состояние ρ получается путем рассмотрения эволюции, ограниченной системным подпространством. ${\displaystyle U_{K}i}$

Телепортация контролируемо-унитарных ворот

По сравнению с унитарным случаем, задача здесь состоит в том, чтобы телепортировать управляемые унитарные вентили вместо унитарных вентилей. Этого можно достичь, расширив схему, используемую в унитарном случае. Для каждого в U̘ существует вентиль , который может его телепортировать. Вентили контролируются тем же вспомогательным элементом, который используется для . Когда получается синглет, канал E телепортируется. Чтобы избежать проблемы транспонирования, каждый разлагается как произведение двух симметричных унитарных матриц, = . Используя тот же провод управления для и и применяя два состояния программы, вентиль U̘ можно телепортировать, тем самым телепортируя канал E. ${\displaystyle U_{K}i}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle U_{K}i}$ ${\displaystyle U_{K}i}$ ${\displaystyle U_{K}i}$ ${\displaystyle U_{L}KiU_{R}Ki}$ ${\displaystyle U_{L}Ki}$ ${\displaystyle U_{R}Ki}$

POVM и дизайн канала

Для выполнения действия канала над состоянием необходимо разработать POVM (Positive Operator-Valued Measure) и канал, основанный на состоянии. Канал , расширение канала R, содержит три оператора Крауса : и . Этот канал требует вспомогательного оператора qutrit, и когда результат равен 2, что указывает на возникновение , что равно 1 из-за условия сохранения следа, моделирование должно быть перезапущено. ${\displaystyle \rho \oplus 0}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle K_{0}=[p\rho t,0],K_{1}=[p1-\rho t,0]}$ ${\displaystyle K_{2}=[0,1]}$ ${\displaystyle E^{\dagger }(1)}$

Особые случаи

Для специальных типов каналов схема может быть значительно упрощена. Случайные унитарные каналы, которые представляют собой широкий класс каналов, могут быть реализованы с использованием контролируемо-унитарной схемы, упомянутой ранее, без необходимости расширения прямой суммы. Унитальные каналы, которые сохраняют идентичность, являются случайными унитарными каналами для кубитов и могут быть легко смоделированы. Другой тип канала - это канал, разрушающий запутанность, характеризующийся двудольными разделимыми состояниями Чоя. Эти каналы и программные состояния тривиальны, поскольку нет запутанности , и их можно смоделировать с использованием схемы подготовки измерений.

Подготовка программных состояний

Сейчас мы изучаем подготовку программных состояний, если они не предоставляются бесплатно.

Подготовка штатов Чой и программ

Состояние Чоя C нелегко подготовить с самого начала, а именно, это может потребовать операции E над состоянием Белла , а реализация самого E (например, с помощью расширенного унитарного) является нетривиальной задачей. Из расширения Стайнспринга мы знаем, что для этого требуется форма операторов Крауса, которые нелегко найти в общем случае, учитывая состояние Чоя. ${\displaystyle \vert \omega _{i}\rangle }$

Выпуклость и экстремальные каналы

Набор каналов кудита образует выпуклое тело. Это означает, что выпуклая сумма каналов все еще приводит к каналу, и существуют экстремальные каналы, которые не являются выпуклыми суммами других. По Чою, канал является экстремальным, если существует представление Крауса, такое, что набор линейно независим. Для кудита это означает, что ранг экстремального канала не превышает . Каналы ранга называются обобщенно-экстремальными каналами, здесь называемыми «генерально-экстремальными каналами». ${\displaystyle {K_{i}}}$ ${\displaystyle {K_{i}^{\dagger }K_{j}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r\leq d}$

Выпуклое суммирование разложения и случайные биты

Ясно видно, что gen-extreme, но не extreme канал является выпуклой суммой extreme каналов меньших рангов. Было высказано предположение и численно подтверждено, что произвольный канал может быть записан как выпуклая сумма не более gen-extreme каналов . Для этого требуется случайный dit. Для худшего случая верхняя граница для такой выпуклой суммы взята из теоремы Каратеодори о выпуклых множествах, которая просто стоит больше случайных dit. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{d}p_{i}E_{{\text{g}}_{i}}}$ ${\displaystyle d{\frac {4-d}{2}}}$

Снижение сложности квантовой схемы

Моделирование состава каналов gen-extreme

Для моделирования композиции , с каждым из рангов больше , следовательно, допуская выпукло-суммовую декомпозицию, необходимо сделать выборку композиции gen-extreme каналов. Мы обнаружили, что существует краткая форма состояний Чоя для gen-extreme каналов, которая может быть использована для непосредственного нахождения схемы, а также операторов Крауса. ${\displaystyle Q_{i}E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle d}$

Реализация квантовой схемы каналов и состояний Чоя для каналов gen-extreme

Состояние Choi для канала gen-extreme имеет ранг и . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r\leq d}$ ${\displaystyle {\text{tr}}AC=1,{\text{tr}}BC=E(1)}$

Оказывается, для для , и . ${\displaystyle C=\sum {ij}\vert ii\rangle \langle jj\vert \otimes C{ij}}$ ${\displaystyle C_{ij}:=E^{\dagger }(\vert ii\rangle \langle jj\vert )=\sum _{i}C_{i}U_{i}^{\dagger }U_{j}C_{j}}$ ${\displaystyle C_{i}\equiv C_{ii}}$ ${\displaystyle U_{i},U_{j}\in SU(d)}$

Заметим , что для изометрии . ${\displaystyle E^{\dagger }(\rho )=\sum _{ij}\rho _{ij}C_{ij}=V^{\dagger }(\rho \otimes 1)V}$ ${\displaystyle V=\sum _{i}\vert ii\rangle U_{i}{\sqrt {C_{i}}}}$

Вот вспомогательное состояние. Теперь мы покажем, что можно использовать для поиска квантовой схемы для реализации . Учитывая , мы можем найти унитарное расширение такое, что , и оно относится к каналу посредством , в то время как окончательная проекция находится на системе. Определим для шлюза обмена между системой и вспомогательным состоянием, которые имеют одинаковую размерность. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\vert 0\rangle =V}$ ${\displaystyle E^{\dagger }(\rho )=\langle 0\vert U^{\dagger }(\rho \otimes 1)U\vert 0\rangle }$ ${\displaystyle \vert 0\rangle \langle 0\vert }$ ${\displaystyle W={\text{swap}}\cdot U^{\dagger }}$

Затем находим , что означает, что это схема для реализации канала , как в стандартной схеме расширения. Операторы Крауса могут быть получены из нее как . ${\displaystyle E(\rho )={\text{tr}}_{W}(\rho \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert )}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{i}=\langle i\vert W\vert 0\rangle }$

Уменьшение сложности схемы

По сравнению со стандартным методом расширения (тензорного произведения) для моделирования общего канала, который требует двух вспомогательных qudit, метод выше требует меньших затрат на схему, поскольку ему требуется только один вспомогательный qudit вместо двух. В то время как разложение выпуклой суммы, которое является своего рода обобщенным разложением собственных значений , поскольку ген-экстремальное состояние Choi может быть отображено в чистое состояние, трудно решить для каналов большой размерности, оно должно быть сравнимо с разложением собственных значений состояния Choi для нахождения набора операторов Крауса. Оба разложения разрешимы для меньших систем.

Важно отметить, что это обсуждение фокусируется на основных компонентах модели и не затрагивает отказоустойчивость, поскольку она выходит за рамки этой модели. Мы предполагаем отказоустойчивые кубиты, вентили и измерения, которые могут быть достигнуты с помощью квантовых кодов исправления ошибок . Кроме того, мы выделяем две интригующие проблемы, которые устанавливают связи со стандартными фреймворками и результатами.

Связи со стандартными фреймворками и результатами

Телепортация универсального набора ворот

Вычисление универсально, если группа может быть реализована для любого целого числа . Обычный подход к достижению универсальности заключается в компиляции вентилей на основе универсальных наборов вентилей. Наш метод может быть использован для телепортации унитарных универсальных наборов вентилей. Рассмотрим популярный вентили Адамара , фазовые вентили , так называемые вентили , CNOT , CZ и вентили Тоффоли . Сразу же замечаешь, что все эти вентили являются симметричными матрицами . Мы видим выше, что симметричные унитарные операторы, для которых , могут быть телепортированы детерминированно, а побочным продуктом являются операторы Паули . Обратите внимание, что произведение симметричных матриц в общем случае не является симметричным. ${\displaystyle SU(2^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Z^{1/4}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U=U^{\dagger }}$

Легко проверить, что аффинные формы , , CNOT и CZ являются (обобщенными) перестановками, поскольку они являются вентилями Клиффорда , которые сохраняют группу Паули . Обобщенная перестановка — это перестановка, которая также допускает ввод модуля 1 помимо самой 1. Вентиль и вентиль Тоффоли не являются вентилями Клиффорда, и их аффинные формы не являются перестановками. Вместо этого их аффинные формы содержат вентиль типа Адамара в качестве подматрицы, что означает, что в картине Гейзенберга они способны генерировать суперпозиции операторов Паули . Этот факт также обобщается на случай кудита, в котором Адамар заменен операторами преобразования Фурье . Это служит интригующим фактом относительно происхождения вычислительной мощности квантовых вычислений . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Квантовые вычисления с хранимой программой

В этом подходе вводится модификация, позволяющая моделировать операцию с использованием обобщенной схемы телепортации ворот. Этот предлагаемый метод позволяет унитарно моделировать с использованием процессора , который зависит от состояния входной программы. ${\displaystyle U\vert d_{i}\rangle }$ ${\displaystyle U\vert d_{i}\rangle }$ ${\displaystyle G}$

Для симметричных матриц состояние программы достаточно для достижения желаемых результатов. Однако в общих случаях, когда , для детерминированной телепортации и композиции требуются оба состояния программы и . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \vert \psi _{U}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle U=U_{L}U_{R}}$ ${\displaystyle \vert \psi _{UL}\rangle _{i}}$ ${\displaystyle \vert \psi _{UR}\rangle _{i}}$

Ссылки

1. Чой, Ман-Дуэн (1975). «Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах». Линейная алгебра и ее приложения . 10 (3): 285–290. doi : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 .
2. Ямьолковский, Анджей (1972). «Линейные преобразования, сохраняющие след и положительную полуопределенность операторов». Reports on Mathematical Physics . 3 (4): 275–278. Bibcode :1972RpMP....3..275J. doi :10.1016/0034-4877(72)90011-0.
3. Цзян, Мин; Ло, Шуньлун; Фу, Шуаншуан (2013). «Двойственность канала-состояния». Физический обзор А. 87 (2): 022310. Бибкод : 2013PhRvA..87b2310J. дои : 10.1103/PhysRevA.87.022310 .