Классификация маломерных вещественных алгебр Ли

Этот список, связанный с математикой, содержит классификацию Мубаракзянова маломерных вещественных алгебр Ли , опубликованную на русском языке в 1963 году. ^[1] Он дополняет статью об алгебре Ли в области абстрактной алгебры .

Английская версия и обзор этой классификации были опубликованы Поповичем и др. ^[2] в 2003 году.

Классификация Мубаракзянова

Пусть – -мерная алгебра Ли над полем действительных чисел с образующими , . ^{[ необходимо пояснение ]} Для каждой алгебры мы приводим только ненулевые коммутаторы между базисными элементами. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle n\leq 4}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Одномерный

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$, абелев .

Двумерный

• ${\displaystyle 2{\mathfrak {g}}_{1}}$, абелев ; ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}}$, разрешимая , ${\displaystyle {\mathfrak {aff}}(1)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \right\}}$

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1}.}$

Трёхмерный

• ${\displaystyle 3{\mathfrak {g}}_{1}}$, абелев, Бьянки I ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый разрешимый, Бьянки III;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.1}}$, алгебра Гейзенберга–Вейля, нильпотентная, Бьянки II,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.2}}$, разрешимая, Бьянки IV,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}}$, разрешимая, Бьянки V,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}}$, разрешимая, Бьянки VI, алгебра Пуанкаре, когда , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}(1,1)}$ ${\displaystyle \alpha =-1}$

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$, разрешимая, Бьянки VII,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}}$, простой, Бьянки VIII, ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),}$

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}}$, простой, Бьянки IX, ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{2}]=e_{3}.}$

Алгебру можно рассматривать как крайний случай , когда , образуя контракцию алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$ ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$

Над полевыми алгебрами , изоморфны и , соответственно. ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}}$

Четырехмерный

• ${\displaystyle 4{\mathfrak {g}}_{1}}$, абелев;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus 2{\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle 2{\mathfrak {g}}_{2.1}}$, разложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1}\quad [e_{3},e_{4}]=e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый нильпотентный,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.2}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2}\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, неразрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, неразрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{3},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.1}}$, неразложимый нильпотентный,

${\displaystyle [e_{2},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.2}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\beta e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3},\quad \beta \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.3}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.4}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}+e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.5}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\gamma e_{3},\quad \alpha \beta \gamma \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.6}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\beta e_{3},\quad \alpha >0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.7}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.8}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=(1+\beta )e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\beta e_{3},\quad -1\leq \beta \leq 1;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.9}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\alpha e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\alpha e_{3},\quad \alpha \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.10}}$, неразложимый разрешимый,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{4}]=-e_{2},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}.}$

Алгебру можно рассматривать как крайний случай , когда , образуя контракцию алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.2}}$ ${\displaystyle \beta \rightarrow 0}$

Над полем алгебры , , , , изоморфны , , , , , соответственно. ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.6}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.9}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.10}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.5}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.8}}$ ${\displaystyle {2{\mathfrak {g}}}_{2.1}}$

Смотрите также

• Таблица групп Ли
• Простая группа Ли#Полная классификация

Примечания

1. Мубаракзянов 1963
2. Попович 2003

Ссылки

• Мубаракзянов, Г.М. (1963). «О разрешимых алгебрах Ли». Изв. Выс. Учеб. Завед. Математика (на русском языке). 1 (32): 114–123. МР  0153714. Збл  0166.04104.
• Popovych, RO; Boyko, VM; Nesterenko, MO; Lutfullin, MW; et al. (2003). "Realizations of real low-dimensional Lie algebras". J. Phys. A: Math. Gen . 36 (26): 7337–7360. arXiv : math-ph/0301029 . Bibcode :2003JPhA...36.7337P. doi :10.1088/0305-4470/36/26/309. S2CID  9800361.