Когерентность (гомотопическая теория)

Стандарт, которому диаграммы должны удовлетворять с точностью до изоморфизма

В математике , в частности в теории гомотопии и (высшей) теории категорий , когерентность — это стандарт, которому должны удовлетворять равенства или диаграммы , когда они верны « с точностью до гомотопии » или «с точностью до изоморфизма ».

Такие прилагательные, как «псевдо-» и «слабый-», используются для обозначения того факта, что равенства ослабляются согласованными способами; например, псевдофунктор , псевдоалгебра .

Когерентный изоморфизм

В некоторых ситуациях изоморфизмы необходимо выбирать согласованным образом. Часто этого можно добиться, выбрав канонические изоморфизмы . Но в некоторых случаях, например, в случае престеков , канонических изоморфизмов может быть несколько, и очевидный выбор среди них может отсутствовать.

На практике когерентные изоморфизмы возникают путем ослабления равенств; например, строгая ассоциативность может быть заменена ассоциативностью через когерентные изоморфизмы. Например, посредством этого процесса можно получить понятие слабой 2-категории из понятия строгой 2-категории .

Замена когерентных изоморфизмов равенствами обычно называется ректификацией или ректификацией.

Теорема когерентности

Теорема когерентности Маклейна , грубо говоря, гласит, что если диаграммы определенных типов коммутируют , то диаграммы всех типов коммутируют. ^[1] Простое доказательство этой теоремы можно получить с помощью пермутоассоциаэдра , многогранника , комбинаторная структура которого неявно появляется в доказательстве Маклейна. ^[2]

Существует несколько обобщений теоремы когерентности Маклейна. ^[3] Каждое из них имеет грубую форму: «всякая слабая структура некоторого вида эквивалентна более строгой». ^[4]

Гомотопическая когерентность

Смотрите также

• Условие когерентности
• Канонический изоморфизм

Примечания

1. Mac Lane 1978, Глава VII, Раздел 2
2. См. Капранов 1993 и Райнер и Циглер 1994.
3. См., например, теорему о когерентности (nlab)
4. Шульман 2012, Раздел 1

Ссылки

• Кордье, Жан-Марк; Портер, Тимоти (1997). «Гомотопическая когерентная теория категорий». Труды Американского математического общества . 349 (1): 1–54. doi : 10.1090/S0002-9947-97-01752-2 .
• § 5. Mac Lane, Saunders (январь 1976 г.). «Топология и логика как источник алгебры (обращение уходящего президента)». Бюллетень Американского математического общества . 82 (1): 1–40. doi : 10.1090/S0002-9904-1976-13928-6 .
• Mac Lane, Saunders (1978) [1971]. Категории для работающих математиков . Выпускные тексты по математике. Том 5. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-4721-8 . ISBN 978-1-4419-3123-8.
• Гл. 5 Кампс, Клаус Хайнер; Портер, Тимоти (апрель 1997 г.). Абстрактная гомотопия и простая гомотопическая теория . World Scientific. doi :10.1142/2215. ISBN 9810216025.
• Шульман, Майк (2012). «Не каждая псевдоалгебра эквивалентна строгой». Успехи в математике . 229 (3): 2024–2041. arXiv : 1005.1520 . doi : 10.1016/j.aim.2011.01.010 .
• Капранов, Михаил М. (1993). «Пермутоассоциаэдр, теорема о когерентности Маклейна и асимптотические зоны для уравнения КЗ». Журнал чистой и прикладной алгебры . 85 (2): 119–142. doi :10.1016/0022-4049(93)90049-Y.
• Райнер, Виктор; Циглер, Гюнтер М. (1994). «Коксетер-ассоциэдры». Математика . 41 (2): 364–393. дои : 10.1112/S0025579300007452.
• Портер, Тим (2001) [1994], «Гомотопическая когерентность», Энциклопедия математики , EMS Press
• Кордье, Жан-Марк (1982). «Сюр-ла-понятие когерентной гомотопической диаграммы». Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 23 (1): 93–112. ISSN  1245-530Х.

Дальнейшее чтение

• Сондерс Маклейн, Топология и логика как источник алгебры (обращение уходящего президента), Бюллетень AMS 82:1, январь 1976 г.

Внешние ссылки

• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+coherent+diagram
• https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/01/the-strictification-theorem/