Критерий неприводимости Кона

Достаточное условие для того, чтобы многочлен был неразложимым

Критерий неприводимости Кона является достаточным условием для того, чтобы многочлен был неприводимым в , то есть чтобы его нельзя было разложить на множители в виде произведения многочленов низшей степени с целыми коэффициентами . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Заявление

Критерий часто формулируется следующим образом:

Если простое число выражено в десятичной системе счисления как (где ), то многочлен ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{1}10+a_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq 9}$

${\displaystyle f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

неприводим в . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Теорему можно обобщить на другие базы следующим образом:

Предположим, что — натуральное число , а — многочлен, такой что . Если — простое число, то — неприводимо в . ^[1] ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b-1}$ ${\displaystyle p(b)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

История и расширения

Версия теоремы с основанием 10 приписывается Кону Полиа и Сегё в «Проблемах и теоремах анализа» ^[2], тогда как обобщение на любое основание b принадлежит Брилхарту, Филасете и Одлыжко . ^[3] Из контекста ясно, что «А. Кон», упомянутый Полиа и Сегё, — это Артур Кон (1894–1940), ученик Иссаи Шура , получивший докторскую степень в Университете Фредерика Вильгельма в 1921 году. ^{[4] [5]}

Дальнейшее обобщение теоремы, допускающее коэффициенты, большие, чем цифры, было дано Филасетой и Гроссом. ^[6] В частности, пусть будет многочленом с неотрицательными целыми коэффициентами, таким, что является простым числом. Если все коэффициенты равны 49598666989151226098104244512918, то является неприводимым над . Более того, они доказали, что эта граница также является точной. Другими словами, коэффициенты, большие 49598666989151226098104244512918, не гарантируют неприводимости. Метод Филасеты и Гросса был также обобщен для предоставления аналогичных точных границ для некоторых других базисов Коулом, Данном и Филасетой. ^[7] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(10)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Аналог теоремы справедлив также для полей алгебраических функций над конечными полями . ^[1]

Конверс

Обратным к этому критерию является то, что если p — неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, имеющими наибольший общий делитель 1, то существует основание, такое, что коэффициенты p образуют представление простого числа в этом основании. Это гипотеза Буняковского , и ее истинность или ложность остается открытым вопросом. ^[1]

Смотрите также

• Критерий Эйзенштейна
• Критерий неприводимости Перрона

Ссылки

1. Murty, Ram (2002). «Простые числа и неприводимые многочлены» (PDF) . American Mathematical Monthly . 109 (5): 452–458. CiteSeerX  10.1.1.225.8606 . doi :10.2307/2695645. JSTOR  2695645.(файл dvi)
2. Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1925). Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd 2 . Шпрингер, Берлин. ОСЛК  73165700.Английский перевод: Полиа, Джордж; Сегё, Габор (2004). Проблемы и теоремы анализа, том 2 . Том. 2. Спрингер. п. 137. ИСБН 978-3-540-63686-1.
3. Бриллхарт, Джон ; Филасета, Майкл; Одлызко, Андрей (1981). «Об одной теореме А. Кона о неприводимости». Канадский математический журнал . 33 (5): 1055–1059. дои : 10.4153/CJM-1981-080-0 .
4. Запись Артура Кона в проекте «Генеалогия математики»
5. Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2009). Математики, бегущие из нацистской Германии: индивидуальные судьбы и глобальные последствия . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 346. ИСБН 9781400831401.
6. Филасета, Майкл; Гросс, Сэмюэл С. (2014). "49598666989151226098104244512918". Журнал теории чисел . 137 : 16–49. doi : 10.1016/j.jnt.2013.11.001 .
7. Коул, Морган; Данн, Скотт; Филасета, Майкл (2016). «Дополнительные критерии неприводимости для многочленов с неотрицательными коэффициентами». Acta Arithmetica . 175 : 137–181. doi :10.4064/aa8376-5-2016.

Внешние ссылки

• «Критерий неприводимости А. Кона». PlanetMath .