В теории вероятностей дополнением любого события A является событие [не A ], т. е. событие, при котором A не происходит. [1] Событие A и его дополнение [не A ] являются взаимоисключающими и исчерпывающими . Как правило, существует только одно событие B, такое что A и B являются взаимоисключающими и исчерпывающими; это событие является дополнением A. Дополнение события A обычно обозначается как A′ , A c , A или A. При наличии события событие и его дополнительное событие определяют испытание Бернулли : произошло событие или нет?
Например, если подбросить типичную монету и предположить, что она не может упасть на ребро, то она может упасть либо «орлом», либо «решкой». Поскольку эти два результата являются взаимоисключающими (т. е. монета не может одновременно показать и орел, и решку) и в совокупности исчерпывающими (т. е. нет других возможных результатов, не представленных между этими двумя), они, следовательно, являются дополнениями друг друга. Это означает, что [орёл] логически эквивалентно [не решка], а [решка] эквивалентно [не орел].
В случайном эксперименте вероятности всех возможных событий ( выборочное пространство ) должны в сумме равняться 1, то есть некоторый результат должен иметь место в каждом испытании. Для того чтобы два события были дополнениями, они должны быть коллективно исчерпывающими , вместе заполняя все выборочное пространство. Следовательно, вероятность дополнения события должна быть равна единице минус вероятность события. [2] То есть, для события A ,
Эквивалентно, вероятности события и его дополнения всегда должны в сумме давать 1. Однако это не означает, что любые два события, вероятности которых в сумме дают 1, являются дополнениями друг друга; дополнительные события также должны удовлетворять условию взаимоисключаемости .
Предположим, что кто-то бросает обычную шестигранную игральную кость восемь раз. Какова вероятность того, что он увидит «1» хотя бы один раз?
Может возникнуть соблазн сказать, что
Этот результат не может быть правильным, поскольку вероятность не может быть больше 1. Метод неверен, поскольку восемь событий, вероятности которых были сложены, не являются взаимоисключающими.
Это перекрытие можно разрешить с помощью принципа включения-исключения или, в данном случае, просто найдя вероятность дополнительного события и вычтя ее из 1, таким образом:
