Полное частное

В метрической теории правильных непрерывных дробей k - й полный частное ζ _k получается путем игнорирования первых k частичных знаменателей a _i . Например, если правильная непрерывная дробь задана как

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}},}$

тогда последовательные полные частные ζ _k задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{0}&=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]\\\zeta _{1}&=[a_{1};a_{2},a_{3},a_{4},\dots ]\\\zeta _{2}&=[a_{2};a_{3},a_{4},a_{5},\dots ]\\\zeta _{k}&=[a_{k};a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},\dots ].\,\end{aligned}}}$

Рекурсивная связь

Из данного выше определения можно сразу сделать вывод, что

${\displaystyle \zeta _{k}=a_{k}+{\frac {1}{\zeta _{k+1}}}=[a_{k};\zeta _{k+1}],\,}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \zeta _{k+1}={\frac {1}{\zeta _{k}-a_{k}}}.\,}$

Полные частные и подходящие дробих

Обозначая последовательные подходящие дроби правильной цепной дроби x  = [ a ₀ ;  a ₁ ,  a ₂ , …] через A ₀ ,  A ₁ / B ₁ ,  A ₂ / B ₂ , … (как более подробно объяснено в статье « Фундаментальные рекуррентные формулы »), можно показать, что

${\displaystyle x={\frac {A_{k}\zeta _{k+1}+A_{k-1}}{B_{k}\zeta _{k+1}+B_{k-1}}}\,}$

для всех k ≥ 0.

Этот результат можно лучше понять, вспомнив, что последовательные подходящие дроби бесконечной правильной цепной дроби приближаются к значению x по своего рода зигзагообразной схеме:

${\displaystyle A_{0}<{\frac {A_{2}}{B_{2}}}<{\frac {A_{4}}{B_{4}}}<\cdots <{\frac {A_{2n}}{B_{2n}}}<x<{\frac {A_{2n+1}}{B_{2n+1}}}<\cdots <{\frac {A_{5}}{B_{5}}}<{\frac {A_{3}}{B_{3}}}<{\frac {A_{1}}{B_{1}}}.\,}$

так что когда k четное, мы имеем A _k / B _k  <  x  <  A _{k +1} / B _{k +1} , а когда k нечетное, мы имеем A _{k +1} / B _{k +1}  <  x  <  A _k / B _k . В любом случае k  + 1-е полное частное ζ _{k +1} является единственным действительным числом, которое выражает x в виде полусходящейся дроби .

Полные частные и эквивалентные им действительные числа

Отношение эквивалентности, определяемое LFT

Рассмотрим набор дробно-линейных преобразований (ДЛП), определяемый формулой

${\displaystyle f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,}$

где a , b , c и d — целые числа , а ad  −  bc  = ±1. Поскольку этот набор LFT содержит единичный элемент (0 +  x )/1 и поскольку он замкнут относительно композиции функций , а каждый член набора имеет обратный элемент в этом наборе, эти LFT образуют группу (групповая операция — это композиция функций), GL(2, Z ) .

Мы можем определить отношение эквивалентности на множестве действительных чисел с помощью этой группы дробно-линейных преобразований. Мы будем говорить, что два действительных числа x и y эквивалентны (записывается как x  ~  y ), если

${\displaystyle y=f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,}$

для некоторых целых чисел a , b , c и d, таких что ad  −  bc = ±1.

Очевидно, что это отношение симметрично, рефлексивно и транзитивно, поэтому оно является отношением эквивалентности и может быть использовано для разделения действительных чисел на классы эквивалентности . Все рациональные числа эквивалентны, поскольку каждое рациональное число эквивалентно нулю. Что можно сказать об иррациональных числах ? Попадают ли они также в один класс эквивалентности?

Теорема об «эквивалентных» иррациональных числах

Два иррациональных числа x и y эквивалентны по этой схеме тогда и только тогда, когда бесконечно длинные «хвосты» в их разложениях в виде правильных цепных дробей в точности одинаковы. Точнее, можно доказать следующую теорему.

Пусть x и y — два иррациональных (действительных) числа, и пусть k -е полное частное в разложении x и y в правильную цепную дробь обозначается ζ _k и ψ _k соответственно. Тогда x  ~  y (при эквивалентности, определенной в предыдущем разделе) тогда и только тогда, когда существуют положительные целые числа m и n, такие что ζ _m  = ψ _n .

Пример

Золотое сечение φ — это иррациональное число с простейшим возможным разложением в цепную дробь: φ = [1; 1, 1, 1, …]. Теорема гласит, что если x — любое действительное число, разложение в цепную дробь которого содержит бесконечную строку [1, 1, 1, 1, …], то существуют целые числа a , b , c и d (при этом ad  −  bc  = ±1) такие, что

${\displaystyle x={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}.\,}$

Наоборот, если a , b , c и d — целые числа (при этом ad  −  bc  = ±1), то правильное разложение в цепную дробь каждого действительного числа y , которое можно выразить в виде

${\displaystyle y={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}\,}$

в конечном итоге достигает «хвоста», который выглядит так же, как обычная цепная дробь для φ.

Ссылки

• Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992). Continued Fractions . World Scientific. стр. 4–8. ISBN 981-02-1052-3.