Вогнутая функция

Отрицательная выпуклая функция

В математике вогнутая функция — это функция, для которой значение функции в любой выпуклой комбинации элементов в области определения больше или равно этой выпуклой комбинации этих элементов области определения. Эквивалентно, вогнутая функция — это любая функция, для которой гипограф является выпуклым. Класс вогнутых функций в некотором смысле противоположен классу выпуклых функций . Вогнутая функция также синонимично называется вогнутой вниз , вогнутой вниз , выпуклой вверх , выпуклой крышкой или верхней выпуклой .

Определение

Действительная функция на интервале (или, в более общем смысле, выпуклое множество в векторном пространстве ) называется вогнутой , если для любых и в интервале и для любых , ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Функция называется строго вогнутой, если

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

для любого и . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

Для функции это второе определение просто утверждает, что для каждого значения строго между и точка на графике находится выше прямой линии, соединяющей точки и . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (z,f(z))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y))}$

Функция является квазивогнутой , если верхние контурные множества функции являются выпуклыми множествами. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$

Характеристики

Кубическая функция является вогнутой (левая половина), когда ее первая производная (красная) монотонно убывает, т.е. ее вторая производная (оранжевая) отрицательна, и выпуклой (правая половина), когда ее первая производная монотонно возрастает, т.е. ее вторая производная положительна.

Функции одной переменной

1. Дифференцируемая функция f является (строго) вогнутой на интервале тогда и только тогда, когда ее производная функция f ′ является (строго) монотонно убывающей на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающий (убывающий) наклон . ^{[3] [4]}
2. Точки , где вогнутость меняется (между вогнутостью и выпуклостью ), являются точками перегиба . ^[5]
3. Если f дважды дифференцируема , то f вогнута тогда и только тогда, когда f ′′ неположительна (или, неформально, если « ускорение» неположительно). Если f ′′ отрицательна , то f строго вогнута , но обратное неверно, как показывает f ( x ) = − x ⁴ .
4. Если f вогнута и дифференцируема, то она ограничена сверху своим приближением Тейлора первого порядка : ^[2] $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$$
5. Измеримая по Лебегу функция на интервале C является вогнутой тогда и только тогда, когда она является вогнутой в средней точке, то есть для любых x и y в C $${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$$
6. Если функция f вогнута и f (0) ≥ 0 , то f субаддитивна на . Доказательство: ${\displaystyle [0,\infty )}$
   • Так как f вогнута и 1 ≥ t ≥ 0 , то, положив y = 0, мы имеем $${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$$
   • Для : ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$ $${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

Функциинпеременные

1. Функция f является вогнутой над выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция −f является выпуклой функцией над этим множеством.
2. Сумма двух вогнутых функций сама по себе вогнута, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, т.е. множество вогнутых функций на данной области образует полуполе .
3. Вблизи строгого локального максимума внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; как частичное обратное утверждение, если производная строго вогнутой функции равна нулю в некоторой точке, то эта точка является локальным максимумом.
4. Любой локальный максимум вогнутой функции также является глобальным максимумом . Строго вогнутая функция будет иметь не более одного глобального максимума.

Примеры

• Функции и вогнуты на своих областях определения, так как их вторые производные и всегда отрицательны. ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle f''(x)=-2}$ ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$
• Функция логарифма является вогнутой на своей области определения , поскольку ее производная является строго убывающей функцией. ${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
• Любая аффинная функция является как вогнутой, так и выпуклой, но не является ни строго вогнутой, ни строго выпуклой. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$
• Функция синуса вогнута на интервале . ${\displaystyle [0,\pi ]}$
• Функция , где — определитель неотрицательно -определенной матрицы B , является вогнутой. ^[6] ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$ ${\displaystyle |B|}$

Приложения

• Искривление лучей при расчете затухания радиоволн в атмосфере подразумевает вогнутые функции.
• В теории ожидаемой полезности для выбора в условиях неопределенности кардинальные функции полезности лиц , принимающих решения , не склонных к риску, являются вогнутыми.
• В микроэкономической теории производственные функции обычно предполагаются вогнутыми в некоторых или во всех своих областях, что приводит к убывающей отдаче от факторов производства. ^[7]
• В термодинамике и теории информации энтропия является вогнутой функцией. В случае термодинамической энтропии без фазового перехода энтропия как функция экстенсивных переменных является строго вогнутой. Если система может претерпеть фазовый переход и если ей разрешено разделиться на две подсистемы с различной фазой ( разделение фаз , например, кипение), максимальные по энтропии параметры подсистем приведут к объединенной энтропии точно на прямой линии между двумя фазами. Это означает, что «эффективная энтропия» системы с фазовым переходом является выпуклой оболочкой энтропии без разделения фаз; следовательно, энтропия системы, включающей разделение фаз, будет нестрого вогнутой. ^[8]

Смотрите также

• Вогнутый многоугольник
• Неравенство Йенсена
• Логарифмически вогнутая функция
• Квазивогнутофункция
• Конкавификация

Ссылки

1. Ленхарт, С.; Воркман, Дж. Т. (2007). Оптимальное управление, применяемое к биологическим моделям . Серия «Математическая и вычислительная биология». Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
2. Varian, Hal R. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Norton. стр. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC  24847759.
3. Рудин, Уолтер (1976). Анализ . стр. 101.
4. Градштейн, И.С.; Рыжик, И.М.; Хейс, Д.Ф. (1976-07-01). "Таблица интегралов, рядов и произведений". Журнал технологии смазки . 98 (3): 479. doi : 10.1115/1.3452897 . ISSN  0022-2305.
5. Хасс, Джоэл (13 марта 2017 г.). Исчисление Томаса. Хейл, Кристофер, 1960-, Вейр, Морис Д., Томас, Джордж Б. младший (Джордж Бринтон), 1914-2006. (Четырнадцатое изд.). [Соединенные Штаты]. стр. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC  965446428.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
6. Кавер, Томас М.; Томас, JA (1988). «Определяющие неравенства через теорию информации». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 9 (3): 384–392. doi :10.1137/0609033. S2CID  5491763.
7. Пембертон, Малкольм; Рау, Николас (2015). Математика для экономистов: вводный учебник. Oxford University Press. С. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.
8. Каллен, Герберт Б.; Каллен, Герберт Б. (1985). "8.1: Внутренняя устойчивость термодинамических систем". Термодинамика и введение в термостатику (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. С. 203–206. ISBN 978-0-471-86256-7.

Дополнительные ссылки

• Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость». В Дурлауф, Стивен Н.; Блюм, Лоуренс Э. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Palgrave Macmillan. стр. 815–816. doi :10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Рао, Сингиресу С. (2009). Инженерная оптимизация: теория и практика . John Wiley and Sons. стр. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.