Конформный радиус

В математике конформный радиус — это способ измерения размера односвязной плоской области D, рассматриваемой из точки z в ней. В отличие от понятий, использующих евклидово расстояние (например, радиус наибольшего вписанного диска с центром z ), это понятие хорошо подходит для использования в комплексном анализе , в частности в конформных отображениях и конформной геометрии .

Тесно связанным понятием является трансфинитный диаметр или (логарифмическая) емкость компактного односвязного множества D , который можно рассматривать как величину, обратную конформному радиусу дополнения E = D c ^, рассматриваемого из бесконечности .

Определение

Если задана односвязная область D ⊂ C и точка z ∈ D , то по теореме об отображении Римана существует единственное конформное отображение f  : D → D на единичный круг (обычно называемое униформизирующим отображением ) с f ( z ) = 0 ∈ D и f ′( z ) ∈ R ₊ . Тогда конформный радиус D из z определяется как

${\displaystyle \operatorname {rad} (z,D):={\frac {1}{f'(z)}}\,.}$

Простейший пример — конформный радиус диска радиуса r, рассматриваемый из его центра, также равен r , что показано униформизирующим отображением x ↦ x / r . Ниже приведены дополнительные примеры.

Одной из причин полезности этого понятия является то, что оно хорошо ведет себя при конформных отображениях: если φ : D → D ′ является конформной биекцией и z в D , то . ${\displaystyle \operatorname {rad} (\varphi (z),D')=|\varphi '(z)|\operatorname {rad} (z,D)}$

Конформный радиус также можно выразить как , где — гармоническое расширение от до . ${\displaystyle \exp(\xi _{x}(x))}$ ${\displaystyle \xi _{x}(y)}$ ${\displaystyle \log(|x-y|)}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D}$

Особый случай: верхняя полуплоскость

Пусть K ⊂ H — подмножество верхней полуплоскости, такое что D  := H \ K связно и односвязно, и пусть z ∈ D — точка. (Это обычный сценарий, скажем, в эволюции Шрамма–Лёвнера ). По теореме об отображении Римана существует конформная биекция g  : D → H . Тогда для любого такого отображения g простое вычисление дает, что

${\displaystyle \operatorname {rad} (z,D)={\frac {2\operatorname {Im} (g(z))}{|g'(z)|}}\,.}$

Например, когда K = ∅ и z = i , то g может быть тождественным отображением, и мы получаем rad( i , H ) = 2. Проверяем, что это согласуется с исходным определением: униформизирующее отображение f  : H → D равно

${\displaystyle f(z)=i{\frac {z-i}{z+i}},}$

и тогда производную можно легко вычислить.

Отношение к внутреннему радиусу

То, что это хорошая мера радиуса, показывает следующее непосредственное следствие леммы Шварца и теоремы Кёбе 1/4 : для z ∈ D ⊂ C ,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {rad} (z,D)}{4}}\leq \operatorname {dist} (z,\partial D)\leq \operatorname {rad} (z,D),}$

где dist( z , ∂ D ) обозначает евклидово расстояние между z и границей D , или, другими словами, радиус наибольшего вписанного диска с центром z .

Оба неравенства являются наилучшими из возможных:

Верхняя граница, очевидно, достигается, если принять D = D и z = 0.

Нижняя граница достигается следующей «щелевой областью»: D = C \ R ₊ и z = − r ∈ R ₋ . Квадратное корневое отображение φ переводит D в верхнюю полуплоскость H , с и производной . Вышеприведенная формула для верхней полуплоскости дает , а затем формула для преобразования при конформных отображениях дает rad(− r , D ) = 4 r , в то время как, конечно, dist(− r , ∂ D ) = r . ${\displaystyle \varphi (-r)=i{\sqrt {r}}}$ ${\displaystyle |\varphi '(-r)|={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}}$

Версия из бесконечности: трансфинитный диаметр и логарифмическая емкость

Когда D ⊂ C — связный, односвязный компакт, то его дополнение E = D ^c — связная, односвязная область в сфере Римана , которая содержит ∞ ^{[ требуется ссылка ]} , и можно определить

${\displaystyle \operatorname {rad} (\infty ,D):={\frac {1}{\operatorname {rad} (\infty ,E)}}:=\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z}},}$

где f  : C \ D → E — единственное биективное конформное отображение с f(∞) = ∞, и этот предел является положительным вещественным числом, т.е. конформное отображение вида

${\displaystyle f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\cdots ,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.}$

Коэффициент c ₁ = rad(∞, D ) равен трансфинитному диаметру и (логарифмической) емкости D ; см. главу 11 Поммеренке (1975) и Кузьминой (2002) .

Коэффициент c ₀ называется конформным центром D. Можно показать, что он лежит в выпуклой оболочке D ; более того,

${\displaystyle D\subseteq \{z:|z-c_{0}|\leq 2c_{1}\}\,,}$

где радиус 2 c ₁ является острым для отрезка прямой длиной 4 c ₁ . См. страницы 12–13 и главу 11 Pommerenke (1975).

Константы Фекете, Чебышева и модифицированные константы Чебышева

Мы определяем три другие величины, которые равны трансфинитному диаметру, хотя они определены с совершенно другой точки зрения. Пусть

${\displaystyle d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k}|z_{i}-z_{j}|}$

Обозначим произведение попарных расстояний точек и определим следующую величину для компактного множества D ⊂ C : ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$

${\displaystyle d_{n}(D):=\sup _{z_{1},\ldots ,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots ,z_{n})^{1\left/{\binom {n}{2}}\right.}}$

Другими словами, является супремумом геометрического среднего попарных расстояний n точек в D. Поскольку D компактно, этот супремум фактически достигается набором точек. Любой такой набор из n точек называется набором Фекете . ${\displaystyle d_{n}(D)}$

Предел существует и называется константой Фекете . ${\displaystyle d(D):=\lim _{n\to \infty }d_{n}(D)}$

Теперь обозначим множество всех монических многочленов степени n в C [ x ], обозначим множество многочленов в со всеми нулями в D и определим ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$

${\displaystyle \mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$и ${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$

Тогда пределы

${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{1/n}}$и ${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{1/n}}$

существуют и называются постоянной Чебышева и модифицированной постоянной Чебышева соответственно. Михаэль Фекете и Габор Сегё доказали, что эти константы равны.

Приложения

Конформный радиус является очень полезным инструментом, например, при работе с эволюцией Шрамма–Лёвнера . Прекрасный пример можно найти в Lawler, Schramm & Werner (2002).

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1973). Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций . Серия по высшей математике. McGraw-Hill. MR  0357743. Zbl  0272.30012.
• Хорват, Янош, ред. (2005). Панорама венгерской математики в двадцатом веке, I. Математические исследования общества Бойяи. Springer. ISBN 3-540-28945-3.
• Кузьмина, Г.В. (2002) [1994], "Конформный радиус области", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Лоулер, Грегори Ф.; Шрамм , Одед ; Вернер, Венделин (2002), "Одноплечая экспонента для критической двумерной перколяции", Electronic Journal of Probability , 7 (2): 13 стр., arXiv : math/0108211 , doi : 10.1214/ejp.v7-101, ISSN  1083-6489, MR  1887622, ​​Zbl  1015.60091
• Поммеренке, Кристиан (1975). Одновалентные функции . Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher. Том. Группа XXV. С главой Герда Йенсена о квадратных дифференциалах. Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. Збл  0298.30014.

Дальнейшее чтение

• Румели, Роберт С. (1989), Теория ёмкости на алгебраических кривых , Lecture Notes in Mathematics, т. 1378, Берлин и т. д.: Springer-Verlag , ISBN 3-540-51410-4, ЗБЛ  0679.14012

Внешние ссылки

• Пух, Чарльз, Конформный радиус. Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком В. Вайсштейном.