В математике представления основных серий некоторых видов топологической группы G встречаются в случае, когда G не является компактной группой . Там, по аналогии со спектральной теорией , ожидается, что регулярное представление G будет разлагаться в соответствии с некоторым непрерывным спектром представлений, включающих непрерывный параметр, а также дискретный спектр . Представления основных серий — это некоторые индуцированные представления, построенные единообразно, чтобы заполнить непрерывную часть спектра.
Более подробно, унитарное дуальное — это пространство всех представлений, имеющих отношение к разложению регулярного представления. Дискретная серия состоит из «атомов» унитарного дуального (точек, несущих меру Планшереля > 0). В самых ранних изученных примерах остальная часть (или большая часть) унитарного дуального могла быть параметризована, начиная с подгруппы H группы G , более простой, но не компактной, и строя индуцированные представления с использованием представлений H , которые были доступны в том смысле, что их было легко записать, и включали параметр. (Такой индукционный процесс может производить представления, которые не являются унитарными.)
Для случая полупростой группы Ли G подгруппа H строится исходя из разложения Ивасавы
с K — максимальной компактной подгруппой . Тогда H выбирается так, чтобы содержать AN (которая является некомпактной разрешимой группой Ли ), принимая ее за
с M — централизатором в K группы A . Рассматриваются представления ρ группы H , которые являются неприводимыми, унитарными и являются тривиальным представлением на подгруппе N . (Предполагая случай M тривиальной группы, такие ρ являются аналогами представлений группы диагональных матриц внутри специальной линейной группы .) Индуцированные представления таких ρ составляют основную серию. Сферическая главная серия состоит из представлений, индуцированных из одномерных представлений MAN , полученных путем расширения характеров A с помощью гомоморфизма MAN на A .
Могут существовать и другие непрерывные серии представлений, имеющие отношение к унитарному дуальному: как следует из их названия, основные серии являются «главным» вкладом.
Было обнаружено, что этот тип конструкции применим к группам G , которые не являются группами Ли (например, конечные группы типа Ли , группы над p-адическими полями ).
Примеры см. в теории представлений SL 2 (R) . Для общей линейной группы GL 2 над локальным полем размерность модуля Жаке представления главной серии равна двум. [1]