Сходящаяся матрица

Матрица, которая сходится к нулевой матрице

В линейной алгебре сходящаяся матрица — это матрица, которая сходится к нулевой матрице при возведении матрицы в степень .

Фон

Когда последовательные степени матрицы T становятся малыми (то есть когда все элементы T стремятся к нулю при возведении T в последовательные степени), матрица T сходится к нулевой матрице. Регулярное разбиение невырожденной матрицы A приводит к сходящейся матрице T. Полусходящееся разбиение матрицы A приводит к полусходящейся матрице T. Общий итерационный метод сходится для каждого начального вектора, если T сходится, и при определенных условиях, если T полусходится.

Определение

Мы называем матрицу T размера n × n сходящейся матрицей , если

для каждого i = 1, 2, ..., n и j = 1, 2, ..., n . ^{[1] [2] [3]}

Пример

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Вычисляя последовательные степени T , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

и, в общем,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

С

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0}$

и

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,}$

T — сходящаяся матрица. Обратите внимание, что ρ ( T ) = ⁠1/4⁠ , где ρ ( T ) представляет собой спектральный радиус T, так как ⁠1/4⁠ — единственное собственное значение T.

Характеристика

Пусть T — матрица n × n . Следующие свойства эквивалентны тому, что T является сходящейся матрицей:

1. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$для некоторой естественной нормы;
2. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,}$для всех естественных норм;
3. ${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1}$;
4. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$для каждого x . ^{[4] [5] [6] [7]}

Итерационные методы

Общий итерационный метод включает в себя процесс, который преобразует систему линейных уравнений

в эквивалентную систему вида

для некоторой матрицы T и вектора c . После выбора начального вектора x ⁽⁰⁾ последовательность векторов приближенного решения генерируется путем вычисления

для каждого k ≥ 0. ^{[8] [9]} Для любого начального вектора x ⁽⁰⁾ ∈ последовательность, определенная формулой ( 4 ), для каждого k ≥ 0 и c ≠ 0, сходится к единственному решению ( 3 ) тогда и только тогда, когда ρ ( T ) < 1, то есть T является сходящейся матрицей. ^{[10] [11]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }}$

Регулярное расщепление

Матричное расщепление — это выражение, которое представляет данную матрицу как сумму или разность матриц. В системе линейных уравнений ( 2 ) выше, с невырожденной матрицей A , матрица A может быть расщеплена, то есть записана как разность

так что ( 2 ) можно переписать как ( 4 ) выше. Выражение ( 5 ) является регулярным разбиением A тогда и только тогда, когда B ⁻¹ ≥ 0 и C ≥ 0 , то есть B ⁻¹ и C имеют только неотрицательные элементы. Если разбиение ( 5 ) является регулярным разбиением матрицы A и A ⁻¹ ≥ 0 , то ρ ( T ) < 1 и T является сходящейся матрицей. Следовательно, метод ( 4 ) сходится. ^{[12] [13]}

Полусходящаяся матрица

Мы называем матрицу T размера n × n полусходящейся матрицей , если предел

существует. ^[14] Если A возможно сингулярно, но ( 2 ) согласовано, то есть b находится в диапазоне A , то последовательность, определенная ( 4 ), сходится к решению ( 2 ) для каждого x ⁽⁰⁾ ∈ тогда и только тогда, когда T полусходится. В этом случае расщепление ( 5 ) называется полусходящимся расщеплением A . ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Смотрите также

• Метод Гаусса–Зейделя
• метод Якоби
• Список матриц
• Нильпотентная матрица
• Последовательное чрезмерное расслабление

Примечания

1. Бремя и ярмарки (1993, стр. 404)
2. Айзексон и Келлер (1994, стр. 14)
3. Варга (1962, стр. 13)
4. Бремя и ярмарки (1993, стр. 404)
5. Айзексон и Келлер (1994, стр. 14, 63)
6. Варга (1960, стр. 122)
7. Варга (1962, стр. 13)
8. Бремя и ярмарки (1993, стр. 406)
9. Варга (1962, стр. 61)
10. Бремя и ярмарки (1993, стр. 412)
11. Айзексон и Келлер (1994, стр. 62–63)
12. Варга (1960, стр. 122–123)
13. Варга (1962, стр. 89)
14. Мейер и Племмонс (1977, стр. 699)
15. Мейер и Племмонс (1977, стр. 700)

Ссылки

• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3.
• Айзексон, Юджин; Келлер, Герберт Бишоп (1994), Анализ численных методов , Нью-Йорк: Довер , ISBN 0-486-68029-0.
• Карл Д. Мейер, младший; Р. Дж. Племмонс (сентябрь 1977 г.). «Сходящиеся степени матрицы с приложениями к итерационным методам для сингулярных линейных систем». Журнал SIAM по численному анализу . 14 (4): 699–705. doi :10.1137/0714047.
• Варга, Ричард С. (1960). «Факторизация и нормализованные итерационные методы». В Langer, Рудольф Э. (ред.). Граничные задачи в дифференциальных уравнениях . Мэдисон: Издательство Висконсинского университета . С. 121–142. LCCN  60-60003.
• Варга, Ричард С. (1962), Матричный итеративный анализ , Нью-Джерси: Prentice–Hall , LCCN  62-21277.