В теории порядка говорят , что частично упорядоченное множество X удовлетворяет условию счетной цепи или является ccc , если каждая сильная антицепь в X счетна .
На самом деле есть два условия: условия счетной цепи вверх и вниз . Они не эквивалентны. Условие счетной цепи означает условие счетной цепи вниз, другими словами, никакие два элемента не имеют общей нижней границы.
Это называется «условием счетной цепи», а не более логичным термином «условием счетной антицепи» по историческим причинам, связанным с определенными цепями открытых множеств в топологических пространствах и цепями в полных булевых алгебрах, где условия цепей иногда оказываются эквивалентными условиям антицепи. условия. Например, если κ является кардиналом, то в полной булевой алгебре каждая антицепь имеет размер меньше κ тогда и только тогда, когда не существует нисходящей κ-последовательности элементов, поэтому условия цепочки эквивалентны условиям антицепи.
Частичные порядки и пространства, удовлетворяющие ccc, используются в формулировке аксиомы Мартина .
В теории форсирования используются частичные порядки ccc, потому что форсирование с любым общим набором в таком порядке сохраняет кардиналы и конфинальности. Более того, свойство ccc сохраняется за счет итераций с конечной поддержкой (см. итерированное форсирование ). Дополнительную информацию о ccc в контексте форсирования см. в разделе Форсирование (теория множеств) § Условие счетной цепи .
В более общем смысле, если κ является кардиналом, то говорят, что ЧУУ удовлетворяет условию κ-цепи , если каждая антицепь имеет размер меньше κ. Условие счетной цепи — это условие ℵ 1 -цепи.
Говорят , что топологическое пространство удовлетворяет условию счетной цепи или условию Суслина, если частично упорядоченное множество непустых открытых подмножеств X удовлетворяет условию счетной цепи , т . е . каждая попарно непересекающаяся совокупность непустых открытых подмножеств X является счетной. . Название происходит от «Проблемы Суслина» .
