Принцип минимакса Куранта

В математике принцип минимакса Куранта даёт собственные значения действительной симметричной матрицы . Он назван в честь Ричарда Куранта .

Введение

Принцип минимакса Куранта дает условие нахождения собственных значений для действительной симметричной матрицы. Принцип минимакса Куранта выглядит следующим образом:

Для любой действительной симметричной матрицы A ,

${\displaystyle \lambda _{k}=\min \limits _{C}\max \limits _{{\|x\|=1},{Cx=0}}\langle Ax,x\rangle ,}$

где есть любая матрица. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (k-1)\times n}$

Обратите внимание, что вектор x является собственным вектором соответствующего собственного значения  λ .

Принцип минимакса Куранта является результатом теоремы максимума, которая гласит, что для , A — вещественная симметричная матрица, наибольшее собственное значение определяется выражением , где — соответствующий собственный вектор. Также (в теореме максимума) последующие собственные значения и собственные векторы находятся по индукции и ортогональны друг другу; следовательно, при . ${\displaystyle q(x)=\langle Ax,x\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\max _{\|x\|=1}q(x)=q(x_{1})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}=\max q(x_{k})}$ ${\displaystyle \langle x_{j},x_{k}\rangle =0,\ j<k}$

Принцип минимакса Куранта, как и принцип максимума, можно визуализировать, представив, что если || x || = 1 — гиперсфера , то матрица A деформирует эту гиперсферу в эллипсоид . Когда большая ось на пересекающей гиперплоскости максимальна — т. е. длина квадратичной формы q ( x ) максимальна — это собственный вектор, а его длина — собственное значение. Все остальные собственные векторы будут перпендикулярны этому.

Принцип минимакса также обобщается на собственные значения положительных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах , где он обычно используется для изучения задачи Штурма–Лиувилля .

Смотрите также

• Теорема о минимуме и максимуме
• Неравенство максимума и минимума
• Коэффициент Рэлея

Ссылки

• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1989), Метод математической физики, т. I , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50447-5(Страницы 31–34; в большинстве учебников «метод максимума-минимума» обычно приписывается Рэлею и Ритцу , которые применили вариационное исчисление в теории звука.)
• Кинер, Джеймс П. Принципы прикладной математики: Преобразование и аппроксимация . Кембридж: Westview Press, 2000. ISBN 0-7382-0129-4 
• Хорн, Роджер; Джонсон, Чарльз (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press, стр. 179, ISBN 978-0-521-38632-6