Циклотомическая единица

В математике циклотомическая единица (или круговая единица ) — это единица алгебраического числового поля , которая является произведением чисел вида (ζ^а
_н − 1) для ζ
_нкорень n -й ^{степени} из единицы и 0 < a < n .

Характеристики

Циклотомические единицы образуют подгруппу конечного индекса в группе единиц циклотомического поля . Индекс этой подгруппы действительных циклотомических единиц (те циклотомические единицы в максимальном действительном подполе) в полной действительной группе единиц равен номеру класса максимального действительного подполя циклотомического поля . ^[1]

Если $n$ — степень простого числа, то $ζ а н - 1$ не является единицей; однако числа $(ζ а н - 1)/(ζ н - 1)$ для $(a, n) = 1$ и ±ζ^а
_нгенерируют группу циклотомических единиц.

Если $n$ — составное число, имеющее два или более различных простых множителя, то $ζ а н - 1$ — единица. Подгруппа циклотомических единиц, порожденная $(ζ а н - 1)/(ζ н - 1)$ с $(a, n) = 1$ в общем случае не имеет конечного индекса. ^[2]

Циклотомические единицы удовлетворяют соотношениям распределения . Пусть $a$ — рациональное число, простое с $p$ , и пусть $g a$ обозначает $exp(2 πia) - 1$ . Тогда для $a \neq 0$ имеем . ^[3] ${\textstyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}}$

Используя эти соотношения распределения и соотношение симметрии $ζ а н - 1 = -ζ а н (ζ - а н - 1)$ базис B _n циклотомических единиц может быть построен со свойством, что $B d \subseteq B n$ для $d | n$ . ^[4]

Смотрите также

Примечания

^ Вашингтон, Теорема 8.2
↑ Вашингтон, 8.8, стр. 150, для n, равного 55.
^ Лэнг (1990) стр.157
^ «Циклотомические единицы Марка Конрада».

Ссылки

Ланг, Серж (1990). Циклотомические поля I и II . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 121 (второе объединенное издание). Springer Verlag . ISBN 3-540-96671-4. Збл 0704.11038.
Наркевич, Владислав (1990). Элементарная и аналитическая теория чисел (Второе, существенно переработанное и расширенное издание). Springer-Verlag . ISBN 3-540-51250-0. Збл 0717.11045.
Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля . Graduate Texts in Mathematics. Том 83 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0. Збл 0966.11047.