В математике D - модуль — это модуль над кольцом D дифференциальных операторов . Основной интерес к таким D -модулям заключается в подходе к теории линейных уравнений с частными производными . Начиная с 1970 года, теория D -модулей развивалась, в основном, как ответ на идеи Микио Сато по алгебраическому анализу и расширение работы Сато и Джозефа Бернштейна по полиному Бернштейна–Сато .
Ранними крупными результатами были теорема конструктивности Кашивары и теорема индекса Кашивары Масаки Кашивары . Методы теории D -модулей всегда черпались из теории пучков и других методов, вдохновленных работами Александра Гротендика по алгебраической геометрии . Этот подход носит глобальный характер и отличается от методов функционального анализа, традиционно используемых для изучения дифференциальных операторов. Самые сильные результаты получены для переопределенных систем ( голономных систем ) и на характеристическом многообразии, вырезанном символами , которое в хорошем случае является лагранжевым подмногообразием кокасательного расслоения максимальной размерности ( инволютивные системы ). Методы были взяты со стороны школы Гротендика Зогманом Мебкхоутом , который получил общую, производную категориальную версию соответствия Римана–Гильберта во всех измерениях.
Первый случай алгебраических D -модулей — это модули над алгеброй Вейля A n ( K ) над полем K нулевой характеристики . Это алгебра, состоящая из многочленов от следующих переменных:
где переменные x i и ∂ j по отдельности коммутируют друг с другом, а x i и ∂ j коммутируют при i ≠ j , но коммутатор удовлетворяет соотношению
Для любого многочлена f ( x 1 , ..., x n ) это подразумевает соотношение
тем самым связывая алгебру Вейля с дифференциальными уравнениями.
(Алгебраический) D -модуль, по определению, является левым модулем над кольцом A n ( K ). Примерами D -модулей являются сама алгебра Вейля (действующая на себя левым умножением), (коммутативное) кольцо многочленов K [ x 1 , ..., x n ], где x i действует умножением, а ∂ j действует частичным дифференцированием относительно x j и, в похожем ключе, кольцо голоморфных функций на C n (функции n комплексных переменных).
Если задан некоторый дифференциальный оператор P = an ( x ) ∂ n + ... + a 1 ( x ) ∂ 1 + a 0 ( x ), где x — комплексная переменная, a i ( x ) — многочлены, то фактор-модуль M = A 1 ( C )/ A 1 ( C ) P тесно связан с пространством решений дифференциального уравнения
где f — некоторая голоморфная функция в C , например. Вектор, состоящий из решений этого уравнения, задается пространством гомоморфизмов D -модулей .
Общая теория D -модулей разработана на гладком алгебраическом многообразии X, определенном над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики, таким как K = C . Пучок дифференциальных операторов D X определяется как O X -алгебра, порожденная векторными полями на X , интерпретируемыми как дифференцирования . (Левый) D X -модуль M является O X -модулем с левым действием D X на нем. Задание такого действия эквивалентно заданию K -линейного отображения
удовлетворяющий
Здесь f — регулярная функция на X , v и w — векторные поля , а [−, −] обозначает коммутатор . Поэтому, если M — дополнительно локально свободный O X -модуль, то придание M структуры D -модуля есть не что иное, как оснащение векторного расслоения, связанного с M, плоской (или интегрируемой) связностью . [1]
Поскольку кольцо D X некоммутативно, необходимо различать левые и правые D -модули. Однако эти два понятия можно поменять местами, поскольку существует эквивалентность категорий между обоими типами модулей, заданная отображением левого модуля M в тензорное произведение M ⊗ Ω X , где Ω X — линейное расслоение, заданное наивысшей внешней степенью дифференциальных 1-форм на X . Это расслоение имеет естественное правое действие, определяемое формулой
где v — дифференциальный оператор первого порядка, то есть векторное поле, ω — n -форма ( n = dim X ), а Lie обозначает производную Ли . [2]
Локально, после выбора некоторой системы координат x 1 , ..., x n ( n = dim X ) на X , которая определяет базис ∂ 1 , ..., ∂ n касательного пространства X , сечения D X могут быть однозначно представлены в виде выражений
В частности, когда X — n -мерное аффинное пространство , то D X — алгебра Вейля от n переменных.
Многие основные свойства D -модулей являются локальными и параллельными ситуации когерентных пучков . Это основывается на том факте, что D X является локально свободным пучком O X -модулей , хотя и бесконечного ранга, как показывает вышеупомянутый O X -базис. Можно показать, что D X -модуль, который когерентен как O X -модуль, обязательно локально свободен (конечного ранга).
D -модули на различных алгебраических многообразиях связаны функторами обратного и прямого проталкивания, сравнимыми с функторами для когерентных пучков. Для отображения f : X → Y гладких многообразий определения таковы:
Это оснащено левым действием D X таким образом, что оно эмулирует цепное правило , и естественным правым действием f −1 ( D Y ). Откат определяется как
Здесь M — левый D Y -модуль, а его пулбэк — левый модуль над X . Этот функтор является точным справа , его левый производный функтор обозначается L f ∗ . Обратно, для правого D X -модуля N ,
является правым D Y -модулем. Поскольку это смешивает правое точное тензорное произведение с левым точным pushforward, обычно вместо этого устанавливают
По этой причине значительная часть теории D -модулей разрабатывается с использованием всей мощи гомологической алгебры , в частности производных категорий .
Можно показать, что алгебра Вейля является (левым и правым) нётеровым кольцом . Более того, она проста , то есть ее единственными двусторонними идеалами являются нулевой идеал и все кольцо. Эти свойства делают изучение D -модулей управляемым. В частности, стандартные понятия из коммутативной алгебры , такие как многочлен Гильберта , кратность и длина модулей, переносятся на D -модули. Точнее, D X снабжено фильтрацией Бернштейна , то есть фильтрацией такой, что F p A n ( K ) состоит из K -линейных комбинаций дифференциальных операторов x α ∂ β с | α | + | β | ≤ p (используя многоиндексную нотацию ). Видно, что ассоциированное градуированное кольцо изоморфно кольцу многочленов от 2 n неизвестных. В частности, оно коммутативно.
Конечно-порождённые D -модули M наделены так называемыми "хорошими" фильтрациями F ∗ M , которые являются фильтрациями, совместимыми с F ∗ A n ( K ), по существу параллельными ситуации леммы Артина–Риса . Полином Гильберта определяется как числовой полином , который согласуется с функцией
для больших n . Размерность d ( M ) An ( K ) -модуля M определяется как степень полинома Гильберта. Она ограничена неравенством Бернштейна
Модуль, размерность которого достигает наименьшего возможного значения n , называется голономным .
Модуль A 1 ( K ) M = A 1 ( K )/ A 1 ( K ) P (см. выше) является голономным для любого ненулевого дифференциального оператора P , но аналогичное утверждение для многомерных алгебр Вейля не выполняется.
Как упоминалось выше, модули над алгеброй Вейля соответствуют D -модулям на аффинном пространстве. Поскольку фильтрация Бернштейна недоступна на D X для общих многообразий X , определение обобщается на произвольные аффинные гладкие многообразия X с помощью порядковой фильтрации на D X , определяемой порядком дифференциальных операторов . Соответствующее градуированное кольцо gr D X задается регулярными функциями на кокасательном расслоении T ∗ X .
Характеристическое многообразие определяется как подмногообразие кокасательного расслоения , высекаемое радикалом аннулятора gr M , где M снова снабжено подходящей фильтрацией (относительно фильтрации порядка на D X ). Как обычно, аффинная конструкция затем склеивается с произвольными многообразиями .
Неравенство Бернштейна продолжает выполняться для любого (гладкого) многообразия X. В то время как верхняя граница является непосредственным следствием приведенной выше интерпретации gr D X в терминах кокасательного расслоения, нижняя граница является более тонкой.
Голономные модули имеют тенденцию вести себя как конечномерные векторные пространства. Например, их длина конечна. Кроме того, M является голономным тогда и только тогда, когда все группы когомологий комплекса L i ∗ ( M ) являются конечномерными K -векторными пространствами, где i - замкнутое погружение любой точки X .
Для любого D -модуля M дуальный модуль определяется как
Голономные модули также можно охарактеризовать гомологическим условием: M является голономным тогда и только тогда, когда D( M ) сосредоточен (рассматривается как объект в производной категории D -модулей) в степени 0. Этот факт является первым проблеском двойственности Вердье и соответствия Римана–Гильберта . Это доказывается путем расширения гомологического исследования регулярных колец (особенно того, что связано с глобальной гомологической размерностью ) на фильтрованное кольцо D X .
Другая характеристика голономных модулей осуществляется через симплектическую геометрию . Характеристическое многообразие Ch( M ) любого D -модуля M является, рассматриваемым как подмногообразие кокасательного расслоения T ∗ X для X , инволютивным многообразием. Модуль голономен тогда и только тогда, когда Ch( M ) является лагранжевым .
Одним из ранних приложений голономных D -модулей был полином Бернштейна–Сато .
Гипотеза Каждана –Люстига была доказана с использованием D -модулей.
Соответствие Римана–Гильберта устанавливает связь между определенными D -модулями и конструктивными пучками. Как таковое, оно дало мотивацию для введения извращенных пучков .
D -модули также применяются в геометрической теории представлений. Главным результатом в этой области является локализация Бейлинсона–Бернштейна . Она связывает D -модули на многообразиях флагов G / B с представлениями алгебры Ли редуктивной группы G. D - модули также имеют решающее значение в формулировке геометрической программы Ленглендса .
![{\displaystyle \nabla _ {[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06bb187657aa1ad15ccde4ae43b5f323ca374fc)
![{\displaystyle \mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8b3408ba48524655bdd8c1830519ff88430c80)
