Даттатрея Рамчандра Капрекар ( маратхи : दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर ; 17 января 1905 — 1986) был индийским математиком-любителем , который описал несколько классов натуральных чисел, включая числа Капрекара , харшад и собственные числа, а также открыл константу Капрекара , названную в его честь. [1] Несмотря на отсутствие формального послевузовского образования и работу школьным учителем, он много публиковался и стал хорошо известен в кругах любителей математики. [2]
Капрек получил среднее образование в Тхане и учился в колледже Фергюссона в Пуне . В 1927 году он выиграл математическую премию Wrangler RP Paranjpye за оригинальную работу по математике. [3]
Он учился в Университете Мумбаи , получив степень бакалавра в 1929 году. Не получив формального послевузовского образования, на протяжении всей своей карьеры (1930–1962) он был школьным учителем в государственной младшей школе в Девлали, Махараштра , Индия. Переезжая с места на место на велосипеде, он также обучал частных студентов нетрадиционным методам, весело сидя у реки и «думая о теоремах». Он много публиковался, писал о таких темах, как повторяющиеся десятичные дроби , магические квадраты и целые числа со специальными свойствами. [ требуется ссылка ]
Работая в основном в одиночку, Капрекар открыл ряд результатов в теории чисел и описал различные свойства чисел. [4] В дополнение к константе Капрекара и числам Капрекара , которые были названы в его честь, он также описал собственные числа или числа Девлали , числа харшад и числа Демло . Он также построил определенные типы магических квадратов, связанных с магическим квадратом Коперника. [5] Первоначально его идеи не были восприняты всерьез индийскими математиками, и его результаты были опубликованы в основном в журналах по математике низкого уровня или в частных изданиях, но международная известность пришла, когда Мартин Гарднер написал о Капрекаре в своей колонке Mathematical Games для Scientific American в марте 1975 года . Описание константы Капрекара , без упоминания самого Капрекара, появляется в детской книге «Я ненавижу книгу математики » Мэрилин Бернс , [6] опубликованной в 1975 году. Сегодня его имя хорошо известно, и многие другие математики продолжили изучение свойств, которые он открыл. [2]
В 1955 году Капрека открыл интересное свойство числа 6174, которое впоследствии было названо константой Капрека. [7] Он показал, что 6174 достигается в конце, когда мы многократно вычитаем самые высокие и самые низкие числа, которые можно построить из набора из четырех цифр, которые не все идентичны. Таким образом, начиная с 1234, мы имеем:
Повторяя с этого момента и далее, мы получаем то же самое число (7641 − 1467 = 6174). В общем случае, когда операция сходится, это происходит максимум за семь итераций.
Аналогичная константа для 3 цифр — 495. [ 8] Однако в десятичной системе счисления такая константа существует только для чисел из 3 или 4 цифр; для других длин цифр или оснований, отличных от 10, алгоритм Капрекара, описанный выше, может в общем случае заканчиваться несколькими различными константами или повторяющимися циклами, в зависимости от начального значения. [9]
Другой класс чисел, описанных Капрекаром, — это числа Капрекара. [10] Число Капрекара — это положительное целое число, обладающее тем свойством, что если его возвести в квадрат, то его представление можно разбить на две положительные целые части, сумма которых равна исходному числу (например, 45, так как 45 2 =2025, и 20+25=45, а также 9, 55, 99 и т. д.). Однако следует отметить ограничение, что эти два числа положительны; например, 100 не является числом Капрекара, хотя 100 2 =10000, а 100+00 = 100. Эта операция взятия самых правых цифр квадрата и добавления его к целому числу, образованному самыми левыми цифрами, известна как операция Капрекара.
Вот некоторые примеры чисел Капрекара в десятичной системе счисления, помимо чисел 9, 99, 999, ... (последовательность A006886 в OEIS ):
В 1963 году Капрекар определил свойство, которое стало известно как собственные числа [11], как целые числа, которые не могут быть получены путем взятия некоторого другого числа и добавления к нему его собственных цифр. Например, 21 не является собственным числом, так как его можно получить из 15: 15 + 1 + 5 = 21. Но 20 является собственным числом, так как его нельзя получить из любого другого целого числа. Он также дал тест для проверки этого свойства в любом числе. Иногда их называют числами Девлали (по названию города, где он жил); хотя, по-видимому, это было его предпочтительным обозначением, [11] термин «собственное число» более распространен. Иногда их также называют колумбийскими числами после более позднего обозначения.
Капрек также описал числа харшад , которые он назвал харшад, что означает «дарующий радость» ( санскрит харша , радость + да таддхита пратьяя, причинный ); они определяются свойством, что они делятся на сумму своих цифр. Таким образом, 12, которое делится на 1 + 2 = 3, является числом харшад. Позже их также называли числами Нивена после лекции 1977 года о них канадского математика Ивана М. Нивена . Числа, которые являются харшад во всех основаниях (только 1, 2, 4 и 6), называются числами all-harshad . Было проделано много работы по числам харшад, и их распределение, частота и т. д. представляют значительный интерес в теории чисел сегодня. [ требуется ссылка ]
Капрек также изучал числа Демло , [12] название которых произошло от названия железнодорожной станции Демло (теперь Домбивили ) в 30 милях от Бомбея на тогдашней железной дороге GIP , где у него возникла идея их изучать. [2] Наиболее известными из них являются чудесные числа Демло 1, 121, 12321, 1234321, ..., которые являются квадратами репьюнитов 1 , 11, 111,1111, .... [13]