Цепные вращения Дэвенпорта

В физике и технике цепочечные вращения Дэвенпорта — это три цепочечных внутренних вращения вокруг фиксированных на теле конкретных осей. Вращения Эйлера и вращения Тейта–Брайана являются частными случаями разложения общего вращения Дэвенпорта. Углы вращения называются углами Дэвенпорта , поскольку общая проблема разложения вращения в последовательность из трех была впервые изучена Полом Б. Дэвенпортом. ^[1]

Неортогональная вращающаяся система координат может быть представлена как жестко прикрепленная к твердому телу. В этом случае ее иногда называют локальной системой координат. Учитывая, что оси вращения солидарны с движущимся телом, обобщенные вращения можно разделить на две группы (здесь x , y и z относятся к неортогональной движущейся системе координат):

Обобщенные вращения Эйлера: $(zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy)$
Обобщенные вращения Тейта-Брайана: $(xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz)$ .

Большинство случаев относятся ко второй группе, поскольку обобщенные вращения Эйлера представляют собой вырожденный случай, в котором первая и третья оси перекрываются.

Теорема вращения Дэвенпорта

Общая задача разложения вращения на три составных движения вокруг собственных осей была изучена П. Дэвенпортом под названием «обобщенные углы Эйлера », но позднее эти углы были названы «углами Дэвенпорта» М. Шустером и Л. Маркли. ^[2]

Общая задача состоит в получении матричной декомпозиции вращения, заданного тремя известными осями. В некоторых случаях одна из осей повторяется. Эта задача эквивалентна задаче декомпозиции матриц. ^[3]

Дэвенпорт доказал, что любая ориентация может быть достигнута путем составления трех элементарных вращений с использованием неортогональных осей. Элементарные вращения могут происходить либо вокруг осей фиксированной системы координат (внешние вращения), либо вокруг осей вращающейся системы координат, которая изначально выровнена с фиксированной и изменяет свою ориентацию после каждого элементарного вращения (внутренние вращения).

Согласно теореме Дэвенпорта, единственное разложение возможно тогда и только тогда, когда вторая ось перпендикулярна двум другим осям. Следовательно, оси 1 и 3 должны находиться в плоскости, ортогональной оси 2. ^[2]

Поэтому разложения в цепочках вращений Эйлера и цепочках вращений Тейта–Брайана являются частными случаями этого. Случай Тейта–Брайана возникает, когда оси 1 и 3 перпендикулярны, а случай Эйлера возникает, когда они перекрываются.

Полная система ротаций

Изображение 2: Самолет стоит на самолете

Набор вращений Дэвенпорта называется полным, если его достаточно для генерации любого вращения пространства с помощью композиции. Говоря матричным языком, он является полным, если он может генерировать любую ортонормированную матрицу пространства, определитель которой равен +1. Из-за некоммутативности матричного произведения система вращений должна быть упорядоченной.

Иногда порядок навязывается геометрией базовой проблемы. Например, при использовании для транспортных средств, имеющих специальную ось, указывающую в направлении «вперед», полезна только одна из шести возможных комбинаций вращений. Интересная композиция — та, которая способна контролировать направление и высоту самолета с помощью одного независимого вращения.

На соседнем рисунке композиция рыскания, тангажа и крена (YPR) позволяет регулировать направление самолета с помощью двух первых углов. Другая композиция, такая как YRP, позволила бы установить направление оси крыльев, что, очевидно, бесполезно в большинстве случаев.

Связанные вращения Тейта-Брайана

Вращения Тейта–Брайана являются особым случаем, в котором первая и третья оси перпендикулярны между собой. Предполагая систему отсчета ⟨ x , y , z ⟩ с соглашением, как на изображении 2, и плоскость с осями ⟨ рыскания, тангажа, крена⟩, как на изображении 3 [ данные отсутствуют ] , лежащую горизонтально на плоскости ⟨ x , y ⟩ в начале, после выполнения внутренних вращений Y, P и R в осях рыскания, тангажа и крена (в этом порядке) мы получаем что-то похожее на изображение 4 [ данные отсутствуют ] .

В начале:

ось крена плоскости совпадает с осью x системы отсчета
ось тангажа плоскости совпадает с осью y системы отсчета
ось рыскания плоскости совпадает с осью z системы отсчета

Вращения применяются в порядке рыскания, тангажа и крена . В этих условиях курс (угол в горизонтальной плоскости) будет равен примененному рысканию, а возвышение будет равно тангажу.

Матричные выражения для трех вращений Тейта–Брайана в трех измерениях следующие:

{\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi ) &={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \ phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \ theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Yaw} (\psi )&={ \begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{align}}

Матрица составных вращений имеет вид

{\begin{aligned}M&=\mathrm {Yaw} (\psi)\,\mathrm {Pitch} (\theta)\,\mathrm {Roll} (\phi)\\&=R_{z} (\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}

Из шести возможных комбинаций рыскания, тангажа и крена эта комбинация является единственной, в которой курс (направление оси крена) равен одному из поворотов (рысканию), а угол места (угол оси крена с горизонтальной плоскостью) равен другому из поворотов (тангажу).

Цепочка вращений Эйлера

Рисунок 5: Исходное положение самолета для применения правильных углов Эйлера.

Вращения Эйлера появляются как особый случай, в котором первая и третья оси вращений перекрываются. Эти вращения Эйлера связаны с собственными углами Эйлера, которые, как считалось, изучали движение твердого тела, такого как планета. Угол, определяющий направление оси вращения, обычно называется «долготой оси вращения» или «долготой линии узлов» вместо «направления», что не имеет смысла для планеты.

В любом случае, вращения Эйлера все еще могут использоваться, когда речь идет о транспортном средстве, хотя они будут вести себя странно. Поскольку вертикальная ось является началом углов, она называется «наклоном», а не «возвышением». Как и прежде, описывая положение транспортного средства, есть ось, которая считается направленной вперед, и поэтому только одна из возможных комбинаций вращений будет полезна.

Комбинация зависит от того, как берутся оси и каково начальное положение плоскости. Используя тот, что на рисунке, и комбинируя вращения таким образом, чтобы ось повторялась, только крен-тангаж-крен позволят контролировать долготу и наклон одним вращением каждый.

Три матрицы для перемножения:

{\begin{aligned}R_{z}(\phi)=\mathrm {Roll} _{1}(\phi)&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0 \\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\ cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}( \psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

В этой конвенции рулон ₁ задает «направление», тангаж — «наклон» (дополнительный к углу места), а рулон ₂ задает «наклон».

Преобразование во внешние вращения

Рисунок 6: Вращение, представленное углами Эйлера ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), с использованием внутренних вращений *z-x'-z″*

Рисунок 7: Тот же поворот, представленный как (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), с использованием внешних поворотов *zxz*

Вращения Дэвенпорта обычно изучаются как внутренняя вращательная композиция из-за важности осей, закрепленных на движущемся теле, но их можно преобразовать в внешнюю вращательную композицию, если это может быть более наглядно.

Любое внешнее вращение эквивалентно внутреннему вращению на те же углы, но с обратным порядком элементарных вращений, и наоборот. Например, внутренние вращения x-y'-z″ на углы α , β , γ эквивалентны внешним вращениям zyx на углы γ , β , α . Оба представлены матрицей

R=X(\альфа)Y(\бета)Z(\гамма)

Где , , и являются элементарными матрицами вращения соответствующих углов. Произведение этих матриц, , затем должно быть предварительно умножено на вектор-столбец . Обратите внимание на неоднозначности в определении матриц вращения , поскольку некоторые определения могут использовать вместо них векторы-строки . $X(\альфа)$ $Y(\бета)$ $Z(\гамма)$ $R$

Связь с физическими движениями

Внутренние вращения

Внутренние вращения — это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей вращающейся системы координат XYZ , которая меняет свою ориентацию после каждого элементарного вращения. Система XYZ вращается, в то время как xyz фиксирована. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz , композиция из трех внутренних вращений может быть использована для достижения любой целевой ориентации для XYZ . Углы Эйлера или Тейта-Брайана ( α , β , γ ) являются амплитудами этих элементарных вращений. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

Система XYZ поворачивается на α вокруг оси Z (которая совпадает с осью z ). Ось X теперь лежит на линии узлов.
Система XYZ вращается вокруг теперь повернутой оси X на угол β . Ось Z теперь находится в своей окончательной ориентации, а ось X остается на линии узлов.
Система XYZ поворачивается третий раз вокруг новой оси Z на угол γ .

Вышеупомянутая нотация позволяет нам суммировать это следующим образом: три элементарных вращения системы XYZ происходят вокруг z , x ' и z ″ . Действительно, эта последовательность часто обозначается как z-x'-z″ . Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта-Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (см. выше для получения подробной информации). Иногда та же самая последовательность просто называется zxz , ZXZ или 3-1-3 , но эта нотация может быть неоднозначной, поскольку она может быть идентична той, которая используется для внешних вращений. В этом случае становится необходимым отдельно указать, являются ли вращения внутренними или внешними.

Матрицы вращения могут быть использованы для представления последовательности внутренних вращений. Например,

R=X(\альфа)Y(\бета)Z(\гамма)

представляет собой композицию внутренних вращений вокруг осей x-y'-z″ , если используется для предварительного умножения векторов-столбцов . Это стандартная практика, но обратите внимание на неоднозначности в определении матриц вращения .

Внешние вращения

Внешние вращения — это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей фиксированной системы координат xyz . Система XYZ вращается, в то время как xyz фиксирована. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz , композиция из трех внешних вращений может быть использована для достижения любой целевой ориентации для XYZ . Углы Эйлера или Тейта-Брайана ( α , β , γ ) являются амплитудами этих элементарных вращений. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

Система XYZ поворачивается вокруг оси z на угол α . Ось X теперь находится под углом α по отношению к оси x .
Система XYZ снова поворачивается вокруг оси x на угол β . Ось Z теперь находится под углом β относительно оси z .
Система XYZ поворачивается третий раз вокруг оси z на угол γ .

В сумме три элементарных вращения происходят вокруг z , x и z . Действительно, эта последовательность часто обозначается как zxz (или 3-1-3). Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта-Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. выше).

Матрицы вращения могут быть использованы для представления последовательности внешних вращений. Например,

R=Z(\гамма)Y(\бета)X(\альфа)

представляет собой композицию внешних вращений вокруг осей xyz , если используется для предварительного умножения векторов-столбцов . Это стандартная практика, но обратите внимание на неоднозначности в определении матриц вращения .

Преобразование между внутренними и внешними вращениями

Рисунок 8: Вращение, представленное углами Эйлера ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), с использованием внутренних вращений *z-x'-z″*

Рисунок 9: Тот же поворот, представленный как (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), с использованием внешних поворотов *zxz*

R=X(\альфа)Y(\бета)Z(\гамма)

if используется для предварительного умножения векторов столбцов . Это стандартная практика, но учтите неоднозначности в определении матриц вращения . $R$

Доказательство преобразования в случае предварительного умножения

Матрицу вращения последовательности внутреннего вращения x-y'-z″ можно получить путем последовательных вращений внутренних элементов справа налево:

R=Z''Y'X.

В этом процессе есть три кадра, связанных во внутренней последовательности вращения. Обозначим кадр 0 как начальный кадр, кадр 1 после первого вращения вокруг оси x , кадр 2 после второго вращения вокруг оси y' и кадр 3 как третье вращение вокруг оси z″ .

Поскольку матрица вращения может быть представлена среди этих трех кадров, давайте использовать индекс левого плеча для обозначения кадра представления. Следующее обозначение означает матрицу вращения, которая преобразует кадр a в кадр b и которая представлена в кадре c :

{}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.

Матрица вращения внутреннего элемента, представленная в той системе отсчета, где происходит вращение, имеет то же значение, что и соответствующая матрица вращения внешнего элемента:

{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}=Z.

Матрицу вращения внутренних элементов Y' и Z″, представленную в кадре 0, можно выразить в других формах:

{\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{align}}

Два уравнения выше подставляются в первое уравнение:

{\begin{align}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{align}}

Таким образом, матрица вращения последовательности вращения внутренних элементов такая же, как и матрица вращения обратной последовательности вращения внешних элементов:

R=Z''Y'X=XYZ.

Смотрите также

Ссылки

^ П. Б. Дэвенпорт, Вращения вокруг неортогональных осей
^ ab M. Shuster и L. Markley, Обобщение углов Эйлера, Журнал астронавтических наук, т. 51, № 2, апрель–июнь 2003 г., стр. 123–123
^ Дж. Виттенбург, Л. Лилов, Разложение конечного поворота на три поворота вокруг заданных осей [1]