В геометрии Макс Ден представил два примера плоскостей, полуевклидову геометрию и нелегендрову геометрию , которые имеют бесконечно много линий, параллельных данной, которые проходят через данную точку, но где сумма углов треугольника не менее π . Аналогичное явление происходит в гиперболической геометрии , за исключением того, что сумма углов треугольника меньше π . В примерах Дена используется неархимедово поле, поэтому аксиома Архимеда нарушается. Они были представлены Максом Деном (1900) и обсуждались Гильбертом (1902, стр. 127–130 или стр. 42–43 в некоторых более поздних изданиях).
Для построения своих геометрий Ден использовал неархимедово упорядоченное пифагорово поле Ω( t ), пифагорово замыкание поля рациональных функций R ( t ), состоящее из наименьшего поля вещественнозначных функций на вещественной прямой, содержащей действительные значения. константы, тождественная функция t (принимающая любое действительное число в себя) и замкнутая относительно операции . Поле Ω( t ) упорядочивается путем помещения x > y , если функция x больше, чем y для достаточно больших действительных чисел. Элемент x из Ω( t ) называется конечным, если m < x < n для некоторых целых чисел m , n , и бесконечным в противном случае.
Множество всех пар ( x , y ), где x и y — любые (возможно, бесконечные) элементы поля Ω( t ), и с обычной метрикой
который принимает значения в Ω( t ), дает модель евклидовой геометрии . Постулат параллельности верен в этой модели, но если отклонение от перпендикуляра бесконечно мало (то есть меньше любого положительного рационального числа), пересекающиеся прямые пересекаются в точке, которая не находится в конечной части плоскости. Следовательно, если модель ограничена конечной частью плоскости (точками ( x , y ) с конечными x и y ), получается геометрия, в которой постулат параллельности не работает, но сумма углов треугольника равна π . Это полуевклидова геометрия Дена. Это обсуждается у Ракера (1982, стр. 91–2).
В той же статье Ден также построил пример нелегендовой геометрии, где через точку проходит бесконечное количество прямых, не пересекающихся с другой линией, но сумма углов в треугольнике превышает π . Эллиптическая геометрия Римана над Ω( t ) состоит из проективной плоскости над Ω( t ), которую можно отождествить с аффинной плоскостью точек ( x : y :1) вместе с «линией на бесконечности», и которая обладает свойством, сумма углов любого треугольника больше π. Нелегендрова геометрия состоит из точек ( x : y :1) этого аффинного подпространства таких, что tx и ty конечны (где, как указано выше, t является элементом Ω( t ), представленный тождественной функцией). Теорема Лежандра утверждает, что сумма углов треугольника не превышает π , но предполагает аксиому Архимеда, а пример Дена показывает, что теорема Лежандра не обязательно должна выполняться, если аксиома Архимеда отброшена.
