Теория Демпстера–Шейфера

Математическая основа для моделирования эпистемической неопределенности

Артур П. Демпстер на семинаре по теории функций убеждения ( Брест , 1 апреля 2010 г.).

Теория функций убеждения , также называемая теорией доказательств или теорией Демпстера–Шейфера ( DST ), представляет собой общую структуру для рассуждений с неопределенностью, с понятными связями с другими структурами, такими как теории вероятности , возможности и неточные теории вероятностей . Впервые представленная Артуром П. Демпстером ^[1] в контексте статистического вывода , теория была позже развита Гленном Шейфером в общую структуру для моделирования эпистемической неопределенности — математическую теорию доказательств . ^{[2] [3]} Теория позволяет объединять доказательства из разных источников и достигать степени убеждения (представленной математическим объектом, называемым функцией убеждения ), которая учитывает все доступные доказательства.

В узком смысле термин теория Демпстера–Шейфера относится к первоначальной концепции теории Демпстера и Шейфера. Однако более распространено использование термина в более широком смысле того же общего подхода, адаптированного к конкретным видам ситуаций. В частности, многие авторы предлагали различные правила объединения доказательств, часто с целью лучшей обработки конфликтов в доказательствах. ^[4] Ранние вклады также стали отправными точками многих важных разработок, включая модель передаваемых убеждений и теорию намеков. ^[5]

Обзор

Теория Демпстера–Шейфера является обобщением байесовской теории субъективной вероятности . Функции доверия основывают степени веры (или уверенности, или доверия) для одного вопроса на субъективных вероятностях для связанного вопроса. Сами степени веры могут иметь или не иметь математические свойства вероятностей; насколько они различаются, зависит от того, насколько тесно связаны два вопроса. ^[6] Иными словами, это способ представления эпистемических правдоподобий, но он может давать ответы, которые противоречат тем, которые получены с использованием теории вероятностей .

Часто используемая как метод слияния датчиков , теория Демпстера–Шейфера основана на двух идеях: получение степеней веры для одного вопроса из субъективных вероятностей для связанного вопроса и правило Демпстера ^[7] для объединения таких степеней веры, когда они основаны на независимых элементах доказательств. По сути, степень веры в предложение зависит в первую очередь от количества ответов (на связанные вопросы), содержащих предложение, и субъективной вероятности каждого ответа. Также вносят свой вклад правила комбинирования, которые отражают общие предположения о данных.

В этом формализме степень веры (также называемая массой ) представлена ​​как функция веры, а не как байесовское распределение вероятностей . Значения вероятности присваиваются наборам возможностей, а не отдельным событиям: их привлекательность основана на том факте, что они естественным образом кодируют доказательства в пользу утверждений.

Теория Демпстера–Шейфера присваивает свои массы всем подмножествам множества состояний системы — в терминах теории множеств , множеству мощности состояний. Например, предположим ситуацию, когда есть два возможных состояния системы. Для этой системы любая функция убеждения присваивает массу первому состоянию, второму, обоим и ни одному из них.

Вера и правдоподобие

Формализм Шафера начинается с набора рассматриваемых возможностей , например, числовых значений переменной или пар лингвистических переменных, таких как «дата и место происхождения реликвии» (спрашивая, является ли она старинной или недавней подделкой). Гипотеза представлена ​​подмножеством этой рамки различения , например, «(династия Мин, Китай)» или «(19 век, Германия)». ^{[2] : стр.35 и далее.}

Структура Шейфера позволяет представлять убеждения относительно таких предложений в виде интервалов, ограниченных двумя значениями: убеждением (или поддержкой ) и правдоподобием :

вера ≤ правдоподобность .

На первом этапе субъективные вероятности ( массы ) назначаются всем подмножествам фрейма; обычно только ограниченное число множеств будет иметь ненулевую массу ( фокусные элементы ). ^{[2] : 39f.} Вера в гипотезу состоит из суммы масс всех подмножеств множества гипотез. Это количество веры, которое напрямую поддерживает либо данную гипотезу, либо более конкретную, тем самым формируя нижнюю границу ее вероятности. Вера (обычно обозначаемая Bel ) измеряет силу доказательств в пользу предложения p . Она варьируется от 0 (указывающего на отсутствие доказательств) до 1 (обозначающего уверенность). Правдоподобие равно 1 минус сумма масс всех множеств, пересечение которых с гипотезой пусто. Или ее можно получить как сумму масс всех множеств, пересечение которых с гипотезой не пусто. Это верхняя граница возможности того, что гипотеза может быть истинной, поскольку существует лишь определенное количество доказательств, противоречащих этой гипотезе. Правдоподобие (обозначаемое Pl) таким образом связано с Bel соотношением Pl( p ) = 1 − Bel(~ p ). Оно также варьируется от 0 до 1 и измеряет степень, в которой доказательства в пользу ~ p оставляют место для веры в p .

Например, предположим, что у нас есть убеждение 0,5 для предложения, скажем, «кот в коробке мертв». Это означает, что у нас есть доказательство, которое позволяет нам с уверенностью утверждать, что предложение истинно с уверенностью 0,5. Однако доказательство, противоречащее этой гипотезе (то есть «кот жив»), имеет уверенность только 0,2. Оставшаяся масса 0,3 (разрыв между подтверждающим доказательством 0,5 с одной стороны и противоречащим доказательством 0,2 с другой) является «неопределенной», что означает, что кот может быть либо мертв, либо жив. Этот интервал представляет собой уровень неопределенности, основанный на доказательствах в системе.

Гипотеза «ни одна» по определению равна нулю (она соответствует «отсутствию решения»). Ортогональные гипотезы «Живой» и «Мертвый» имеют вероятности 0,2 и 0,5 соответственно. Это может соответствовать сигналам «Детектора живых/мертвых кошек», которые имеют соответствующие надежности 0,2 и 0,5. Наконец, всеобъемлющая гипотеза «Или» (которая просто признает, что в коробке есть кот) забирает пробел, так что сумма масс равна 1. Убеждение для гипотез «Живой» и «Мертвый» соответствует их соответствующим массам, потому что у них нет подмножеств; убеждение для «Или» состоит из суммы всех трех масс (Или, Живой и Мертвый), потому что «Живой» и «Мертвый» являются подмножествами «Или». Правдоподобие "Живой" составляет 1 −  m (Мертвый): 0,5, а правдоподобие "Мертвый" составляет 1 −  m (Живой): 0,8. Другими словами, правдоподобие "Живой" составляет m (Живой) + m (Любой), а правдоподобие "Мертвый" составляет m (Мертвый) + m (Любой). Наконец, правдоподобие "Любой" составляет сумму m (Живой) +  m (Мертвый) +  m (Любой). Универсальная гипотеза ("Любой") всегда будет иметь 100%-ную веру и правдоподобие — она действует как своего рода контрольная сумма .

Вот несколько более сложный пример, где поведение веры и правдоподобия начинает проявляться. Мы смотрим через множество детекторных систем на один далекий сигнальный свет, который может быть окрашен только в один из трех цветов (красный, желтый или зеленый):

События такого рода не будут моделироваться как отдельные сущности в вероятностном пространстве, как здесь, в пространстве назначения масс. Скорее, событие «Красный или желтый» будет рассматриваться как объединение событий «Красный» и «Желтый», и (см. аксиомы вероятности ) P (Красный или желтый) ≥ P (Желтый), и P (Любой) = 1, где Любой относится к Красному , Желтому или Зеленому . В DST масса, назначенная Любому, относится к доле доказательств, которые не могут быть отнесены ни к одному из других состояний, что здесь означает доказательство, которое говорит о наличии света, но ничего не говорит о том, какого он цвета. В этом примере доля доказательств, показывающих, что свет либо красный , либо зеленый, получает массу 0,05. Такое доказательство может быть, например, получено от человека с дальтонизмом R/G. DST позволяет нам извлечь значение показаний этого датчика. Кроме того, в DST пустое множество считается имеющим нулевую массу, что означает, что здесь система сигнального света существует, и мы изучаем ее возможные состояния, а не строим догадки о том, существует ли она вообще.

Объединение убеждений

Убеждения из разных источников могут быть объединены с различными операторами слияния для моделирования конкретных ситуаций слияния убеждений, например, с правилом комбинирования Демпстера, которое объединяет ограничения убеждений ^[8] , которые диктуются независимыми источниками убеждений, например, в случае объединения намеков ^[5] или объединения предпочтений. ^[9] Обратите внимание, что массы вероятностей из предложений, которые противоречат друг другу, могут быть использованы для получения меры конфликта между независимыми источниками убеждений. Другие ситуации могут быть смоделированы с различными операторами слияния, такими как кумулятивное слияние убеждений из независимых источников, которое может быть смоделировано с помощью кумулятивного оператора слияния. ^[10]

Правило комбинации Демпстера иногда интерпретируется как приблизительное обобщение правила Байеса . В этой интерпретации априорные и условные данные не обязательно должны быть указаны, в отличие от традиционных байесовских методов, которые часто используют аргумент симметрии (минимаксная ошибка) для назначения априорных вероятностей случайным величинам ( например , назначая 0,5 двоичным значениям, для которых нет информации о том, какое из них более вероятно). Однако любая информация, содержащаяся в отсутствующих априорных и условных данных, не используется в правиле комбинации Демпстера, если только ее нельзя получить косвенно — и, возможно, тогда она доступна для расчета с использованием уравнений Байеса.

Теория Демпстера-Шейфера позволяет указать степень невежества в этой ситуации вместо того, чтобы быть вынужденным предоставлять априорные вероятности, которые добавляются к единице. Такого рода ситуации, и есть ли реальное различие между риском и невежеством , широко обсуждались статистиками и экономистами. См., например, противоположные взгляды Дэниела Эллсберга , Говарда Райффы , Кеннета Эрроу и Фрэнка Найта . ^{[ требуется цитата ]}

Формальное определение

Пусть X будет вселенной : множеством, представляющим все возможные состояния рассматриваемой системы. Множество мощностей

${\displaystyle 2^{X}\,\!}$

это множество всех подмножеств X , включая пустое множество  . Например, если: ${\displaystyle \emptyset }$

${\displaystyle X=\left\{a,b\right\}\,\!}$

затем

${\displaystyle 2^{X}=\left\{\emptyset ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},X\right\}.\,}$

Элементы множества мощности можно рассматривать как представляющие предложения, касающиеся фактического состояния системы, поскольку они содержат все и только те состояния, в которых предложение истинно.

Теория доказательств присваивает массу убеждения каждому элементу множества мощности. Формально, функция

${\displaystyle m:2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$

называется базовым заданием убеждений (BBA), когда оно имеет два свойства. Во-первых, масса пустого множества равна нулю:

${\displaystyle m(\emptyset )=0.\,\!}$

Во-вторых, массы всех членов множества сил в сумме составляют 1:

${\displaystyle \sum _{A\in 2^{X}}m(A)=1.}$

Масса m ( A ) A , заданного члена множества мощности, выражает долю всех соответствующих и доступных доказательств, которые подтверждают утверждение, что фактическое состояние принадлежит A , но не принадлежит ни к какому конкретному подмножеству A . Значение m ( A ) относится только к множеству A и не делает никаких дополнительных утверждений о каких-либо подмножествах A , каждое из которых имеет, по определению, свою собственную массу.

Из массовых назначений можно определить верхнюю и нижнюю границы интервала вероятности. Этот интервал содержит точную вероятность интересующего набора (в классическом смысле) и ограничен двумя неаддитивными непрерывными мерами, называемыми верой (или поддержкой ) и правдоподобием :

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)\leq P(A)\leq \operatorname {pl} (A).}$

Убеждение bel( A ) для множества A определяется как сумма всех масс подмножеств интересующего множества:

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B).\,}$

Правдоподобие pl( A ) представляет собой сумму всех масс множеств B , которые пересекают интересующее множество A :

${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \emptyset }m(B).\,}$

Эти две меры связаны друг с другом следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=1-\operatorname {bel} ({\overline {A}}).\,}$

И наоборот, для конечного A , учитывая меру доверия bel( B ) для всех подмножеств B множества A , мы можем найти массы m ( A ) с помощью следующей обратной функции:

${\displaystyle m(A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}(-1)^{|A-B|}\operatorname {bel} (B)\,}$

где | A  −  B | — разность мощностей двух множеств. ^[4]

Из последних двух уравнений следует , что для конечного множества X нужно знать только одно из трех (массу, убеждение или правдоподобие), чтобы вывести два других; хотя может потребоваться знать значения для многих множеств, чтобы вычислить одно из других значений для конкретного множества. В случае бесконечного X могут быть четко определенные функции убеждения и правдоподобия, но не может быть четко определенной функции массы. ^[11]

Правило комбинирования Демпстера

Проблема, с которой мы сейчас сталкиваемся, заключается в том, как объединить два независимых набора назначений масс вероятности в конкретных ситуациях. В случае, если разные источники выражают свои убеждения в рамках в терминах ограничений убеждений, например, в случае предоставления подсказок или в случае выражения предпочтений, то правило объединения Демпстера является подходящим оператором слияния. Это правило выводит общее разделяемое убеждение между несколькими источниками и игнорирует все конфликтующие (неразделяемые) убеждения с помощью нормировочного фактора. Использование этого правила в других ситуациях, кроме объединения ограничений убеждений, подверглось серьезной критике, например, в случае объединения отдельных оценок убеждений из нескольких источников, которые должны быть интегрированы кумулятивным образом, а не как ограничения. Кумулятивное слияние означает, что все массы вероятности из разных источников отражаются в полученном убеждении, поэтому никакая масса вероятности не игнорируется.

В частности, комбинация (называемая совместной массой ) рассчитывается из двух наборов масс m ₁ и m ₂ следующим образом:

${\displaystyle m_{1,2}(\emptyset )=0\,}$

${\displaystyle m_{1,2}(A)=(m_{1}\oplus m_{2})(A)={\frac {1}{1-K}}\sum _{B\cap C=A\neq \emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C)\,\!}$

где

${\displaystyle K=\sum _{B\cap C=\emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C).\,}$

K — мера степени конфликта между двумя наборами масс.

Последствия конфликта

Нормировочный фактор выше, 1 −  K , имеет эффект полного игнорирования конфликта и приписывания любой массы, связанной с конфликтом, пустому множеству. Это правило комбинации для доказательств может, следовательно, давать контринтуитивные результаты, как мы покажем далее.

Пример получения правильных результатов в случае сильного конфликта

Следующий пример показывает, как правило Демпстера дает интуитивные результаты при применении в ситуации слияния предпочтений, даже при наличии сильного конфликта.

Предположим, что двое друзей, Алиса и Боб, хотят посмотреть фильм в кинотеатре однажды вечером, и что показывают только три фильма: X, Y и Z. Алиса выражает свое предпочтение фильму X с вероятностью 0,99, а свое предпочтение фильму Y с вероятностью всего 0,01. Боб выражает свое предпочтение фильму Z с вероятностью 0,99, а свое предпочтение фильму Y с вероятностью всего 0,01. При объединении предпочтений с помощью правила комбинирования Демпстера оказывается, что их совместное предпочтение приводит к вероятности 1,0 для фильма Y, потому что это единственный фильм, который они оба согласны посмотреть.

Правило комбинирования Демпстера дает интуитивные результаты даже в случае полностью противоречивых убеждений, если его интерпретировать таким образом. Предположим, что Алиса предпочитает фильм X с вероятностью 1,0, а Боб предпочитает фильм Z с вероятностью 1,0. При попытке объединить их предпочтения с правилом Демпстера оказывается, что в этом случае оно не определено, что означает, что решения нет. Это означало бы, что они не могут договориться о совместном просмотре какого-либо фильма, поэтому они не пойдут вместе в кино этим вечером. Однако семантика интерпретации предпочтения как вероятности неопределена: если оно относится к вероятности просмотра фильма X сегодня вечером, то мы сталкиваемся с ошибкой исключенного третьего : событие, которое действительно происходит, просмотр ни одного из фильмов сегодня вечером, имеет вероятностную массу 0.

Пример получения нелогичных результатов в случае сильного конфликта

Пример с точно такими же числовыми значениями был представлен Лотфи Заде в 1979 году, ^{[12] [13] [14],} чтобы указать на контринтуитивные результаты, полученные по правилу Демпстера, когда есть высокая степень конфликта. Пример выглядит следующим образом:

Предположим, что у нас есть два равнонадежных врача, и один врач считает, что у пациента либо опухоль мозга, с вероятностью (т. е. базовое назначение убеждения — bba's, или масса убеждения) 0,99; либо менингит, с вероятностью всего 0,01. Второй врач считает, что у пациента сотрясение мозга, с вероятностью 0,99, и считает, что пациент страдает менингитом, с вероятностью всего 0,01. Применяя правило Демпстера для объединения этих двух наборов масс убеждений, мы получаем в итоге m (менингит) = 1 (менингит диагностируется со 100-процентной уверенностью).

Такой результат противоречит здравому смыслу, поскольку оба врача согласны, что есть небольшая вероятность того, что у пациента менингит. Этот пример стал отправной точкой многих исследовательских работ, направленных на то, чтобы найти прочное обоснование правила Демпстера и основ теории Демпстера–Шейфера ^{[15] [16]} или показать несостоятельность этой теории. ^{[17] [18] [19]}

Пример, дающий нелогичные результаты в случае низкого уровня конфликта

Следующий пример показывает, когда правило Демпстера приводит к противоречивому результату, даже при низком уровне конфликта.

Предположим, что один врач считает, что у пациента либо опухоль мозга с вероятностью 0,99, либо менингит с вероятностью всего 0,01. Второй врач также считает, что у пациента опухоль мозга с вероятностью 0,99, и считает, что у пациента сотрясение мозга с вероятностью всего 0,01. Если мы вычислим m (опухоль мозга) с помощью правила Демпстера, мы получим

${\displaystyle m({\text{brain tumor}})=\operatorname {Bel} ({\text{brain tumor}})=1.\,}$

Этот результат подразумевает полную поддержку диагноза опухоли мозга, которую оба врача считали весьма вероятной . Согласие возникает из-за низкой степени конфликта между двумя наборами доказательств, содержащимися в мнениях двух врачей.

В любом случае было бы разумно ожидать, что:

${\displaystyle m({\text{brain tumor}})<1{\text{ and }}\operatorname {Bel} ({\text{brain tumor}})<1,\,}$

поскольку существование ненулевых вероятностей доверия для других диагнозов подразумевает неполную поддержку диагноза опухоли мозга.

Демпстер–Шейфер как обобщение байесовской теории

Как и в теории Демпстера-Шейфера, байесовская функция доверия имеет свойства и . Третье условие, однако, включается, но ослабляется в теории DS: ^{[2] : стр. 19} ${\displaystyle \operatorname {bel} :2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$ ${\displaystyle \operatorname {bel} (\emptyset )=0}$ ${\displaystyle \operatorname {bel} (X)=1}$

${\displaystyle {\text{If }}A\cap B=\emptyset ,{\text{ then}}\operatorname {bel} (A\cup B)=\operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} (B).}$

Любое из следующих условий подразумевает байесовский частный случай теории DS: ^{[2] : стр. 37, 45}

• ${\displaystyle \operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} ({\bar {A}})=1{\text{ for all }}A\subseteq X.}$
• Для конечного X все фокальные элементы функции доверия являются одиночными.

В качестве примера того, как различаются два подхода, байесовский подход может смоделировать цвет автомобиля как распределение вероятностей по (красный, зеленый, синий), присваивая одно число каждому цвету. Демпстер-Шейфер присвоил бы числа каждому из (красный, зеленый, синий, (красный или зеленый), (красный или синий), (зеленый или синий), (красный или зеленый или синий)). Эти числа не обязательно должны быть согласованными; например, Bel(красный)+Bel(зеленый) не обязательно должно быть равно Bel(красный или зеленый).

Таким образом, условную вероятность Байеса можно рассматривать как частный случай правила комбинации Демпстера. ^{[2] : стр. 19f.} Однако в ней отсутствуют многие (если не большинство) свойств, которые делают правило Байеса интуитивно желательным, что приводит некоторых к утверждению, что ее нельзя считать обобщением в каком-либо осмысленном смысле. ^[20] Например, теория DS нарушает требования теоремы Кокса , что подразумевает, что ее нельзя считать последовательным (свободным от противоречий) обобщением классической логики — в частности, теория DS нарушает требование, чтобы утверждение было либо истинным, либо ложным (но не обоими одновременно). В результате теория DS подчиняется аргументу «голландской книги» , подразумевающему, что любой агент, использующий теорию DS, согласится на серию ставок, которые приведут к гарантированному проигрышу.

Байесовское приближение

Байесовское приближение ^{[21] [22]} сводит заданный bpa к (дискретному) распределению вероятностей, т.е. только одноэлементные подмножества фрейма различения могут быть центральными элементами приближенной версии : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\underline {m}}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\underline {m}}(A)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\sum \limits _{B|A\subseteq B}m(B)}{\sum \limits _{C}m(C)\cdot |C|}},&|A|=1\\&0,&{\text{otherwise}}\end{aligned}}\right.}$

Это полезно для тех, кого интересует только гипотеза одного состояния.

Мы можем выполнить это на «легком» примере.

Критика

Джуда Перл (1988a, глава 9; ^[23] 1988b ^[24] и 1990) ^[25] утверждал, что ошибочно интерпретировать функции убеждений как представляющие либо «вероятности события», либо «уверенность в вероятностях, назначенных различным результатам», либо «степени веры (или уверенности, или доверия) в предложение», либо «степень незнания ситуации». Вместо этого функции убеждений представляют вероятность того, что данное предложение доказуемо из набора других предложений, которым назначены вероятности. Путаница между вероятностями истины и вероятностями доказуемости может привести к контринтуитивным результатам в таких задачах рассуждения, как (1) представление неполных знаний, (2) обновление убеждений и (3) объединение доказательств. Он также продемонстрировал, что если частичные знания кодируются и обновляются методами функций убеждений, полученные убеждения не могут служить основой для рациональных решений.

Клопотек и Вежхонь ^[26] предложили интерпретировать теорию Демпстера–Шейфера в терминах статистики таблиц решений (грубой теории множеств ), в соответствии с чем оператор объединения доказательств следует рассматривать как реляционное соединение таблиц решений. В другой интерпретации М. А. Клопотек и С. Т. Вежхонь ^[27] предлагают рассматривать эту теорию как описывающую деструктивную обработку материалов (при потере свойств), например, как в некоторых процессах производства полупроводников. В обеих интерпретациях рассуждения в DST дают правильные результаты, в отличие от более ранних вероятностных интерпретаций, критикуемых Перлом в цитируемых работах и ​​другими исследователями.

Йосанг доказал, что правило комбинирования Демпстера на самом деле является методом слияния ограничений убеждений. ^[8] Оно представляет собой лишь приблизительный оператор слияния в других ситуациях, таких как кумулятивное слияние убеждений, но, как правило, дает неверные результаты в таких ситуациях. Таким образом, путаница вокруг обоснованности правила Демпстера возникает из-за неспособности правильно интерпретировать природу ситуаций, которые необходимо смоделировать. Правило комбинирования Демпстера всегда дает правильные и интуитивные результаты в ситуации слияния ограничений убеждений из разных источников.

Относительные меры

При рассмотрении предпочтений можно использовать частичный порядок решетки вместо полного порядка действительной линии, как это найдено в теории Демпстера–Шафера. Действительно, Гюнтер Шмидт предложил эту модификацию и обрисовал метод. ^[28]

Учитывая набор критериев C и ограниченную решетку L с порядком ≤, Шмидт определяет реляционную меру как функцию μ из множества степеней C в L , которая соблюдает порядок ⊆ на ( C ): ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle A\subseteq B\implies \mu (A)\leq \mu (B)}$

и такой, что μ переводит пустое подмножество ( C ) в наименьший элемент L , а C — в наибольший элемент L . ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Шмидт сравнивает μ с функцией убеждения Шефера, а также рассматривает метод объединения мер, обобщающий подход Демпстера (когда новые доказательства объединяются с ранее полученными). Он также вводит реляционный интеграл и сравнивает его с интегралом Шоке и интегралом Сугено . Любое отношение m между C и L может быть введено как «прямая оценка», а затем обработано с помощью исчисления отношений для получения меры возможности μ .

Смотрите также

• Неточная вероятность
• Верхняя и нижняя вероятности
• Теория возможности
• Вероятностная логика
• Теорема Байеса
• Байесовская сеть
• GLS-сумка
• Модель передаваемых убеждений
• Теория принятия решений на основе информационного разрыва
• Субъективная логика
• Доксастическая логика
• Линейная функция доверия

Ссылки

1. Демпстер, AP (1967). «Верхние и нижние вероятности, индуцированные многозначным отображением». Анналы математической статистики . 38 (2): 325–339. doi : 10.1214/aoms/1177698950 .
2. Шафер, Гленн; Математическая теория доказательств , Princeton University Press, 1976, ISBN 0-608-02508-9 
3. Файн, Терренс Л. (1977). «Обзор: Гленн Шафер, Математическая теория доказательств». Bull. Amer. Math. Soc . 83 (4): 667–672. doi : 10.1090/s0002-9904-1977-14338-3 .
4. Кари Сенц и Скотт Ферсон (2002); Объединение доказательств в теории Демпстера-Шейфера, Национальные лаборатории Сандия SAND 2002-0835
5. Kohlas, J., and Monney, PA, 1995. Математическая теория намеков. Подход к теории доказательств Демпстера–Шейфера . Том 425 в Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer Verlag.
6. Шафер, Гленн; Теория Демпстера–Шейфера, 2002
7. Демпстер, Артур П.; Обобщение байесовского вывода , Журнал Королевского статистического общества, Серия B, Том 30, стр. 205–247, 1968
8. Jøsang, A.; Simon, P. (2012). «Правило Демпстера глазами маленьких цветных шариков». Computational Intelligence . 28 (4): 453–474. doi :10.1111/j.1467-8640.2012.00421.x. S2CID  5143692.
9. Jøsang, A., and Hankin, R., 2012. Interpretation and Fusion of Hyper Opinions in Subjective Logic . 15-я Международная конференция по слиянию информации (FUSION) 2012. E- ISBN 978-0-9824438-4-2 , IEEE.|url=https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6289948 
10. Jøsang, A.; Diaz, J. & Rifqi, M. (2010). «Накопительное и усредняющее слияние убеждений». Information Fusion . 11 (2): 192–200. CiteSeerX 10.1.1.615.2200 . doi :10.1016/j.inffus.2009.05.005. S2CID  205432025. 
11. JY Halpern (2017) Рассуждения о неопределенности MIT Press
12. Л. Заде, О справедливости правила комбинирования Демпстера, Меморандум M79/24, Калифорнийский университет, Беркли, США, 1979
13. Л. Заде, Рецензия на книгу: Математическая теория доказательств, The Al Magazine, том 5, № 3, стр. 81–83, 1984
14. Л. Заде, Простой взгляд на теорию доказательств Демпстера–Шейфера и ее значение для правила комбинирования. Архивировано 28 июля 2019 г. в Wayback Machine , The Al Magazine, том 7, № 2, стр. 85–90, лето 1986 г.
15. Э. Руспини, «Логические основы доказательного рассуждения», Техническая записка SRI 408 , 20 декабря 1986 г. (пересмотрено 27 апреля 1987 г.)
16. Н. Уилсон, «Предположения, лежащие в основе правила Демпстера», в Трудах 9-й конференции по неопределенности в искусственном интеллекте , страницы 527–534, издательство Morgan Kaufmann, Сан-Матео, Калифорния, США, 1993 г.
17. Ф. Вурбраак, «О подтверждении правила комбинирования Демпстера», Искусственный интеллект , т. 48 , стр. 171–197, 1991
18. Пэй Ванг, «Дефект в теории Демпстера–Шейфера», в Трудах 10-й конференции по неопределенности в искусственном интеллекте , страницы 560–566, издательство Morgan Kaufmann, Сан-Матео, Калифорния, США, 1994 г.
19. П. Уолли, «Статистическое рассуждение с неточными вероятностями » ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , Chapman and Hall, Лондон, стр. 278–281, 1991
20. Dezert J., Tchamova A., Han D., Tacnet J.-M., Why Dempster's fusion rule is not a generalization of Bayes fusion rule, Proc. Of Fusion 2013 Int. Conference on Information Fusion, Стамбул, Турция, 9–12 июля 2013 г.
21. Бауэр; Матиас (1996). Труды Двенадцатой международной конференции по неопределенности в искусственном интеллекте . С. 73–80.
22. Voorbraak, Frans (1989-05-01). "Вычислительно эффективное приближение теории Демпстера-Шейфера". International Journal of Man-Machine Studies . 30 (5): 525–536. doi :10.1016/S0020-7373(89)80032-X. hdl : 1874/26317 . ISSN  0020-7373.
23. Перл, Дж. (1988a), Вероятностное рассуждение в интеллектуальных системах, (пересмотренное второе издание) Сан-Матео, Калифорния: Morgan Kaufmann.
24. Pearl, J. (1988b). «О вероятностных интервалах». International Journal of Approximate Reasoning . 2 (3): 211–216. doi : 10.1016/0888-613X(88)90117-X .
25. Pearl, J. (1990). «Рассуждение с функциями убеждения: анализ совместимости». Международный журнал приближенного рассуждения . 4 (5/6): 363–389. doi : 10.1016/0888-613X(90)90013-R .
26. MA Kłopotek, ST Wierzchoń': «Новый качественный приближенный подход к моделированию функций доверия». [в:] L. Polkowski, A, Skowron eds: Грубые множества и текущие тенденции в вычислительной технике. Труды 1-й международной конференции RSCTC'98 , Варшава, 22–26 июня 1998 г., Lecture Notes in Artificial Intelligence 1424 , Springer-Verlag, стр. 346–353.
27. MA Kłopotek и ST Wierzchoń, "Эмпирические модели для теории Демпстера–Шейфера". в: Srivastava, RP, Mock, TJ, (ред.). Функции убеждения в деловых решениях . Серия: Исследования нечеткости и мягких вычислений . Том 88 Springer-Verlag. Март 2002. ISBN 3-7908-1451-2 , стр. 62–112 
28. Гюнтер Шмидт (2006) Относительные меры и интеграция, Lecture Notes in Computer Science # 4136, страницы 343−57, Springer books

Дальнейшее чтение

• Ян, Дж. Б. и Сюй, Д. Л. Правило доказательного рассуждения для объединения доказательств , Искусственный интеллект, т. 205, стр. 1–29, 2013.
• Ягер, Р. Р. и Лю, Л. (2008). Классические работы по теории функций доверия Демпстера–Шейфера. Исследования по нечеткости и мягким вычислениям, т. 219. Берлин: Springer . ISBN 978-3-540-25381-5 . 
• Джозеф К. Джиарратано и Гэри Д. Райли (2005); Экспертные системы: принципы и программирование , ред. Thomson Course Tech., ISBN 0-534-38447-1 
• Бейнон, М., Карри, Б. и Морган, П. Теория доказательств Демпстера–Шейфера: альтернативный подход к многокритериальному моделированию решений ^{[ мертвая ссылка ]} , Omega, т. 28, стр. 37–50, 2000.

Внешние ссылки

• BFAS: Общество функций и приложений убеждений