Диагонально доминирующая матрица

Подкласс матриц

В математике квадратная матрица называется диагонально доминирующей , если для каждой строки матрицы величина диагонального элемента в строке больше или равна сумме величин всех других (внедиагональных) элементов в этой строке. Точнее, матрица диагонально доминирующая, если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\ \ \forall \ i}$

где обозначает запись в -й строке и -м столбце. ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Это определение использует слабое неравенство, и поэтому иногда называется слабым диагональным доминированием . Если используется строгое неравенство (>), это называется строгим диагональным доминированием . Неквалифицированный термин диагональное доминирование может означать как строгое, так и слабое диагональное доминирование, в зависимости от контекста. ^[1]

Вариации

Определение в первом абзаце суммирует записи по каждой строке. Поэтому иногда это называется доминированием диагонали строки . Если изменить определение, чтобы суммировать вниз по каждому столбцу, это называется доминированием диагонали столбца .

Любая строго диагонально доминирующая матрица тривиально является слабо цепной диагонально доминирующей матрицей . Слабо цепные диагонально доминирующие матрицы являются невырожденными и включают семейство неприводимых диагонально доминирующих матриц. Это неприводимые матрицы , которые слабо диагонально доминирующи, но строго диагонально доминирующи по крайней мере в одной строке.

Примеры

Матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}$

слабо диагонально доминирует, потому что

${\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|}$   с   ${\displaystyle |+3|\geq |-2|+|+1|}$

${\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}$   с   ${\displaystyle |3|\geq |+1|+|+2|}$

${\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}$   с   . ${\displaystyle |+4|\geq |-1|+|+2|}$

Матрица

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}$

не является диагонально доминирующим, потому что

${\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}$   с   ${\displaystyle |-2|<|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}$   с   ${\displaystyle |+3|\geq |+1|+|+2|}$

${\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}$   с   . ${\displaystyle |+0|<|+1|+|-2|}$

То есть первая и третья строки не удовлетворяют условию диагонального доминирования.

Матрица

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}$

строго диагонально доминирует, потому что

${\displaystyle |c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|}$   с   ${\displaystyle |-4|>|+2|+|+1|}$

${\displaystyle |c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|}$   с   ${\displaystyle |+6|>|+1|+|+2|}$

${\displaystyle |c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|}$   с   . ${\displaystyle |+5|>|+1|+|-2|}$

Применение и свойства

Следующие результаты могут быть доказаны тривиально из теоремы Гершгорина об окружности . Сама теорема Гершгорина об окружности имеет очень короткое доказательство.

Строго диагонально доминирующая матрица (или неприводимо диагонально доминирующая матрица ^[2] ) является невырожденной .

Эрмитова диагонально доминирующая матрица с вещественными неотрицательными диагональными элементами является положительно полуопределенной . Это следует из вещественности собственных значений и теоремы Гершгорина о круге. Если требование симметрии устранено, такая матрица не обязательно является положительно полуопределенной. Например, рассмотрим ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.}$

Однако действительные части его собственных значений остаются неотрицательными по теореме Гершгорина об окружности.

Аналогично, эрмитова строго диагонально доминирующая матрица с действительными положительными диагональными элементами является положительно определенной .

Для матрицы со строго диагональным доминированием столбцов при выполнении гауссовского исключения (LU-факторизации) не требуется (частичного) поворота .

Методы Якоби и Гаусса–Зейделя для решения линейной системы сходятся , если матрица имеет строго (или неприводимо) диагональное преобладание.

Многие матрицы, возникающие в методах конечных элементов, являются диагонально доминирующими.

Небольшая вариация идеи диагонального преобладания используется для доказательства того, что спаривание на диаграммах без петель в алгебре Темперли–Либа является невырожденным. ^[3] Для матрицы с полиномиальными элементами одно разумное определение диагонального преобладания заключается в том, что наивысшая степень появления в каждой строке появляется только на диагонали. (Оценки такой матрицы при больших значениях являются диагонально доминирующими в указанном выше смысле.) ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Примечания

1. Например, Хорн и Джонсон (1985, стр. 349) используют его для обозначения слабого диагонального доминирования.
2. Хорн и Джонсон, Thm 6.2.27.
3. KH Ko и L. Smolinski (1991). «Комбинаторная матрица в теории 3-многообразий». Pacific J. Math. 149 : 319–336.

Ссылки

• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления . ISBN 0-8018-5414-8.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985). Матричный анализ (издание в мягкой обложке). Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.

Внешние ссылки

• PlanetMath: Определение диагонального доминирования
• PlanetMath: Свойства диагонально доминирующих матриц
• Математический мир