спинор Дирака

Комплексный четырехкомпонентный спинор

В квантовой теории поля спинор Дирака — это спинор , описывающий все известные фундаментальные частицы , являющиеся фермионами , за исключением, возможно, нейтрино . Он появляется в плосковолновом решении уравнения Дирака и представляет собой определенную комбинацию двух спиноров Вейля , а именно биспинора, который преобразуется «спинорно» под действием группы Лоренца .

Спиноры Дирака важны и интересны во многих отношениях. Прежде всего, они важны, поскольку они описывают все известные фундаментальные частицы фермионы в природе ; включая электрон и кварки . Алгебраически они ведут себя, в определенном смысле, как «квадратный корень» вектора . Это не сразу очевидно при прямом рассмотрении, но постепенно за последние 60 лет стало ясно, что спинорные представления являются фундаментальными для геометрии . Например, фактически все римановы многообразия могут иметь спиноры и спиновые связи, построенные на них, через алгебру Клиффорда . ^[1] Спинор Дирака специфичен для спинора пространства-времени Минковского и преобразований Лоренца ; общий случай довольно похож.

Эта статья посвящена спинору Дирака в представлении Дирака . Это соответствует определенному представлению гамма-матриц и лучше всего подходит для демонстрации положительных и отрицательных энергетических решений уравнения Дирака. Существуют и другие представления, в частности, киральное представление , которое лучше подходит для демонстрации киральной симметрии решений уравнения Дирака. Киральные спиноры могут быть записаны как линейные комбинации спиноров Дирака, представленных ниже; таким образом, ничего не теряется и не приобретается, кроме изменения перспективы относительно дискретных симметрий решений.

Оставшаяся часть статьи изложена в педагогическом стиле, с использованием обозначений и соглашений, характерных для стандартного представления спинора Дирака в учебниках по квантовой теории поля. Основное внимание уделяется алгебре плосковолновых решений. Способ преобразования спинора Дирака под действием группы Лоренца обсуждается в статье о биспинорах .

Определение

Спинор Дирака — это биспинор в плосковолновом анзаце свободного уравнения Дирака для спинора с массой , который в естественных единицах принимает вид и с использованием косой черты Фейнмана может быть записан ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ $${\displaystyle \psi (x)=u\left({\vec {p}}\right)\;e^{-ip\cdot x}}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi (x)=0}$$ $${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0}$$ $${\displaystyle \left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi (x)=0}$$

Ниже приведено объяснение терминов, встречающихся в анзаце.

• Поле Дирака — это релятивистское поле спина 1/2 или, точнее, функция в пространстве Минковского, принимающая значения в , четырехкомпонентная комплексная векторная функция. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$
• Спинор Дирака, связанный с плоской волной с волновым вектором , — это вектор, который постоянен относительно положения в пространстве-времени, но зависит от импульса . ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• Внутреннее произведение в пространстве Минковского для векторов и равно . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\cdot x\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv E_{\vec {p}}t-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$
• Четырехимпульс плоской волны равен где - произвольно, ${\textstyle p^{\mu }=\left(\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right):=\left(\pm E_{\vec {p}},{\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• В данной инерциальной системе отсчета координаты равны . Эти координаты параметризуют пространство Минковского. В этой статье, когда появляется в аргументе, индекс иногда опускается. ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

Спинор Дирака для решения с положительной частотой можно записать как, где $${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\,,}$$

• ${\displaystyle \phi }$— произвольный двухспинор, точнее вектор. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$— вектор Паули ,
• ${\displaystyle E_{\vec {p}}}$положительный квадратный корень . В этой статье нижний индекс иногда опускается, а энергия пишется просто . ${\textstyle E_{\vec {p}}=+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle E}$

В натуральных единицах, когда m ² добавляется к p ² или когда m добавляется к , m означает mc в обычных единицах; когда m добавляется к E , m означает mc ² в обычных единицах. Когда m добавляется к или к это означает (что называется обратной приведенной длиной волны Комптона ) в обычных единицах. ${\displaystyle {p\!\!\!/}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\textstyle {\frac {mc}{\hbar }}}$

Вывод из уравнения Дирака

Уравнение Дирака имеет вид $${\displaystyle \left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

Чтобы вывести выражение для четырехспинора ω , матрицы α и β должны быть заданы в конкретной форме. Точная форма, которую они принимают, зависит от представления. Для всей этой статьи используется представление Дирака. В этом представлении матрицы имеют вид $${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Эти две матрицы 4×4 связаны с гамма-матрицами Дирака . Обратите внимание, что 0 и I здесь являются матрицами 2×2.

Следующий шаг — поиск решений вида с одновременным расщеплением ω на два двухспинора: $${\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)},}$$ $${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

Результаты

Используя всю вышеприведенную информацию для подстановки в уравнение Дирака, получаем: Это матричное уравнение на самом деле представляет собой два связанных уравнения: $${\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}}$$

Решим 2-е уравнение относительно χ и получим $${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}.}$$

Обратите внимание, что это решение должно иметь , чтобы решение было действительным в системе отсчета, где частица имеет . ${\textstyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

Вывод знака энергии в этом случае. Рассмотрим потенциально проблемный термин . ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi }$

• Если , то ясно , что . ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}}$
• С другой стороны, пусть , с единичным вектором, и пусть . ${\textstyle E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle p\rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$$

Следовательно, отрицательное решение, очевидно, следует опустить, и . Конец вывода. ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$

Собрав все эти части, получим полное положительное энергетическое решение , которое обычно записывается как Вышеизложенное вводит нормировочный коэффициент, полученный в следующем разделе. $${\displaystyle \psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$ ${\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$

Решая вместо этого первое уравнение для другого набора решений, находим: ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

В этом случае необходимо обеспечить, чтобы это решение было действительным в системе отсчета, где частица имеет . Доказательство следует аналогично предыдущему случаю. Это так называемое решение с отрицательной энергией . Иногда может стать запутанным перенос явно отрицательной энергии, поэтому принято менять знак как у энергии, так и у импульса и записывать это как ${\textstyle E=-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$ $${\displaystyle \psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

В дальнейшем решения типа - называются решениями частиц , описывающими частицу с положительной массой и спином 1/2, несущую положительную энергию, а решения типа - называются решениями античастиц , снова описывающими частицу с положительной массой и спином 1/2, снова несущую положительную энергию. В лабораторной системе отсчета оба считаются имеющими положительную массу и положительную энергию, хотя они все еще очень дуальны друг другу, с перевернутым знаком на плоской волне античастицы, предполагающим, что она «движется назад во времени». Интерпретация «обратного времени» немного субъективна и неточна, сводясь к размахиванию руками, когда единственным доказательством являются эти решения. Она получает более веские доказательства при рассмотрении квантованного поля Дирака. Более точное значение для этих двух наборов решений, являющихся «противоположными друг другу», дано в разделе о сопряжении зарядов ниже. ${\displaystyle \psi ^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(-)}}$

Хиральный базис

В киральном представлении для пространство решений параметризуется вектором , с решением спинора Дирака, где — 4-векторы Паули , а — квадратный корень эрмитовой матрицы. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma \cdot p}}\,\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}\cdot p}}\,\xi \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),~{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})}$ ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$

Ориентация спина

Два спинора

В представлении Дирака наиболее удобными определениями для двухспиноров являются: и поскольку они образуют ортонормированный базис относительно (комплексного) скалярного произведения. $${\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$$

Матрицы Паули

Матрицы Паули — это $${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$

Используя их, получаем то, что иногда называют вектором Паули : $${\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}}$$

Ортогональность

Спиноры Дирака обеспечивают полный и ортогональный набор решений уравнения Дирака . ^{[2] [3]} Это легче всего продемонстрировать, записав спиноры в системе покоя, где это становится очевидным, а затем перейти к произвольной системе координат Лоренца. В системе покоя, где три-импульса обращаются в нуль: можно определить четыре спинора ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}},}$ $${\displaystyle u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$$

Знакомимся с нотацией Фейнмана с косой чертой $${\displaystyle {p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }}$$

усиленные спиноры можно записать как и $${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$

Сопряженные спиноры определяются как, что позволяет показать решение сопряженного уравнения Дирака ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ $${\displaystyle {\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0}$$

с производной, действующей влево. Сопряженные спиноры тогда и $${\displaystyle {\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$ $${\displaystyle {\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$

Нормализация, выбранная здесь, такова, что скалярный инвариант действительно инвариантен во всех системах Лоренца. В частности, это означает, что ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}}$$

Полнота

Четыре спинора системы покоя указывают на то, что существуют четыре различных, реальных, линейно независимых решения уравнения Дирака. То, что они действительно являются решениями, можно прояснить, заметив, что, будучи записанным в импульсном пространстве, уравнение Дирака имеет форму и ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$ $${\displaystyle ({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$ $${\displaystyle ({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$

Это следует из того, что в свою очередь следует из антикоммутационных соотношений для гамма-матриц : с метрическим тензором в плоском пространстве (в искривленном пространстве гамма-матрицы можно рассматривать как своего рода репер , хотя это выходит за рамки настоящей статьи). Возможно, полезно отметить, что уравнение Дирака, записанное в системе покоя, принимает вид и так, что спиноры системы покоя можно правильно интерпретировать как решения уравнения Дирака. Здесь четыре уравнения, а не восемь. Хотя 4-спиноры записаны как четыре комплексных числа, что предполагает 8 действительных переменных, только четыре из них имеют динамическую независимость; остальные четыре не имеют значения и всегда могут быть параметризованы. То есть, можно взять каждый из четырех векторов и умножить каждый на отдельную глобальную фазу. Эта фаза ничего не меняет; ее можно интерпретировать как своего рода глобальную свободу калибровки. Это не означает, что «фазы не имеют значения», как, конечно, они имеют; уравнение Дирака должно быть записано в комплексной форме, а фазы связаны с электромагнетизмом. Фазы даже имеют физическое значение, как подразумевает эффект Ааронова–Бома : поле Дирака, связанное с электромагнетизмом, представляет собой расслоение волокон U(1) ( расслоение окружностей ), а эффект Ааронова–Бома демонстрирует голономию этого расслоения. Все это не оказывает прямого влияния на подсчет числа отдельных компонентов поля Дирака. В любой ситуации есть только четыре реальных отдельных компонента. $${\displaystyle {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$$ $${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle \left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$ $${\displaystyle \left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$ ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$ ${\displaystyle e^{i\eta }.}$

При соответствующем выборе гамма-матриц можно записать уравнение Дирака в чисто вещественной форме, имея только вещественные решения: это уравнение Майораны . Однако оно имеет только два линейно независимых решения. Эти решения не связаны с электромагнетизмом; они описывают массивную, электрически нейтральную частицу со спином 1/2. По-видимому, связь с электромагнетизмом удваивает количество решений. Но, конечно, это имеет смысл: связь с электромагнетизмом требует взять вещественное поле и сделать его комплексным. Приложив некоторые усилия, уравнение Дирака можно интерпретировать как «комплексифицированное» уравнение Майораны. Это проще всего продемонстрировать в общей геометрической постановке, выходящей за рамки этой статьи.

Матрицы проекций собственных энергетических состояний

Принято определять пару проекционных матриц и , которые проецируют положительные и отрицательные собственные энергетические состояния. При фиксированной системе координат Лоренца (т.е. фиксированном импульсе) они следующие: ${\displaystyle \Lambda _{+}}$ ${\displaystyle \Lambda _{-}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=-\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}}$$

Это пара матриц 4×4. Они суммируются с единичной матрицей: ортогональны и идемпотентны. $${\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I}$$ $${\displaystyle \Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0}$$ $${\displaystyle \Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)}$$

Удобно отметить их след: $${\displaystyle \operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2}$$

Обратите внимание, что свойства следа и ортонормальности сохраняются независимо от системы отсчета Лоренца; это коварианты Лоренца.

Зарядовое сопряжение

Зарядовое сопряжение преобразует спинор с положительной энергией в спинор с отрицательной энергией. Зарядовое сопряжение представляет собой отображение ( инволюцию ) , имеющее явную форму , где обозначает транспонирование, является матрицей 4×4 и является произвольным фазовым множителем, Статья о зарядовом сопряжении выводит указанную выше форму и демонстрирует, почему слово «заряд» является подходящим словом для использования: его можно интерпретировать как электрический заряд . В представлении Дирака для гамма-матриц матрицу можно записать как Таким образом, решение с положительной энергией (опуская верхний индекс спина, чтобы избежать перегрузки обозначений) переносится в его зарядовое сопряжение Обратите внимание на паразитные комплексные сопряжения. Их можно объединить с тождеством, чтобы получить с 2-спинором, являющимся Поскольку это имеет в точности форму решения с отрицательной энергией, становится ясно, что зарядовое сопряжение меняет местами решения частицы и античастицы. Обратите внимание, что не только энергия меняется на противоположную, но и импульс тоже меняется на противоположный. Спин вверх преобразуется в спин вниз. Можно показать, что четность также переворачивается. Зарядовое сопряжение — это, по сути, спаривание спинора Дирака с его «точной противоположностью». ${\displaystyle \psi \mapsto \psi _{c}}$ $${\displaystyle \psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$$ ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{*}\eta =1.}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$ $${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$ $${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}$$ $${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$ $${\displaystyle \chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}}$$

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Вейля
• Уравнение Майораны
• Основа спиральности
• Spin(1,3) , двойное покрытие SO (1,3) спиновой группой

Ссылки

1. Йост, Юрген (2002). «Римановы многообразия». Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.). Springer. стр. 1–39. doi :10.1007/978-3-642-21298-7_1. См. раздел 1.8.
2. Бьёркен, Джеймс Д.; Дрелл, Сидней Д. (1964). Релятивистская квантовая механика . McGraw-Hill. См. Главу 3.
3. Ицыксон, Клод; Зубер, Жан-Бернард (1980). Квантовая теория поля . McGraw-Hill. ISBN 0-07-032071-3. См. Главу 2.

• Aitchison, IJR; AJG Hey (сентябрь 2002 г.). Калибровочные теории в физике элементарных частиц (3-е изд.) . Издательство Института физики. ISBN 0-7503-0864-8.
• Миллер, Дэвид (2008). "Релятивистская квантовая механика (РКМ)" (PDF) . стр. 26–37. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-19 . Получено 2009-12-03 .