Собственное значение Дирихле

В математике собственные значения Дирихле являются основными модами вибрации идеализированного барабана с заданной формой. Проблема того, можно ли услышать форму барабана, заключается в следующем: учитывая собственные значения Дирихле, какие особенности формы барабана можно вывести. Здесь «барабан» рассматривается как упругая мембрана Ω , которая представлена ​​как плоская область, граница которой фиксирована. Собственные значения Дирихле находятся путем решения следующей задачи для неизвестной функции u  ≠ 0 и собственного значения λ

Здесь Δ — лапласиан , который в xy -координатах задается как

${\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}.}$

Краевая задача ( 1 ) является задачей Дирихле для уравнения Гельмгольца , и поэтому λ известно как собственное значение Дирихле для Ω. Собственные значения Дирихле противопоставляются собственным значениям Неймана : собственным значениям для соответствующей задачи Неймана . Оператор Лапласа Δ , появляющийся в ( 1 ) , часто называют лапласианом Дирихле , когда он рассматривается как принимающий только функции u , удовлетворяющие граничному условию Дирихле. В более общем смысле, в спектральной геометрии рассматривается ( 1 ) на многообразии с границей Ω. Тогда Δ принимается как оператор Лапласа–Бельтрами , также с граничными условиями Дирихле.

Используя спектральную теорему для компактных самосопряженных операторов, можно показать, что собственные пространства конечномерны и что собственные значения Дирихле λ являются действительными, положительными и не имеют предельной точки . Таким образом, их можно расположить в порядке возрастания:

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty ,}$

где каждое собственное значение подсчитывается в соответствии с его геометрической кратностью. Собственные пространства ортогональны в пространстве квадратично-интегрируемых функций и состоят из гладких функций . Фактически, лапласиан Дирихле имеет непрерывное расширение до оператора из пространства Соболева в . Этот оператор обратим, а его обратный оператор компактен и самосопряжен, так что обычная спектральная теорема может быть применена для получения собственных пространств Δ и обратных величин 1/λ его собственных значений. ${\displaystyle H_{0}^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Одним из основных инструментов в изучении собственных значений Дирихле является принцип макс-мин : первое собственное значение λ ₁ минимизирует энергию Дирихле . А именно,

${\displaystyle \lambda _{1}=\inf _{u\not =0}{\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}},}$

инфимум берется по всем u компактного носителя , которые не исчезают тождественно в Ω. По аргументу плотности этот инфимум согласуется с инфимумом, взятым по ненулевым . Более того, используя результаты вариационного исчисления , аналогичные теореме Лакса–Мильгрэма , можно показать , что минимизатор существует в . В более общем смысле, можно иметь ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \lambda _{k}=\sup \inf {\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}}}$

где супремум берется по всем ( k −1)-кортежам , а инфимум — по всем u, ортогональным к . ${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{k-1}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

Приложения

Рис. 1. Спиралевидная граница домена (синяя), его фрагмент (красная) и 3 сегмента луча (зеленые).

Лапласиан Дирихле может возникнуть из различных задач математической физики ; он может относиться к модам на идеализированном барабане, небольшим волнам на поверхности идеализированного бассейна, а также к моде идеализированного оптического волокна в параксиальном приближении . Последнее применение наиболее практично в связи с двухслойными волокнами ; в таких волокнах важно, чтобы большинство мод равномерно заполняли домен или чтобы большинство лучей пересекали сердцевину. Наихудшей формой, по-видимому, является кругово-симметричный домен ^{[1] [2]} ,. ^[3] Моды накачки не должны избегать активного сердечника, используемого в двухслойных волоконных усилителях . Спиральная область оказывается особенно эффективной для такого применения из-за граничного поведения мод лапласиана Дирихле . ^[4]

Теорема о граничном поведении лапласиана Дирихле аналогична свойству лучей в геометрической оптике (рис. 1); угловой момент луча (зеленый) увеличивается при каждом отражении от спиральной части границы (синий), пока луч не попадет в кусок (красный); все лучи (кроме тех, которые параллельны оптической оси) неизбежно посещают область вблизи куска, чтобы сбросить избыток углового момента. Аналогично, все моды лапласиана Дирихле имеют ненулевые значения вблизи куска. Нормальную составляющую производной моды на границе можно интерпретировать как давление ; давление, проинтегрированное по поверхности, дает силу . Поскольку мода является стационарным решением уравнения распространения (с тривиальной зависимостью продольной координаты), полная сила должна быть равна нулю. Аналогично, угловой момент силы давления также должен быть равен нулю. Однако существует формальное доказательство, которое не ссылается на аналогию с физической системой. ^[4]

Смотрите также

• Неравенство Рэлея–Фабера–Крана

Примечания

1. S. Bedo; W. Luthy; HP Weber (1993). "Эффективный коэффициент поглощения в волокнах с двойной оболочкой". Optics Communications . 99 (5–6): 331–335. Bibcode : 1993OptCo..99..331B. doi : 10.1016/0030-4018(93)90338-6.
2. Leproux, P.; S. Fevrier; V. Doya; P. Roy; D. Pagnoux (2003). «Моделирование и оптимизация двухоболочечных волоконных усилителей с использованием хаотического распространения накачки». Optical Fiber Technology . 7 (4): 324–339. Bibcode : 2001OptFT...7..324L. doi : 10.1006/ofte.2001.0361.
3. A. Liu; K. Ueda (1996). "Характеристики поглощения круглых, смещенных и прямоугольных волокон с двойной оболочкой". Optics Communications . 132 (5–6): 511–518. Bibcode : 1996OptCo.132..511A. doi : 10.1016/0030-4018(96)00368-9.
4. Кузнецов, Д.; Молони, Дж. В. (2004). "Граничное поведение мод лапласиана Дирихле" (PDF) . Журнал современной оптики . 51 (13): 1955–1962. Bibcode :2004JMOp...51.1955K. doi :10.1080/09500340408232504. S2CID  209833904.

Ссылки

• Бенгурия, Рафаэль Д. "Собственное значение Дирихле". Энциклопедия математики . Springer . Получено 28 октября 2021 г. .
• Chavel, Isaac (1984). Собственные значения в римановой геометрии . Pure Appl. Math. Vol. 115. Academic Press. ISBN 978-0-12-170640-1..
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962). Методы математической физики, том I. Wiley-Interscience..