Функция Дирихле

Индикаторная функция рациональных чисел

В математике функция Дирихле ^{[1] [2]} является индикаторной функцией множества рациональных чисел , т. е. является ли x рациональным числом и является ли x не рациональным числом (т. е. является иррациональным числом ). ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}$$

Она названа в честь математика Петера Густава Лежена Дирихле . ^[3] Это пример патологической функции , которая дает контрпримеры ко многим ситуациям.

Топологические свойства

• Функция Дирихле нигде не непрерывна .
  Доказательство

  • Если y рационально, то f ( y ) = 1 . Чтобы показать, что функция не является непрерывной в y , нам нужно найти ε такое, что независимо от того, насколько малым мы выберем δ , будут точки z в пределах δ от y такие, что f ( z ) не находится в пределах ε от f ( y ) = 1 . Фактически, 1 ⁄ 2 является таким ε . Поскольку иррациональные числа плотны в действительных числах, независимо от того, какое δ мы выберем, мы всегда можем найти иррациональное z в пределах δ от y , и f ( z ) = 0 находится по крайней мере на 1 ⁄ 2 от 1.
  • Если y иррационально, то f ( y ) = 0 . Опять же, мы можем взять ε = 1 ⁄ 2 , и на этот раз, поскольку рациональные числа плотны в действительных числах, мы можем выбрать z как рациональное число, настолько близкое к y, насколько это требуется. Опять же, f ( z ) = 1 находится более чем на 1 ⁄ 2 от f ( y ) = 0 .
  Ее ограничения на множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел являются константами и, следовательно, непрерывными. Функция Дирихле является архетипическим примером теоремы Блумберга .
• Функция Дирихле может быть построена как двойной точечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом: для целых j и k . Это показывает, что функция Дирихле является функцией Бэра класса 2. Она не может быть функцией Бэра класса 1, поскольку функция Бэра класса 1 может быть разрывной только на разреженном множестве . ^[4] $${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}$$

Периодичность

Для любого действительного числа x и любого положительного рационального числа T , . Таким образом, функция Дирихле является примером действительной периодической функции , которая не является постоянной , но множество периодов которой, множество рациональных чисел, является плотным подмножеством . ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x+T)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Интеграционные свойства

• Функция Дирихле не интегрируема по Риману ни на каком отрезке, несмотря на свою ограниченность, поскольку множество ее точек разрыва не является пренебрежимо малым (для меры Лебега ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Функция Дирихле дает контрпример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости неверна в контексте интеграла Римана.
  Доказательство

  Используя перечисление рациональных чисел от 0 до 1, мы определяем функцию f _n (для всех неотрицательных целых чисел n ) как индикаторную функцию множества первых n членов этой последовательности рациональных чисел. Возрастающая последовательность функций f _n (которые являются неотрицательными, интегрируемыми по Риману с исчезающим интегралом) поточечно сходится к функции Дирихле, которая не интегрируема по Риману.

• Функция Дирихле интегрируема по Лебегу на , а ее интеграл по равен нулю, поскольку он равен нулю за исключением множества рациональных чисел, которое пренебрежимо мало (для меры Лебега). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Смотрите также

• Функция Томе , вариация, которая разрывна только в рациональных числах

Ссылки

1. "Функция Дирихле", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. Функция Дирихле — из MathWorld
3. Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). «Свержение тригонометрических рядов, которые служат представителем произвольной функции между границами доноров». Журнал для королевы и математики . 4 : 157–169.
4. Данэм, Уильям (2005). Галерея исчисления . Princeton University Press . стр. 197. ISBN 0-691-09565-5.