Disquisitiones Arithmeticae (лат.Арифметические исследования ) — учебник потеории чисел,написанный на латыниКарлом Фридрихом Гауссомв 1798 году, когда Гауссу был 21 год, и опубликованный в 1801 году, когда ему было 24 года. Он оказал революционное влияние на теорию чисел, сделав ее по-настоящему строгой и систематической и проложив путь для современной теории чисел. В этой книге Гаусс собрал и примирил результаты в теории чисел, полученные такими выдающимися математиками, какФерма,Эйлер,ЛагранжиЛежандр, добавив при этом свои собственные глубокие и оригинальные результаты.
Disquisitiones охватывает как элементарную теорию чисел , так и части области математики, которая сейчас называется алгебраической теорией чисел . Гаусс явно не признавал концепцию группы , которая является центральной в современной алгебре , поэтому он не использовал этот термин. Его собственное название для своего предмета было «Высшая арифметика». В своем предисловии к Disquisitiones Гаусс описывает объем книги следующим образом:
Вопросы, которые будут исследованы в этом томе, относятся к той части математики, которая занимается целыми числами.
Гаусс также пишет: «При столкновении со многими трудными проблемами выводы были опущены ради краткости, когда читатели ссылаются на эту работу». («Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus,демонстрировать синтетический usus sum, analysinque per quam erutae sunt подавлени, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui Quantum Fieri Poterat Consulere Oportebat»)
Книга разделена на семь частей:
Эти разделы подразделяются на 366 пронумерованных пунктов, в которых излагается теорема с доказательством или иным образом развивается замечание или мысль.
Разделы I–III по сути являются обзором предыдущих результатов, включая малую теорему Ферма , теорему Вильсона и существование первообразных корней . Хотя немногие из результатов в этих разделах являются оригинальными, Гаусс был первым математиком, который собрал этот материал систематическим образом. Он также осознал важность свойства однозначной факторизации (гарантируемой фундаментальной теоремой арифметики , впервые изученной Евклидом ), которую он переформулировал и доказал, используя современные инструменты.
Начиная с раздела IV, большая часть работы является оригинальной. Раздел IV разрабатывает доказательство квадратичной взаимности ; Раздел V, который занимает более половины книги, представляет собой всесторонний анализ бинарных и тернарных квадратичных форм . Раздел VI включает два различных теста на простоту . Наконец, Раздел VII представляет собой анализ циклотомических многочленов , который завершается указанием критериев, определяющих, какие правильные многоугольники являются конструируемыми , т. е. могут быть построены с помощью только циркуля и неразмеченной линейки.
Гаусс начал писать восьмой раздел о сравнениях высшего порядка, но не закончил его, и он был опубликован отдельно после его смерти под названием Disquisitiones generales de congruentiis (лат. «Общие исследования сравнений»). [1] В нем Гаусс обсуждал сравнения произвольной степени, атакуя проблему общих сравнений с точки зрения, тесно связанной с той, которую позже заняли Дедекинд , Галуа и Эмиль Арти . Трактат проложил путь для теории функциональных полей над конечным полем констант. Уникальными идеями этого трактата являются четкое признание важности морфизма Фробениуса и версия леммы Гензеля .
Disquisitiones был одним из последних математических трудов, написанных на научной латыни . Английский перевод был опубликован только в 1965 году ученым-иезуитом Артуром А. Кларком. Кларк был первым деканом в кампусе Линкольн-центра Фордхэмского колледжа. [2]
До публикации Disquisitiones теория чисел состояла из собрания изолированных теорем и гипотез. Гаусс объединил работы своих предшественников со своими собственными оригинальными работами в систематическую структуру, заполнил пробелы, исправил несостоятельные доказательства и расширил предмет многочисленными способами.
Логическая структура Disquisitiones ( теорема , утверждение, за которым следует доказательство , за которым следуют следствия ) установила стандарт для более поздних текстов. Признавая первостепенную важность логического доказательства, Гаусс также иллюстрирует многие теоремы числовыми примерами.
Disquisitiones были отправной точкой для других европейских математиков 19-го века, включая Эрнста Куммера , Петера Густава Лежена Дирихле и Рихарда Дедекинда . Многие из аннотаций Гаусса по сути являются объявлениями о его дальнейших собственных исследованиях, некоторые из которых остались неопубликованными. Они, должно быть, казались особенно загадочными его современникам; теперь их можно читать как содержащие зародыши теорий L-функций и комплексного умножения , в частности. [3]
Disquisitiones продолжали оказывать влияние в 20 веке. Например, в разделе V, статья 303, Гаусс подытожил свои вычисления чисел классов собственных примитивных бинарных квадратичных форм и предположил, что он нашел все из них с числами классов 1, 2 и 3. Позже это было интерпретировано как определение мнимых квадратичных числовых полей с четным дискриминантом и числом класса 1, 2 и 3, и распространено на случай нечетного дискриминанта. Иногда называемый проблемой числа классов , этот более общий вопрос был в конечном итоге подтвержден в 1986 году [4] (конкретный вопрос, заданный Гауссом, был подтвержден Ландау в 1902 году [5] для класса номер один). В разделе VII, статья 358, Гаусс доказал то, что можно интерпретировать как первый нетривиальный случай гипотезы Римана для кривых над конечными полями ( теорема Хассе–Вейля ). [6]
СМИ, связанные с Disquisitiones Arithmeticae, на Викискладе?
В латинском Викиресурсе есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Disquisitiones arithmeticae (латинский оригинал) (первое изд. 1801 г.) (изд. 1870 г.) На французском Викиресурсе есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Recherches arithmétiques (перевод на французский) (ред. 1807 г.)